GEOMETRIA MAS  momenty bezwładności i dewiacji
Zasady ogólne:
1) Moment bezwładności względem osi równy jest sumie momentów bezwładności względem dwóch
prostopadłych płaszczyzn zawierających tę oś:
I =I + IÄ„ xz
x Ä„ xy
I =I + IÄ„ yz
y Ä„ xy
I = IÄ„ xz +I
z Ä„ yz
2) Moment bezwładności względem punktu równy jest sumie momentów bezwładności względem trzech
prostopadłych płaszczyzn przecinających się w tym punkcie:
I =I +I + IÄ„ yz
o Ä„ xy Ä„ xz
lub równy jest połowie sumy momentów bezwładności względem trzech prostopadłych osi przechodzących
przez ten punkt:
1
I = (I +I + I )
o x y z
2
3) Dla ciał jednorodnych czyli o stałym rozkładzie gęstości (lub układu ciał o jednakowej gęstości) masowy
moment bezwładności to iloczyn gęstości ciała i geometrycznego momentu bezwładności:
G
I = Á I
Aby przejść z masowego momentu na geometryczny należy moment masowy podzielić przez gęstość ciała
lub zastąpić masę objętością (bryła  3D), polem powierzchni (cienka płytka lub figura  2D), długością (cienki
pręt-1D) (gęstość odpowiednio objętościowa, powierzchniowa, liniowa).
4) W mechanice wykorzystuje się masowe momenty bezwładności, jednostka [kg m^2],
w wytrzymałości materiałów (dla przekrojów ciał  2D) stosuje się geometryczne momenty bezwładności,
jednostka [m^4].
5) Momenty bezwładności są zawsze dodatnie, momenty dewiacji mogą być dodanie, ujemne lub równe zero.
6) Twierdzenie Steinera dla momentów bezwładności
Moment bezwładności ciała względem danej osi równy jest sumie momentu bezwładności ciała względem
osi do niej równoległej i przechodzącej przez środek masy ciała (centralnej) oraz iloczynu masy ciała przez
kwadrat odległości między osiami, np. dla osi x:
I = I +me2
x xC
Twierdzenie to obowiązuje również dla płaszczyzny i punktu.
7) Twierdzenie Steinera dla momentów dewiacji
Moment dewiacji ciała względem dwu prostopadłych płaszczyzn równy jest sumie momentu dewiacji
względem dwu płaszczyzn równoległych do danych płaszczyzn i zawierających środek masy (centralnych)
ciała oraz iloczynu masy ciała przez współrzędne określające położenie obu płaszczyzn względem płaszczyzn
centralnych, np.:
I = IÄ„ xz Ä„ yz=I + mek
xy xC yC
W przypadku figur płaskich twierdzenie to dotyczy momentów dewiacji względem osi.
Anna Perek  Mechanika ogólna  pomoc dydaktyczna , marzec 2014 str. 1
MOMENTY BEZWA
ADNOŚCI  podstawowe wzory dla ciał jednorodnych
GRANIASTOSA
UP WALEC
1 1 1
I = m(a2+c2)
I = I = mr2+ mh2
x
x y
12
4 12
1
1
I = m(b2+c2)
z y I = mr2
z
12
2
1
z
z
I = m(a2+b2)
z
12
1
C
c 1
I = mh2
Ä„ xy
I = mc2
Ä„ xy C 12
h
12
y y
1
1
I =I = mr2
Ä„ xz Ä„ yz
I = ma2
Ä„ xz 4
12 x
b y
r
1
a y
I = mb2
Ä„ yz 2
x
m = ÁV =Á Ä„ r h
12
x x 
x
I = ?
I = ?
x '
x '
I = ?
I = ?
y '
y '
I = ?
I = ?
z ' '
x ' '
CIENKA PA
YTKA PROSTOK
TNA CIENKA PA
YTKA KOA
OWA
Rozwiązanie dokładne : Rozwiązanie dokładne :
1 1 1
I = m(a2+h2) I = I = mr2+ mh2
x x y
12 4 12
h
1
1
I = m(b2+h2)
y I = mr2
z
12
2
1
I = m(a2+b2) z
z
h
C 12
ale hC"0, stÄ…d
(rozwiązanie przybliżone):
y C
b
ale hC"0, stÄ…d
r y
z
(rozwiązanie przybliżone):
1
x
I =I = mr2
x y
a
4
1
x
I = ma2 1
x
I =IC = mr2
12
z
2
1
I = mb2
y
12
m = ÁV =Á Ä„ r2 h
1
(oÅ› z skierowana jest prostopadle do I = m(a2+b2)
z
lub m = Áa A =Áa Ä„ r2
12
płytki - do nas)
gdzie Áa=Á h
Á [ kg / m3] ; Áa [kg /m2]
PROSTOK
T [przekrój (figura) --> momenty geometryczne] KOA
O [przekrój (figura) --> momenty geometryczne]
1 1
G y y G=I G= 1 Ar2
I = Aa2 = ba3 I
12 12
x x y 4
1 1
G= 1
y G
I Ar2
I = Ab2 = ab3
2
12 12 C
y
C
C
y
gdzie : A=ab
gdzie : A=Ä„ r2
x
r
b
I = ?
I = ?
y'
a x '
I = ?
x
x y'
Anna Perek  Mechanika ogólna  pomoc dydaktyczna , marzec 2014 str. 2
GRANIASTOSA
UP PROSTY (dowolna figura w CIENKI PR
T
podstawie)
Rozwiązanie dokładne :
1 1
I = I = mr2+ mh2
z x y
4 12
1
z
I = mr2
z
2
1
h
I = mh2
ale r C"0, stÄ…d
Ä„ xy
12
(rozwiązanie przybliżone):
C
C
h
y
y 1
I = I = mh2
c x y
gdzie :
x
12
m = ÁV =Á Ah
x
I =0
z
A- pole powierzchni
2r
podstawy
2
b
m = ÁV =Á Ä„ r h
a
lub m = Áb h
gdzie Áb=Á A=Á Ä„ r2
Á [kg/m3] ; Áb [kg /m]
STOŻEK PROSTY TRÓJK
T [przekrój (figura) --> momenty geometryczne]
z
3 1
G=1 1
I = I = mr2+ mh2 I Ah2= ah3
x y
h
20 10
6 12
x
3
I = mr2
z
10
h
1
gdzie : A= ah
2
1
a
I = mh2 x
C Ä„ xy
10
3
y
I =I = mr2
Ä„ xz Ä„ yz
20
G=1 1
I Aa2= ba3
y
6 12
r x
G=1 1
gdzie :
I Ab2= ab3
a
y 6 12
1
2
x m = ÁV = Á Ä„ r h
3
1
x
b
gdzie : A= ab
2
KULA PÓA
KULA
2 2
I = I =I = mr2 I = I =I = mr2
x y z x y z
5 5
1 1
z
I =I =I = mr2
I =I =I = mr2
Ä„ xz Ä„ yz Ä„ xy
Ä„ xz Ä„ yz Ä„ xy
5
5
z
3 3
IC= mr2 IO= mr2
5
5
r y
gdzie :
r
C gdzie :
C
4 1( 4 2
y
O m = ÁV =Á Ä„ r3)=Á Ä„ r3
m = ÁV =Á Ä„ r3
2 3 3
3
y
UWAGA : wzory te same co dla kuli , ale
x
masa we wzorach o połowę mniejsza ,
zatem moment wyjdzieo połowę mniejszy
x
I = ?
C
I = ?
y'
Anna Perek  Mechanika ogólna  pomoc dydaktyczna , marzec 2014 str. 3
MASA SKUPIONA PÓA
KOLE [przekrój (figura) --> momenty geometryczne]
G=I G= 1 Ar2
I
x y 4
G= 1
I Ar2
O 2
y
gdzie :
x
I =mr2 1
x
A= (Ä„ r2)
r
2
r
C
UWAGA: masa skupiona-ciało
O
UWAGA: wzory te same codla koła ,
omasie nie do pominięcia ,
x ale pole powierzchni we wzorach
jednak o niewielkich
o połowę mniejsze , zatemmoment
m wymiarachdo pominięcia
wyjdzie o połowę mniejszy
I = ?
C
I = ?
x '
PÓA
WALCA ĆWIERĆ WALCA
1 1
I = I = mh2+ mr2
x y
12 4
1 1
1 I = I = mH2+ mr2
x y
I = mr2
3 4
z
2
z
1
I = mr2
z
2
z
1
I = mh2
Ä„ xy
12
1
1
I = mH2
Ä„ xy
h I =I = mr2
Ä„ xz Ä„ yz 3
C
4
O
1
gdzie : I =I = mr2
Ä„ xz Ä„ yz
O C
4
H=½ h
1
m = ÁV =Á( Ä„ r2)h
gdzie :
2
y
r
1 1
x
m = ÁV =Á( Ä„ r2)( h)
y
r
2 2
x
UWAGA: wzory te same co dla
y
walca , ale masa we wzorach
o połowęmniejsza , zatem UWAGA: wzoryte same co dla walca
moment wyjdzieo połowę względem układu osi w podstawie ,
mniejszy ale masa we wzorach4 razy mniejsza
zatem moment wyjdzie 4 razy mniejszy
I = ?
y'
Anna Perek  Mechanika ogólna  pomoc dydaktyczna , marzec 2014 str. 4
x
u
t
o
r
b
o
Å›
o
PRZYKA
ADOWE ZADANIA
ZAD.1
Wyznaczyć momenty bezwÅ‚adnoÅ›ci wzglÄ™dem osi x i y cienkiej jednorodnej pÅ‚ytki stalowej o gÄ™stoÅ›ci Á i gruboÅ›ci b, w ksztaÅ‚cie i
wymiarach pokazanych na rysunku. Dane: Á=7.8 [g/m^3], a=5[cm], b=0.5 [cm].
y
Płytkę dzielimy na 3 części o prostych kształtach i znanych momentach bezwładności: [1] prostokąt, [2]
trójkąt, [3] półkole.
Moment bezwładności płytki względem danej osi jest sumą momentów od każdej części względem tej
osi:
I =I - I + I
x x1 x2 x3
I =I - I +I
y y1 y2 y3
4a
[1] prostokÄ…t
Z tw. Steinera:
I =I +m(2a)2 m=Áa A
x1 xC1
Áa=Á b
O
I =1 m(4a)2
xC1
12 A=(2a)(4a)=8a2
x
a 1 1
I = m(4a)2+m(2a)2=5 ma2
x1
12 3 Á=7.8[ g /cm3]=7800[ kg/m3]
b=0.5[cm]=0.005[m]
I = I +m(a )2 Áa=7800[kg /m3]0.005 [m]=39[ kg/m2]
y1 yC1
y
yC1
I =1 m(2a)2
yC1
a=0.05[m]
12
1 1 m=39[kg /m2]8(0.05)2[m2]=0.78 [kg]
I = m(2a)2+m(a )2=1 ma2
y1
1
12 3
1Å"0.78
I =5 [kg]Å"(0.05)2[m2]=0.0104[kgm2]
x1
3
I =11Å"0.78[kg]Å"(0.05)2[ m2]=0.0026[ kgm2]
y1
C1 3
4a
I =0.0104 [kgm2]
x1
xC1
I =0.0026[kgm2]
y1
[2] trójkąt
O
Wiemy, że dla płytki trójkątnej moment bezwładności względem osi (xT) wzdłuż krawędzi
x
wynosi:
2a
1
a
I = mh2
xT
6
2
y 45o
gdzie:
h=a
yC2
45o
m=Áa A=Áa 1 (2a)h=Áa ah=Áa a2=39Å"(0.05)2=0.0975[kg]
2a
2
1/3 h
xT
C2
1Å"0.0975Å"(0.05) =4.0625Å"10-5[kgm2]
2
h I =
xC2
xT
6
I =4.0625Å"10-5[kgm2]
xT
Aby policzyć Ix2 trzeba dwukrotnie skorzystać z twierdzenia Steinera:
2 2
4a
1 1
I =I +m( h) Ò! I = I -m( h)
xT xC2 xC2 xT
3 3
2
2
I = I +m(4a + h)
x2 xC2
3
2 2
1 2
I = I -m( h) +m(4a+ h)
x2 xT
O
3 3
x
2
2 1 196 7
I = I -1 ma2+m(4a+ a) =I - ma2+ ma2= I +21 ma2
x2 xT xT xT
9 3 9 9 9
Anna Perek  Mechanika ogólna  pomoc dydaktyczna , marzec 2014 str. 5
7Å"0.0975Å"(0.05) =5.349Å"10-3[kgm2]
2
I =4.0625Å"10-5+21
x2
9
I =5.349Å"10-3[kgm2]
x2
yC2
y
A a C D
Moment bezwładności trójkąta względem osi (y).
Z tw. Steinera:
a
I =I +ma2
y2 yC2
Aby wyznaczyć moment względem osi yC2 podzielmy trójkąt na dwa ABC i BCD, każdy o
B
połowie masy całego. Wtedy oś yC2 będzie przechodziła przez krawędz
każdego z nich.
1 1
I = ( m)a2
yC2 ( jednego)
6 2
1 1
I =2Å"1 ( m)a2= ma2
yC2
6 2 6
1
I = ma2=1Å"0.0975Å"(0.05)2=4.0625Å"10-5[ kgm2]
yC2
6 6
I =4.0625Å"10-5+0.0975(0.05)2=2.8437Å"10-4[kgm2]
y2
[3] półkole
yC3
y
Wiemy, ze dla płytki w kształcie półkola moment bezwładności względem średnicy (oś x)
wynosi:
1
O I = ma2
x
4
3
x
a
m = Áa A =Áa 1 (Ä„ a2)=39Å"1Å"(Ä„Å"0.052)=0.1531[kg ]
C2
2 2
1Å"0.1531Å"0.05 =9.568Å"10-5[kgm2]
2
I =
x
4
I =9.568Å"10-5[kgm2]
x3
Moment bezwładności trójkąta względem osi (y).
Z tw. Steinera:
I =I +ma2
y3 yC3
1 1Å"0.1531Å"0.05 =9.5687Å"10-5[kgm2]
2
I = ma2=
yC3
4 4
I =9.5687Å"10-5+0.1531Å"0.052=4.7844Å"10-4[ kgm2]
y3
I =4.7844Å"10-4[kgm2]
y3
Całkowite momenty bezwładności wynoszą:
I = I - I + I =0.0104-5.349Å"10-3+9.568Å"10-5=5.1467Å"10-3[kgm2]
x x1 x2 x3
I =I - I +I =0.0026-2.8437Å"10-4+4.7844Å"10-4=2.7941Å"10-3[kgm2]
y y1 y2 y3
ostatecznie:
I =5.1467Å"10-3[kgm2]
x
I =2.7941Å"10-3[ kgm2]
y
Anna Perek  Mechanika ogólna  pomoc dydaktyczna , marzec 2014 str. 6