Strona 44 z 65
Konstrukcje prętowe  kratownice
Charakterystyka kratownic
Kratownicą nazywamy układ prętów prostoliniowych połączonych ze sobą w węzłach
w sposób przegubowy (brak tarcia w przegubach).
Kratownice obciążone są zawsze siłami skupionymi przyłożonymi węzłach.
Jedyna siła wewnętrzna jaka występuję w obustronnie przegubowych prętach kratownicy to
stała na całej długości siła działająca wzdłuż osi pręta czyli siła osiowa lub inaczej siła nor-
malna.
Pręty kratownicy możemy podzielić na cztery grupy:
" Pręty pasa górnego (G)
" Pręty pasa dolnego (D)
" Krzyżulce (K)
" Słupki (S)
Stopień statycznej niewyznaczalności kratownicy n
s
nS = r + p - 2�" w
r  liczba reakcji podporowych
p  liczba prętów
w  liczba węzłów
Kratownica jest statycznie wyznaczalna jeżeli stopień statycznej niewyznaczalności ns=0
Warunek wewnętrznej statycznej wyznaczalności
p = 2 �" w - 3
p  liczba prętów
w  liczba węzłów
Dr inż. Agata Maryniak WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW
SEMESTR II
Strona 45 z 65
Pręty zerowe
Dane są trzy zasady pozwalające na określić pręty zerowe czyli takie w których siła normal-
na wynosi zero.
ZASADA I
Jeżeli w pewnym węz
le schodzą się tylko dwa pręty pod pewnym katem ą, i węzeł ten jest
nieobciążony żadną siłą zewnętrzną (czynną ani bierną), to siły w obu prętach (N1 i N2) wy-
noszą zero.
N1=0
N2=0
ZASADA II
Jeżeli w pewnym węz
le schodzą się tylko dwa pręty pod pewnym katem ą, i węzeł ten jest
obciążony siłą zewnętrzną (czynną lub bierną) działającą na kierunku jednego z prętów to
siła normalna w drugim pręcie wynosi zero.
P N1
N2=0
P
N1=0
N2
ZASADA III
Jeżeli w pewnym węz
le schodzą się trzy pręty z których dwa leżą na jednej prostej (są rów-
noległe) i węzeł ten jest nieobciążony żadną siłą zewnętrzną (czynną ani bierną), to siła
normalna w trzecim pręcie jest równa zero.
N1 N2
N3=0
Dr inż. Agata Maryniak WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW
SEMESTR II
Strona 46 z 65
Wyznaczanie reakcji podporowych
Przy wyznaczaniu reakcji podporowych dla kratownic korzystamy tak jak w przypadku belek
i ram z trzech równań równowagi dla dowolnego płaskiego układu sił czyli:
ŁPix = 0
ŁPiy = 0
ŁM = 0
iA
Sumy rzutów siła na dwóch wzajemnie prostopadłych kierunkach oraz sumie momentów
wszystkich sił względem dowolnego punktu.
Przykład
Policzyć wartości reakcji podporowych dla poniższej kratownicy.
P1=10kN
A B
P2=20kN
P3=30kN
3 m 3 m 3 m 3 m
Pierwszą czynnością, jaką należy wykonać, jest oznaczenie reakcji występujących w podpo-
rach. Kierunki działania reakcji wynikają z rodzajów podpór w jakich dane reakcje występu-
ją, natomiast ich zwroty przyjmujemy dowolnie.
VB
VA
P1=20kN
HB
A B
P2=60kN
P3=10kN
3 m 3 m 3 m 3 m
Wartości reakcji wyznaczamy korzystając z trzech równań równowagi dla dowolnego pła-
skiego układu sił, gdyż z takim mamy do czynienia.
Dr inż. Agata Maryniak WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW
SEMESTR II
4 m
4 m
Strona 47 z 65
ŁPix = 0 ŁPix = -H - P2 = 0
B
H = -P2 = -60kN
B
Ujemna wartość reakcji świadczy o tym, iż jej zwrot został przyjęty niewła-
ściwie, dlatego też zmieniamy zwrot reakcji HB na przeciwny.
Zmieniając na rysunku zwrot przekreślamy poprzedni w sposób wyraz
ny
(nie zmazujemy) i rysujemy prawidłowy zwrot.
ŁM = 0 ŁM = -P1 �"3 + P3 �" 6 -VB �"12 - P2 �" 4 = 0
iA iA
12 �"VB = -P1 �"3 + P3 �" 6 - P2 �" 4
- P1 �"3 + P3 �" 6 - P2 �" 4 - 20 �"3 +10 �" 6 - 60 �" 4 - 60 + 60 - 240
VB = = =
12 12 12
- 240
VB = = -20kN
12
Zmieniamy zwrot reakcji VB na przeciwny
Zapisując równanie sumy sił na kierunku y musimy zwrócić uwagę na podstawie których
założeń to robimy. Jeżeli bazujemy na początkowo założonych zwrotach, to wówczas do
równania za reakcje podstawiamy dokładnie takie wartości jakie nam wyszły czyli reakcja VB
będzie miała wartość -20kN.
Natomiast jeżeli wcześniej zmienimy zwrot reakcji na przeciwny i kolejne równanie zapi-
szemy uwzględniając już prawidłowy zwrot tej reakcji to wówczas do równania podstawia-
my jej wartość bezwzględną.
Poniższe równanie zostało zapisane dla początkowo założonych zwrotów. Wszystkie zwroty
zostaną poprawione na końcu.
ŁPiy = 0 ŁPiy = -VA - P1 -VB + P3 = 0
VA = -P1 -VB + P3 = -20 - (-20) +10 = 10kN
Zwrot reakcji VA pozostaje bez zmian.
VB = 20kN
VA = 10kN
P1=20kN
HB = 60kN
A B
C
P2=60kN
P3=10kN
3 m 3 m 3 m 3 m
Sprawdzenie
Wykonując sprawdzenie rozpisujemy jedno z równań równowagi (takie którego do tej pory
nie wykorzystaliśmy).
Dr inż. Agata Maryniak WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW
SEMESTR II
4 m
Strona 48 z 65
Równanie rozpisane zostało dla prawidłowych zwrotów reakcji (po ich zmianach na prze-
ciwne).
ŁM = 0 ŁM = VA �"3 + P3 �"3 +VB �"9 - H �" 4 = 0
iC iC B
ŁM = 10 �"3 +10 �"3 + 20 �"9 - 60 �" 4 = 0
iC
ŁM = 30 + 30 +180 - 240 = 0
iC
ŁMiC = 240 - 240 = 0
L = P
Wyznaczanie sił w prętach kratownicy
Siły w prętach kratownicy możemy wyznaczać za pomocą różnych metod. Metody te mo-
żemy podzielić na dwie grupy:
" Metody analityczne
" Metody graficzne
Do grupy metod analitycznych możemy zaliczyć:
" Metodę równoważenia węzłów
" Metodę przekrojów (metodę Rittera)
Jeżeli chodzi o grupę metod graficznych to mamy tutaj:
" Wykreślna metoda Cremony (plan sił Cremony)
" Metoda Culmanna
Metoda równoważenia węzłów oraz plan sił Cremony służą do wyznaczania sił we wszyst-
kich prętach kratownicy.
Metoda Rittera oraz Culmanna służą do wyznaczania sił w wybranych (pojedynczych) prę-
tach kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów
Metoda ta polega na rozpisaniu równań równowagi dla każdego myślowo wyciętego węzła
kratownicy.
Wycinając myślowo poszczególne węzły kratownicy otrzymujemy układy sił zbieżnych dla
których dysponujemy dwoma równaniami równowagi:
ŁPix = 0
ŁPiy = 0
Wycinając myślowo węzeł z kratownicy pamiętamy o tym, aby przecięte myślowo pręty
zastąpić siłami w nich występującymi. Zakładamy początkowo, że pręty te są rozciągane
dlatego zwroty sił zakładamy na zewnątrz (od węzła).
Jeżeli wartość siły w pręcie wyjdzie nam ujemna świadczy to o ty , że zwrot był z
le założony
czyli pręt jest prętem ściskanym (zwrot do węzła).
Kiedy w kolejnym węz
le wycinanym myślowo z kratownicy przecinamy pręty których warto-
ści sił już znamy to oznaczając te siły zaznaczamy ich faktyczne zwroty (od węzła jeżeli siła
w pręcie jest rozciągająca i do węzła jeżeli siła w pręcie jest ściskająca).
Trzy ostatnie równania jakie rozpisujemy dla kratownicy są sprawdzeniem, gdyż wówczas
znane są już siły we wszystkich prętach.
Dr inż. Agata Maryniak WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW
SEMESTR II
Strona 49 z 65
Zadanie 1
Wyznaczyć siły w prętach poniższej kratownicy.
P1=10kN
A B
P2=20kN
P3=30kN
3 m 3 m 3 m 3 m
Wartości reakcji dla tej kratownicy zostały wyznaczone w poprzednim przykładzie.
VB = 20kN
VA = 10kN
P1=20kN
HB = 60kN
A B
C
P2=60kN
P3=10kN
3 m 3 m 3 m 3 m
Zanim przystąpimy do wyznaczania sił w prętach kratownicy wprowadzamy sobie oznacze-
nia dla poszczególnych prętów i węzłów.
VB = 20kN
VA = 10kN
P1=20kN
2
3
G1 G2 G3 G4 HB = 60kN
A B
1
K1 S1 S3
K3
K4
K2
S2
D1 D2
4
P2=60kN
5 6
P3=10kN
3 m 3 m 3 m 3 m
Obliczenia rozpoczynamy zawsze od węzła gdzie schodzą się dwa pręty (mamy wówczas
dwie niewiadome). Tutaj możemy zacząć od węzła oznaczonego jako A albo od węzła B.
Dr inż. Agata Maryniak WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW
SEMESTR II
4 m
4 m
4 m
Strona 50 z 65
VB = 20kN
VA = 10kN
P1=20kN
2
3
G1 G2 G3 G4 HB = 60kN
A B
1
K1 S1 S3
K3
K4
K2
S2
D1 D2
4
P2=60kN
5 6
P3=10kN
3 m 3 m 3 m 3 m
W
Z
A
A
VA = 10kN
ŁPiy = 0
ŁPiy = -VA - K1 �" sin(ą ) = 0
G1
A -VA -10 - 50
K1 = = = = -12,5kN
4
sin(ą) 4
5
K1
ŁPix = 0
ŁPix = G1 + K1 �"cos(ą)= 0
3
G1 = -K1 �"cos(ą)= -(-12,5) �" = 7,5kN
5
Siła w pręcie K1 wyszła ujemna czyli zwrot jest przeciwny niż założono, a co za tym idzie pręt
jest prętem ściskanym.
Na głównym schemacie kratownicy oznaczamy prawidłowe zwroty sił w prętach i opisujemy
ich wartości.
VB = 20kN
VA = 10kN
P1=20kN
2
3
G1=7,5kN G2 G3 G4 HB = 60kN
A B
1
S1 S3
K3
K4
K2
S2
D1 D2
4
P2=60kN
5 6
P3=10kN
3 m 3 m 3 m 3 m
Dr inż. Agata Maryniak WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW
SEMESTR II
4 m
4 m
K
1
=
1
2
,
5
k
N
Strona 51 z 65
W
Z
A
1
ŁPiy = 0
P1=20kN
ŁPiy = -P1 - S1 = 0
G1=7,5kN
G2
S1 = -P1 = -20kN
1
ŁPix = 0
S1
ŁPix = -G1 + G2 = 0
G2 = G1 = 7,5kN
Siła w pręcie S1 wyszła ujemna czyli zwrot jest przeciwny niż założono, a co za tym idzie pręt
jest prętem ściskanym.
Na głównym schemacie kratownicy oznaczamy prawidłowe zwroty sił w prętach i opisujemy
ich wartości.
VB = 20kN
VA = 10kN
P1=20kN
2
3
G3 G4 HB = 60kN
G1=7,5kN G2=7,5kN
A B
1
S1=20kN
S3
K3
K4
K2
S2
D1 D2
4
P2=60kN
5 6
P3=10kN
3 m 3 m 3 m 3 m
W
Z
A
4
ŁPiy = 0
S1=20kN
ŁPiy = -S1 - K1 �"sin(ą) + K2 �"sin(ą) = 0
K1=12,5kN
K2
4
20 +12,5�"
S1 + K1 �"sin(ą)
5
K2 = = = 37,5kN
4
sin(ą)
D1
5
4
ŁPix = 0
ŁPix = D1 + K1 �"cos(ą)+ K2 �"cos(ą)= 0
D1 = -K1 �" cos(ą)- K2 �" cos(ą)
3 3
D1 = -12,5�" - 37,5 �" = -7,5 - 22,5 = -30kN
5 5
Siła w pręcie D1 wyszła ujemna czyli zwrot jest przeciwny niż założono, a co za tym idzie pręt
jest prętem ściskanym.
Dr inż. Agata Maryniak WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW
SEMESTR II
4 m
K
1
=
1
2
,
5
k
N
Strona 52 z 65
Na głównym schemacie kratownicy oznaczamy prawidłowe zwroty sił w prętach i opisujemy
ich wartości.
VB = 20kN
VA = 10kN
P1=20kN
2
3
G3 G4 HB = 60kN
G1=7,5kN G2=7,5kN
A B
1
S1=20kN
S3
K3
K4
S2
D1=30kN D2
4
P2=60kN
5 6
P3=10kN
3 m 3 m 3 m 3 m
W
Z
A
5
ŁPiy = 0
ŁPiy = S2 + P3 = 0
S2
S2 = -P3 = -10kN
D1=30kN D2
5
ŁPix = 0
P3=10kN
ŁPix = D1 + D2 = 0
D2 = -D1 = -30kN
Siły w prętach D2 i S2 wyszły ujemne czyli zwroty tych sił są przeciwne niż założono, a co za
tym idzie pręty są prętami ściskanymi.
Na głównym schemacie kratownicy oznaczamy prawidłowe zwroty sił w prętach i opisujemy
ich wartości.
VB = 20kN
VA = 10kN
P1=20kN
2
3
G1=7,5kN G3 G4 HB = 60kN
G2=7,5kN
A B
1
S1=20kN
S3
K3
K4
S2=10kN
D1=30kN D2=30kN
4
P2=60kN
5 6
P3=10kN
3 m 3 m 3 m 3 m
Dr inż. Agata Maryniak WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW
SEMESTR II
4 m
4 m
K
1
N
=
k
1
5
,
2
7
,
5
3
k
=
N
2
K
K
1
N
=
k
1
5
,
2
7
,
5
3
k
=
N
2
K
Strona 53 z 65
W
Z
A
2
ŁPiy = 0
ŁPiy = S2 - K2 �" sin(ą ) - K3 �"sin(ą) = 0
2
G3
G2=7,5kN
4
10 - 37,5�"
S2 - K2 �"sin(ą)
5
K3 = = = -25kN
4
sin(ą)
K3
5
S2=10kN
ŁPix = 0
ŁPix = -G2 - K2 �" cos(ą) + G3 + K3 �" cos(ą) = 0
G3 = G2 + K2 �" cos(ą) - K3 �" cos(ą)
3 3
G3 = 7,5 + 37,5 �" - (-25) �" = 7,5 + 22,5 +15 = 45kN
5 5
Siła w pręcie K3 wyszła ujemna czyli jej zwrot jest przeciwny niż założono, a co za tym idzie
pręt jest prętem ściskanym.
Na głównym schemacie kratownicy oznaczamy prawidłowe zwroty sił w prętach i opisujemy
ich wartości.
VB = 20kN
VA = 10kN
P1=20kN
2
3
G1=7,5kN G3=45kN G4 HB = 60kN
G2=7,5kN
A B
1
S1=20kN
S3
K4
S2=10kN
D1=30kN D2=30kN
4
P2=60kN
5 6
P3=10kN
3 m 3 m 3 m 3 m
W
Z
A
3
ŁPiy = 0
ŁPiy = -S3 = 0
3
G3=45kN G4
S3 = 0kN
ŁPix = 0
S3
ŁPix = -G3 + G4 = 0
G4 = G3 = 45kN
Na schemacie kratownicy oznaczamy zwroty sił w prętach i opisujemy ich wartości.
Dr inż. Agata Maryniak WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW
SEMESTR II
4 m
K
2
=
3
7
,
5
k
N
K
K
1
N
3
=
=
k
1
2
5
,
2
5
7
,
k
5
3
N
k
=
N
2
K
Strona 54 z 65
VB = 20kN
VA = 10kN
P1=20kN
2
3
G1=7,5kN G3=45kN G4=45kN HB = 60kN
G2=7,5kN
A B
1
S1=20kN
S3=0kN
K4
S2=10kN
D1=30kN D2=30kN
4
P2=60kN
5 6
P3=10kN
3 m 3 m 3 m 3 m
W
Z
A
B
ŁPiy = 0
VB = 20kN ŁPiy = VB - K4 �" sin(ą ) = 0
VB 20
K4 = = = 25kN
G4=45kN
HB = 60kN 4
sin(ą )
B
5
K4 To równanie jest już sprawdzeniem
ŁPix = 0
ŁPix = -G4 - K4 �" cos(ą) + H = 0
B
- G4 + H - 45 + 60
B
K4 = = = 25kN
3
cos(ą)
5
Na schemacie kratownicy oznaczamy zwroty sił w prętach i opisujemy ich wartości.
VB = 20kN
VA = 10kN
P1=20kN
2
3
G1=7,5kN G3=45kN G4=45kN HB = 60kN
G2=7,5kN
A B
1
S1=20kN
S3=0kN
S2=10kN
D1=30kN D2=30kN
4
P2=60kN
5 6
P3=10kN
3 m 3 m 3 m 3 m
Dr inż. Agata Maryniak WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW
SEMESTR II
4 m
4 m
K
K
1
N
3
=
=
k
1
2
5
,
2
5
7
,
k
5
3
N
k
=
2
N
K
K
K
N
N
1
3
=
=
k
k
1
2
5
5
,
2
5
2
7
k
,
=
5
3
4
N
k
=
K
2
N
K
Strona 55 z 65
W
Z
A
6
Oba równanie w tym węz
le są sprawdzeniem
S3=0kN
ŁPiy = 0
K3=25kN
K4=25kN
ŁPiy = -K3 �"sin(ą ) + K4 �" sin(ą ) = 0
D2=30kN
4 4
ŁPiy = -25 �" + 25�" = 0
P2=60kN
6
5 5
0 = 0
ŁPix = 0
ŁPix = D2 + K3 �" cos(ą) - P2 + K4 �" cos(ą) = 0
3 3
ŁPix = 30 + 25�" - 60 + 25�" = 0
5 5
30 +15 - 60 +15 = 0
0 = 0
Metoda przekrojów (Rittera)
Metoda ta polega na myślowym dokonywaniu przekroju kratownicy przez trzy pręty, nie
zbiegające się w jednym węz
le, w tym przez pręt lub pręty w których siły chcemy wyznaczy.
Następnie rozpatrywana jest równowaga którejś z części kratownicy oddzielonej tym prze-
krojem i znajdującej się pod wpływem działania sił zewnętrznych, reakcji podporowych oraz
sił w przeciętych prętach kratownicy.
W odniesieniu do wydzielonej części kratownicy zapisuje się równania momentów wzglę-
dem punktów przecięcia się dwóch z trzech przeciętych prętów (tak zwanych punktów Rit-
tera) oraz w przypadku gdy dwa z trzech przeciętych prętów są równoległe zapisuje się
równanie sumy rzutów na kierunku prostopadłym do równoległych prętów.
Przykład
Wyznaczyć wartości sił wewnętrznych w zaznaczonych prętach poniższej kratownicy.
B
P3=10kN
P2=10kN
P1=10kN
A
3 m 3 m 3 m
Dr inż. Agata Maryniak WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW
SEMESTR II
2 m
2 m
2 m
Strona 56 z 65
Rozwiązanie zadania rozpoczynamy od sprawdzenia czy dana kratownica jest statycznie
wyznaczalna i jeżeli tak jest to wyznaczamy wartości reakcji w podporach.
VB
B
HB
P3=10kN
P2=10kN
P1=10kN
A
HA
3 m 3 m 3 m
nS = r + p - 2�" w
r  liczba reakcji podporowych r=3
p  liczba prętów p=11
w  liczba węzłów w=7
nS = 3 +11- 2 �" 7 = 14 -14 = 0
Kratownica jest statycznie wyznaczalna.
Wyznaczamy wartości reakcji podporowych bazując na trzech równaniach równowagi.
ŁPiy = 0 ŁPiy = -P1 - P2 - P3 -VB = 0
VB = -P1 - P2 - P3 = -10 -10 -10 = -30kN
ŁM = 0 ŁM = P1 �" 9 + P2 �" 6 + P3 �" 3 - H �" 6 = 0
iB iB A
P1 �" 9 + P2 �" 6 + P3 �" 3 10 �" 9 +10 �" 6 +10 �" 3 90 + 60 + 30 180
H = = = = = 30kN
A
6 6 6 6
ŁPix = 0 ŁPix = -H - H = 0
A B
H = -H = -30kN
B A
Po wyznaczeniu wartości reakcji, zwroty reakcji których wartości wyszły ujemne (HB i VB)
zmieniamy na schemacie kratownicy na przeciwne (nie zmazujemy poprzednich zwrotów
tylko je przekreślamy).
Dr inż. Agata Maryniak WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW
SEMESTR II
2 m
2 m
2 m
Strona 57 z 65
VB=30kN
B
HB =30kN
P3=10kN
P2=10kN
P1=10kN
A
HA =30kN
3 m 3 m 3 m
Następnie wprowadzamy sobie oznaczenia prętów oraz zaznaczamy pręty dla których war-
tości sił mamy policzyć. Ponadto oznaczamy sobie kąty występujące w kratownicy (ą i �).
VB=30kN
B
HB =30kN
G3
P3=10kN
G2
P2=10kN
S3
K2
S2
K1
G1
P1=10kN
S1
A
D1 D2 D3
HA =30kN
3 m 3 m 3 m
Wyznaczamy wartości sinusów i cosinusów kątów ą i �
2 4 4
sin(ą ) = = 0,555 sin(� ) = = = 0,8
22 + 32 42 + 32 5
3 3 3
cos(ą) = = 0,832 cos(� ) = = = 0,6
22 + 32 42 + 32 5
Teraz możemy przystąpić do wyznaczania wartości sił w wyznaczonych prętach.
Dr inż. Agata Maryniak WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW
SEMESTR II
2 m
2 m
2 m
2 m
2 m
2 m
Strona 58 z 65
pręt K2
W celu wyznaczenia siły w tym pręcie za pomocą metody Rittera musimy myślowo przeciąć
naszą kratownicę przez trzy, nie przecinające się w jednym punkcie, pręty (w tym pręt K2).
Proponuję przekrój przez pręty G3, K2 i D3
myślowy przekrój kratownicy
VB=30kN
B
HB =30kN
G3
P3=10kN
G2
P2=10kN
S3
K2
S2
G1 K1
P1=10kN
S1
A
1
D1 D2 D3
HA =30kN
3 m
3 m 3 m 3 m
Następnie musimy rozpatrzyć równowagę jednej z dwóch części kratownicy jakie otrzymali-
śmy w wyniku myślowego przekroju (lewej albo prawej).
Aby pokazać, iż nie ma znaczenia na otrzymany wynik którą część będziemy rozpatrywali
policzymy siłą w prącie K2 dla obu wariantów.
część kratownicy po prawj stronie przekroju
VB=30kN
B
HB =30kN
G3
K2
punkt Rittera
A
1
D3
HA =30kN
9 m
Dr inż. Agata Maryniak WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW
SEMESTR II
2 m
2 m
2 m
2 m
2 m
2 m
Strona 59 z 65
Wykonujemy rysunek części kratownicy znajdującej się po prawej stronie myślowego prze-
kroju. Zaznaczamy na niej wszystkie siły zewnętrzne i reakcje podporowe jakie w tej części
występują.
Pręty które przecięliśmy zastępujemy siłami normalnymi które w nich występując oznacza-
jąc na nich zwroty od węzłów (zakładamy, że są to pręty rozciągane) oraz opisując ich sym-
bole (G3, K2 i D3). Pozostałych prętów nie oznaczamy.
Następnie rozpisujemy jedno równanie równowagi. Mamy wyznaczyć siłę w pręcie K2. Pa-
trzymy co się dzieje z dwoma pozostałymi prętami które zostały przecięte. Proste na któ-
rych leżą pręty G3 i D3 przecinają się w punkcie oznaczonym na rysunku jako 1. Jest to tak
zwany punkt Rittera.
Rozpisujemy zatem równanie sumy momentów względem punktu Rittera (punktu 1).
ŁM = 0
i1
ŁM = K2 �" sin(� ) �" 9 + VB �" 9 - H �" 6 = 0
i1 B
-VB �" 9 + H �" 6 - 30 �" 9 + 30 �" 6 - 90
B
K2 = = = = -12,5kN
sin(� ) �" 9 0,8 �" 9 7,2
Wartość siły w pręcie K2 wyszła ujemna zatem zwrot tej siły jest przeciwny niż założono a co
za tym idzie pręt K2 jest prętem ściskanym (założono że jest rozciągany  zwrot założono od
węzła).
Zróbmy teraz to samo ale rozpatrzmy lewą stronę przekroju.
część kratownicy po lewej stronie przekroju
G3
P3=10kN
P2=10kN
K2
P1=10kN
1
D3
punkt Rittera
3 m
3 m 3 m
Wykonujemy rysunek części kratownicy znajdującej się po lewej stronie myślowego prze-
kroju. Zaznaczamy na niej wszystkie siły zewnętrzne i reakcje podporowe jakie w tej części
występują.
Pręty które przecięliśmy zastępujemy siłami normalnymi które w nich występując oznacza-
jąc na nich zwroty od węzłów (zakładamy, że są to pręty rozciągane) oraz opisując ich sym-
bole (G3, K2 i D3). Pozostałych prętów nie oznaczamy.
Następnie rozpisujemy jedno równanie równowagi. Mamy wyznaczyć siłę w pręcie K2. Pa-
trzymy co się dzieje z dwoma pozostałymi prętami które zostały przecięte. Proste na któ-
rych leżą pręty G3 i D3 przecinają się w punkcie oznaczonym na rysunku jako 1. Jest to tak
zwany punkt Rittera.
Rozpisujemy zatem równanie sumy momentów względem punktu Rittera (punktu 1).
Dr inż. Agata Maryniak WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW
SEMESTR II
4 m
Strona 60 z 65
ŁM = 0
i1
ŁM = -P2 �" 3 - P3 �" 6 - K2 �" sin(� ) �" 6 - K2 �" cos(� ) �" 4 = 0
i1
ŁM = -P2 �" 3 - P3 �" 6 - K2 �" (sin(� ) �" 6 + cos(� ) �" 4) = 0
i1
- P2 �" 3 - P3 �" 6 -10 �"3 -10 �" 6 - 90
K2 = = = = -12,5kN
(sin(� ) �" 6 + cos(� ) �" 4) (0,8�" 6 + 0,6 �" 4) 7,2
Wartość siły w pręcie K2 wyszła ujemna zatem zwrot tej siły jest przeciwny niż założono a co
za tym idzie pręt K2 jest prętem ściskanym (założono że jest rozciągany  zwrot założono od
węzła).
Widzimy zatem iż niezależnie od tego która stronę przekroju będziemy rozpatrywać wynik
uzyskamy zawsze taki sam.
pręt S2
W celu wyznaczenia siły w tym pręcie za pomocą metody Rittera musimy myślowo przeciąć
naszą kratownicę przez trzy, nie przecinające się w jednym punkcie, pręty (w tym pręt S2).
Proponuję przekrój przez pręty G2, S2 i D3
VB=30kN
myślowy przekrój kratownicy
B
HB =30kN
G3
P3=10kN
G2
P2=10kN
S3
K2
S2
G1 K1
P1=10kN
S1
A
1
D1 D2 D3
HA =30kN
3 m 3 m 3 m
Dr inż. Agata Maryniak WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW
SEMESTR II
2 m
2 m
2 m
Strona 61 z 65
VB=30kN
B
część kratownicy po prawj stronie przekroju
HB =30kN
P3=10kN
G2
S2
punkt Rittera A
1
D3
HA =30kN
6 m 3 m
Proste na których leżą pręty G2 i D3 przecinają się w punkcie oznaczonym na rysunku jako 1.
Jest to tak zwany punkt Rittera.
Rozpisujemy zatem równanie sumy momentów względem punktu Rittera (punktu 1).
ŁM = 0
i1
ŁM = -P3 �" 6 - S2 �" 6 +VB �" 9 - H �" 6 = 0
i1 B
- P3 �" 6 +VB �"9 - H �"6 -10 �" 6 + 30 �"9 - 30 �"6 30
B
S2 = = = = 5kN
6 6 6
Wartość dodatnia czyli założony zwrot jest prawidłowy (pręt jest prętem rozciąganym)
część kratownicy po lewej stronie przekroju
G2
P2=10kN
S2
P1=10kN
1
D3
punkt Rittera
3 m 3 m
ŁM = 0
i1
ŁM = -P2 �" 3 + S2 �" 6 = 0
i1
P2 �"3 10 �"3 30
S2 = = = = 5kN
6 6 6
Wartość dodatnia czyli założony zwrot jest prawidłowy (pręt jest prętem rozciąganym)
Dr inż. Agata Maryniak WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW
SEMESTR II
2 m
4 m
Strona 62 z 65
pręt D2
W celu wyznaczenia siły w tym pręcie za pomocą metody Rittera musimy myślowo przeciąć
naszą kratownicę przez trzy, nie przecinające się w jednym punkcie, pręty (w tym pręt D2).
Proponuję przekrój przez pręty G2, K1 i D2
myślowy przekrój kratownicy
VB=30kN
B
HB =30kN
G3
P3=10kN
G2
P2=10kN
S3
K2
2
S2
K1
G1
P1=10kN
S1
A
D1 D2 D3
HA =30kN
3 m 3 m 3 m
część kratownicy po prawj stronie przekroju
VB=30kN
B
HB =30kN
P3=10kN
G2
punkt Rittera
2
K1
A
D2
HA =30kN
3 m 3 m
Proste na których leżą pręty G2 i K1 przecinają się w punkcie oznaczonym na rysunku jako 2.
Jest to tak zwany punkt Rittera.
Dr inż. Agata Maryniak WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW
SEMESTR II
2 m
2 m
2 m
2 m
2 m
2 m
Strona 63 z 65
Rozpisujemy zatem równanie sumy momentów względem punktu Rittera (punktu 2).
ŁM = 0
i2
ŁM = -P3 �" 3 - D2 �" 2 - H �" 2 - H �" 4 + VB �" 6 = 0
i2 A B
- P3 �"3 - H �" 2 - H �" 4 +VB �" 6 -10 �"3 - 30 �" 2 - 30 �" 4 + 30�"6 - 30
A B
D2 = = = = -15kN
2 2 2
Wartość siły w pręcie D2 wyszła ujemna zatem zwrot tej siły jest przeciwny niż założono a co
za tym idzie pręt D2 jest prętem ściskanym.
część kratownicy po lewej stronie przekroju
G2
P2=10kN
punkt Rittera
2
K1
G1
P1=10kN
S1
D1 D2
3 m
Rozpisujemy równanie sumy momentów względem punktu Rittera (punktu 2).
ŁM = 0
i2
ŁM = P1 �" 3 + D2 �" 2 = 0
i2
- P1 �"3 -10 �"3 - 30
D2 = = = = -15kN
2 2 2
Wartość siły w pręcie D2 wyszła ujemna zatem zwrot tej siły jest przeciwny niż założono a co
za tym idzie pręt D2 jest prętem ściskanym.
pręt S1
W celu wyznaczenia siły w tym pręcie za pomocą metody Rittera musimy myślowo przeciąć
naszą kratownicę przez trzy, nie przecinające się w jednym punkcie, pręty (w tym pręt S1).
Proponuję przekrój przez pręty G1, S1 i D2
Dr inż. Agata Maryniak WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW
SEMESTR II
2 m
Strona 64 z 65
VB=30kN
myślowy przekrój kratownicy
B
HB =30kN
G3
P3=10kN
G2
P2=10kN
S3
K2
S2
G1 K1
P1=10kN
S1
A
1
D1 D2 D3
HA =30kN
3 m 3 m 3 m
VB=30kN
część kratownicy po prawj stronie przekroju
B
HB =30kN
P3=10kN
P2=10kN
G1
punkt Rittera S1
A
1
D2
HA =30kN
3 m 3 m 3 m
Proste na których leżą pręty G1 i D2 przecinają się w punkcie oznaczonym na rysunku jako 1.
Jest to tak zwany punkt Rittera.
Rozpisujemy zatem równanie sumy momentów względem punktu Rittera (punktu 1).
ŁM = 0
i1
ŁM = -P2 �" 3 - S1 �" 3 - P3 �" 6 - H �" 6 + VB �" 9 = 0
i1 B
- P2 �"3 - P3 �" 6 - H �"6 +VB �"9 -10 �"3 -10 �" 6 - 30 �"6 + 30�"9 0
B
S1 = = = = 0kN
3 3 3
Dr inż. Agata Maryniak WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW
SEMESTR II
2 m
2 m
2 m
2 m
2 m
2 m
Strona 65 z 65
część kratownicy po lewej stronie przekroju
G1
P1=10kN
S1
1
D1 D2
punkt Rittera
3 m
Rozpisujemy równanie sumy momentów względem punktu Rittera (punktu 1).
ŁM = 0
i1
ŁM = S1 �" 3 = 0
i1
0
S1 = = 0kN
3
Jeżeli chodzi o pręt S1 to warto zauważyć iż w węz
le gdzie schodzą się tylko trzy pręty (D1, D2
i S1) z czego dwa leżą na jednej prostej (D1 i D2) i jest to węzeł nieobciążony zatem zgodne z
zasadą III na pręty zerowe siłą w pręcie S1=0kN.
Dr inż. Agata Maryniak WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW
SEMESTR II