POLITECHNIKA BIAA
OSTOCKA
WYDZIAA
MECHANICZNY
KATEDRA MECHANIKI I INFORMATYKI STOSOWANEJ
LABORATORIUM MECHANIKI
INSTRUKCJA
ZASTOSOWANIE ZASADY ZACHOWANIA
KR
TU DO WYZNACZANIA MASOWEGO
MOMENTU BEZWA
ADNOŚCI
ROBERT UŚCINOWICZ
BIAA
YSTOK 2008
1. Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest doświadczalne wyznaczenie masowego momentu bezwładności
ciała sztywnego o złożonej geometrii i strukturze wewnętrznej względem osi obrotu przy
zastosowaniu zasady zachowania krętu (momentu pędu).
2. Wiadomości ogólne
Analityczne wyznaczenie masowego momentu bezwładności bryły geometrycznej o
regularnych kształtach takiej jak: walec, stożek, prostopadłościan, kula oraz układów ciał
materialnych złożonych z wyżej wymienionych nie sprawia większych trudności. Można
wtedy skorzystać zarówno z gotowych formuł jak i zastosować definicje i twierdzenia o
masowych momentach bezwładności. Dużo więcej problemów stwarza wyznaczenie
masowych momentów bezwładności układów materialnych o nieregularnych kształtach,
nieznanej strukturze i budowie wewnętrznej (brak informacji o rodzaju zastosowanego
materiału, kwestia niejednorodności). Wyznaczenie takiego momentu bezwładności jest
bardzo pracochłonne, opiera się na szacunkowych wyliczeniach, a niekiedy jest wręcz
niemożliwe.
W opisywanym ćwiczeniu zastosowano zasadę dynamiki  zasadę zachowania krętu
(momentu pędu) do wyznaczania masowego momentu bezwładności względem osi obrotu,
układu mas nieprzesuwnych o złożonej geometrii i strukturze. Elementy składowe tego
układu są wykonane z materiałów o różnych właściwościach fizycznych.
Twierdzenie o kręcie układu materialnego [1] ma następującą brzmienie:
Pochodna, względem czasu, krętu układu materialnego względem dowolnej nieruchomej osi
jest równa sumie momentów względem tej samej osi wszystkich sił zewnętrznych działających
na rozważany układ.
Możemy je zapisać w postaci poniższego skalarnego równania:
dKz i=n
= , (1)
�Miz
dt
i=1
gdzie: Kz - kręt układu względem dowolnej nieruchomej osi,
Miz - moment siły zewnętrznej względem nieruchomej osi.
Zatem zasada zachowania krętu [1] mówi: jeżeli suma wszystkich momentów sił zewnętrznych
działających na układ materialny względem dowolnej nieruchomej osi jest równa zeru to kręt
tego układu względem tej samej osi jest wielkością stałą, czyli:
i=n
Jeżeli = 0 to Kz = const. (2)
�Miz
i=1
Kręt układu materialnego, wykonującego ruch obrotowy, dookoła nieruchomej osi z wyraża
się wzorem:
n
Kz = mi � ri �vi , (3)
�
i=1
2
gdzie: mi  i-ta masa, ri  odległość i-tej danej masy od osi obrotu, vi  prędkość liniowa tej
masy.
Ponieważ
vi = w � ri , (4)
gdzie: w - prędkość kątowa układu materialnego wykonującego ruch obrotowy wokół osi.
Podstawiając ni z równania (4) do równania (3) oraz wyłączając stała wartość w przed znak
sumy otrzymamy równanie na kręt układu materialnego w postaci:
n
Kz = w � ri2 , (5)
�mi
i=1
Oznaczając masowy moment bezwładności układu materialnego względem osi obrotu z jako:
n
Iz = � ri2 , (6)
�mi
i=1
otrzymamy ostateczną postać zasady zachowania krętu układu materialnego wykonującego
ruch obrotowy dookoła nieruchomej osi; będzie miała postać:
KZ = IZ �w = const. (7)
3. Opis stanowiska
Celem działań na stanowisku pomiarowym przedstawionym na rys. 1, jest wyznaczenie
masowego momentu bezwładności układu materialnego złożonego z mas nieprzesuwnych
względem pionowej, nieruchomej osi obrotu. Dodatkowo, eksperyment pozwoli na
zrozumienie funkcjonowania zasady zachowania krętu.
Stanowisko pomiarowe zbudowane jest z płyty nośnej (7), na której umieszczono
prostokątną ramę ustalającą położenie pionowej osi obrotowej (1). Oś osadzona jest w
łożyskach kulkowych i ma możliwość swobodnego obracania się. Na osi zamocowano
poziomo i symetrycznie zespół czterech prętów i umieszczono na nich cztery masy przesuwne
(4 wydrążone walce), które mogą się swobodnie przesuwać wzdłuż prętów na określoną
odległość. Ich ruch ograniczony jest jedynie tarczami znajdującymi się na końcach prętów. W
opisywanym stanowisku układ mas nieprzesuwnych rozumiany jest jako zespół elementów
stanowiska zamocowanych na osi obrotu (wraz z tą osią obrotu), które pod wpływem sił
odśrodkowych bezwładności nie mogą zmieniać swojego położenia względem obracającej się
osi. W początkowej fazie ruchu obrotowego cztery wydrążone walce (masy przesuwne) są
przytrzymywane blisko osi obrotu (w położeniu I  rys.1.a) za pomocą elektromagnesów. Na
określony sygnał osoby obsługującej stanowisko jest odłączane napięcie od elektromagnesów
skutkiem czego siła inercji przesuwa masy w skrajne położenie, odległe od osi obrotu (w
położenie II  rys.1.b). W czasie doświadczenia prędkość obrotowa wirujących mas jest
mierzona poprzez optoelektroniczny przetwornik obrotowo  impulsowy MHK40, osadzony
bezpośrednio na osi obrotowej. Za jego pośrednictwem sygnał optyczny zamieniany jest na
elektryczny i w postaci impulsów napięcia trafia od komputera PC poprzez kartę analogowo-
3
cyfrową (A-C), która zamienia sygnały analogowe na postać cyfrową. W komputerze przy
użyciu programu PCDuo jest rejestrowana liczba impulsów w czasie rzeczywistym.
Zasada działania przetwornika obrotowo-impulsowyego (rys.2) polega na wysyłaniu
zwielokrotnionego sygnału prostokątnego, elektrycznego w postaci impulsów napięciowych
do karty A-C znajdującej się w komputerze. Wewnątrz obudowy przetwornika znajduje się
ruchoma tarcza z naniesionymi promieniście na jej powierzchni prążkami przezroczystymi i
nieprzezroczystymi, które stanowią przysłonę dla optoelektronicznego układu zbudowanego
ze z
ródła promieniowania podczerwonego  diody elektroluminescencyjnej i odbiornika 
fototranzystora. Jeżeli tarcza zostanie obrócona o pewien kąt wygenerowany zostanie
odpowiednio duży sygnał, określony liczbą impulsów. Tak więc znając liczbę impulsów
można wyznaczyć kąt o jaki obróci się oś przetwornika. Liczba zliczanych impulsów zależy
od wstępnego, programowego ustalenia rozdzielczości.
Rys. 1. Stanowisko pomiarowe: a) I położenie mas przesuwnych (faza skupionych mas), b) II
położenie mas przesuwnych (faza rozsuniętych mas); 1  oś obrotowa, 2  zespół mas
nieprzesuwnych (wraz z osią obrotową) 3  masa przesuwna (walec), 4  optoelektroniczny
przetwornik obrotowo  impulsowy, 5  zespół elektromagnesów, 6  rama, 7  płyta nośna.
Rys. 2. Układ pomiaru drogi kątowej i zasilania elektromagnesów: 1  optoelektroniczny
przetwornik obrotowo  impulsowy MHK40, 2  wyłącznik zasilania elektromagnesów, 3 
przewód niskonapięciowy, 4  bieżnia zasilająca elektromagnesy, 5  zasilacz zespołu
elektromagnesów (transformator i prostownik)
4
4. Przebieg ćwiczenia
Wykonywanie ćwiczenia należy przeprowadzić w następującej kolejności:
1) Sprowadzić masy przesuwne w położenie I ( najbliżej osi obrotu), tak aby znalazły się w
strefie kontaktu z rdzeniami elektromagnesów.
2) Uruchomić komputer, załadować system MS Windows 98 oraz uruchomić aplikację
PC_duo.exe [2]. Efektem tych działań będzie wyświetlenie poniższego okna (rys. 3).
3) Przeprowadzić wzorcowanie (kalibrację) polegające na wykonaniu określonych
czynności ustalających relację między wartościami wielkości mierzonej wskazanymi
przez przyrząd, a odpowiednimi wartościami wielkości fizycznych, realizowanymi przez
wzorzec jednostki miary. W tym celu na początku należy ustalić jednoznaczne położenie
markera zespołu obrotowego względem markerów ramy, po czym wyzerować wskazania
przetwornika obrotowo  impulsowego klikając myszą na menu programu PC_duo i
wybierając komendę  zerowanie (rys. 3).
Rys. 3. Okno startowe programu PC_duo.exe po wyzerowaniu wskazań przetwornika
Następnie dokonać obrotu układu materialnego (wokół osi) dokładnie o jeden obrót, o czym
świadczyć będzie pokrywanie się markerów. Odczytać wskazania przetwornika wyświetlane
w oknie programu PC_duo. Program przy rozdzielczości przetwarzania 1024/obrót powinien
wskazać relację 1 obrót = 2000 impulsów (liczbę impulsów odczytuję się przy napisie
 pozycja - rys. 4.
5
Rys. 4. Przykładowe wskazanie przetwornika przy obrocie o 90 stopni (0.25 obrotu)
4) Włączyć zasilacz dostarczający prąd elektryczny do elektromagnesów. Ustalić pokrętłem
napięcie prądu stałego na poziomie 24V.
5) Wyzerować powtórnie wskazania przetwornika obrotowo  impulsowego.
6) Uruchomić program  zapis danych rejestrujący dane pomiarowe (zliczający liczbę
impulsów w czasie), wprowadzając nazwę pliku wyjściowego oraz częstotliwość
próbkowania (przyjąć 25 50 Hz). Kolejne wyświetlane ekrany pokazuje rysunek 5.
1
7) Wprowadzić ręcznie układ mas w ruch obrotowy wykonując obrotu z możliwie jak
2
największą prędkością kątową,
6
Rys. 5. Kolejne ścieżki komend wyświetlanych po uruchomieniu aplikacji  zapis danych
8) Sprowadzić masy przesuwne w położenie II (maksymalna odległość mas przesuwnych
od osi obrotu) poprzez wciśnięcie odpowiedniego przycisku odłączającego napięcie od
elektromagnesów (rys. 2 poz.2).
9) Wyłączyć program rejestrujący dane pomiarowe po wykonaniu przez obracający się
układ mas minimum trzech obrotów wokół osi (rys.6.).
Rys. 6. Ekran ilustrujący końcową fazę zapisu danych i sygnalizuję potrzeby wyłączenia
rejestracji
10) Powtórzyć trzy serie pomiarów powtarzając czynności 1� 7 trzykrotnie.
11) Odtworzyć zarejestrowane pliki pomiarów w programie MS Excel [3] dokonując
konwersji danych z formatu ASCII do formatu MS Excel.
12) Przy pomocy formuł matematycznych dostępnych w arkuszu MS Excel zamienić ilość
impulsów zarejestrowanych przez przetwornik (w czasie badań) na wielkość drogi
kątowej pokonywanej przez układ materialny przyjmując dane uzyskane na etapie
wzorcowania (średnio 2000 impulsów = 2p).
13) Wykonać wykres ilustrujący zmianę drogi kątowej układu mas w I i II położeniu w
podczas pomiaru (rys.7)
7
25
20
15
10
5
0
0 1 2 3 4 5 6
czas [s]
Rys.7. Zmiana wielkości pokonywanej drogi kątowej w czasie wynikła ze wzrostu momentu
bezwładności układu mas
14) Podzielić dane pomiarowe na dwie niezależne podgrupy, związane z drogą kątową
układu mas w I i II położeniu. Niezależnie zbudować dla nich wykresy jI = f (t) i
jII = f (t) .
15) Otrzymane na wykresie zbiory punków aproksymować równaniami prostych.
Współczynniki kierunkowe wyznaczonych prostych określają prędkości kątowe wI i
wI układu mas w I i II położeniu (rys. 8).
10
9
8 y = 11.026x - 9.1326
R2 = 0.9921
7
6
5
4
3
2
1
0
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7
czas [s]
Rys. 8. Sposób wyznaczenia prędkości kątowej w pierwszej fazie ruchu (położenie I)
16) Wyznaczone wartości prędkości kątowych dla trzech serii pomiarów zamieścić w
tablicy 2.
8
droga k
ą
towa [rad]
droga katowa [rad]
17) Wyłączyć zasilacz i komputer; sprzątnąć stanowisko pomiarowe.
5. Wyniki pomiarów i obliczeń
Zasada zachowania krętu dla rozpatrywanego układu mas ma postać:
I I I
wI Iz n p + Iz p wII= Izn p + Iz p , (8)
( ) ( )
gdzie: Iz np -moment bezwładności mas nieprzesuwnych układu względem osi obrotu z,
I
Iz p - moment bezwładności mas przesuwnych układu w położeniu I względem osi z,
I I
Iz p -moment bezwładności mas przesuwnych układu w położeniu II względem osi z,
wI - prędkość kątowa układu mas przesuwnych w położeniu I,
wII - prędkość kątowa układu mas przesuwnych w położeniu II.
Poszukiwany moment bezwładności mas nieprzesuwnych układu wyznaczamy
przekształcając wzór (9) do postaci:
I I
wII IZ I -wI IZ p
p
Iz np = , (9)
wI -wII
I
Moment bezwładności IZ p (czterech walców przesuwnych o masie mp ) wyznaczymy z
poniższego wzoru, korzystając między innymi z twierdzenia Steinera.
2
dz dw 2
3ć � + 3ć � + h2
� � � �
22
I I
Izp = Iz p + 4� m=r12 4mp �Ł ł Ł ł + 4� mpr12 , (10)
p
1
12
Po uproszeniu otrzymujemy:
1 1 1
I 2 2
Izp = mp ć �dz + � dw + � h2 + 4� r12 �, (11)
��
4 4 3
Łł
II
Przez analogię zbudujemy równanie określające moment bezwładności IZ p , który zapiszemy:
1 1 1
I 2 2
Izp = mp ć �dz + � dw + � h2 + 4� r22 �, (12)
��
4 4 3
Łł
gdzie: mp - masa przesuwna (masa jednego wydrążonego walca),
r1  odległość środka masy przesuwnej od osi obrotu w położeniu I,
r2  odległość środka masy przesuwnej od osi obrotu w położeniu II.
Schemat rozmieszczenia masy przesuwnej w położeniu I i II wraz z jej wymiarami
geometrycznymi przedstawiono na rys. 9.
9
Masę przesuwną (masę jednego wydrążonego walca) wyznaczamy z poniższego wzoru:
2 2
ć�
dz dw 1
2 2
mp =p � h � r - = p � r �h dz - dw (13)
( )
��
4 4 4
Łł
Rys. 9. Zmiana położenia środka masy przesuwnej w I i II fazie doświadczenia: r1 -
odległości środka masy mp od osi obrotu w położeniu I ( minimalny dystans od osi obrotu),
r2 - odległość środka masy mp od osi obrotu w położeniu II ( maksymalny dystans od osi
obrotu).
Tablica 1. Wyniki pomiarów
r
Numer h
dz dw mp r1 r2
pomiaru
[m] [m] [m] [kg/m3] [kg] [m] [m]
1
2
3
Średnia
Tablica 2. Wyniki obliczeń
I II
Numer
wI wII Iz np
Izp Izp
pomiaru
[1/s] [1/s] [kg m2] [kg m2] [kg m2]
1
2
3
Średnia
10
 6. Wnioski
We wnioskach wskazać przyczyny rozrzutu wartości masowego momentu bezwładności
mas nieprzesuwnych Iz np . Określić wpływ prędkości wI iwII na otrzymywane wartości Iz np .
Literatura
1. Leyko J., Mechanika ogólna, t. II, W-wa, PWN, 1980.
2. Instrukcja do wizualizacji pomiarów za pomocą karty PC  DUO firmy Wobit
3. Instrukcja obsługi programu Microsoft Office Excel, 2000.
11