ÿþ6 . Z a s a d y z a c h o w a n i a e n e r g i i , p d u i m o m e n t u p d u , p r a c a .
W y b ó r i o p r a c o w a n i e z a d a D 6 . 1 - 6 . 2 9 . . B o g u m i Ba S t r z e l e c k a .
6 . 1 . S a n k i z s u w a j s i z e s z c z y t u t o r u o d Bu g o [c i l p o c h y l o n e g o p o d k t e m ± d o p o z i o m u , a
n a s t p n i e w j e |d |a j n a t o r p r o s t y . W z d Bu | c a Be g o t o r u d z i a Ba n a s a n k i s i Ba t a r c i a .
W s p ó Bc z y n n i k t a r c i a n a t o r z e p o c h y By m w y n o s i µ 1 , z a [ n a t o r z e p r o s t y m µ 2 . O b l i c z y j a k
d r o g s p r z e b d s a n k i p o t o r z e p r o s t y m .
6 . 2 . K u l k a o m a s i e m = 2 0 g w y r z u c o n a p i o n o w o w g ó r z p r d k o [c i v o = 2 0 0 m / s , s p a d Ba n a
z i e m i z p r d k o [c i v = 5 0 m / s . O b l i c z y p r a c s i B t a r c i a w p o w i e t r z u .
6 . 3 . D o g a Bz i d r z e w a p r z y w i z a n a j e s t l i n a , p o k t ó r e j w s p i n a s i c z Bo w i e k o m a s i e m . J a k
p r a c w y k o n a c z Bo w i e k , j e |e l i p r z e b d z i e o n p o t e j l i n i e o d c i n e k o d Bu g o [c i l . P r z y s p i e s z e n i e
z i e m s k i e w y n o s i g .
6 . 4 . K u l k a o m a s i e M , z n a j d u j c a s i n a k o Dc u m o g c e g o s i o b r a c a c i e n k i e g o p r t a o
d Bu g o [c i l ( m a s p r t a p o m i j a m y ) , z o s t a Ba w y c h y l o n a o 1 8 0 o z e s w e g o n a j n i |s z e g o p o Bo |e n i a .
S p a d a j c k u l k a z d e r z a s i w n a j n i |s z y m p o Bo |e n i u z k u l k p l a s t e l i n o w o m a s i e m . N a j a k
w y s o k o [ w z n i o s s i o b i e k u l k i p o z d e r z e n i u i z l e p i e n i u s i ? W o b l i c z e n i a c h p r z y j , |e l
j e s t d u |o w i k s z e n i | r o z m i a r y m a s M i m .
6 . 5 . N a s z c z y c i e g Ba d k i e j k u l i o p r o m i e n i u R p o Bo |o n o m o n e t , k t ó r e j n a d a n o p r d k o [
p o c z t k o w w k i e r u n k u p o z i o m y m o w a r t o [c i v q . W k t ó r y m m i e j s c u , l i c z c o d w i e r z c h o Bk a
k u l i , m o n e t a o d e r w i e s i o d n i e j ( m o n e t a z s u w a s i b e z t a r c i a ) ? P r z y s p i e s z e n i e z i e m s k i e j e s t
r ó w n e g .
6 . 6 . D w i e k u l e o m a s a c h m 1 i m 2 , p o r u s z a j c e s i z t a k s a m p r d k o [c i v z d e r z a j s i
c e n t r a l n i e . Z d e r z e n i e j e s t d o s k o n a l e s p r |y s t e . P o d a w a r u n k i , j a k i e m u s z b y s p e Bn i o n e ,
a b y : a ) p i e r w s z a k u l a z a t r z y m a Ba s i ; b ) d r u g a k u l a z a t r z y m a Ba s i ; c ) n a s t p i Ba z m i a n a
z w r o t u p r d k o [c i k a |d e j z k u l .
6 . 7 . J a k p r a c n a l e |y w y k o n a , a b y s Bu p t e l e g r a f i c z n y o m a s i e M = 2 0 0 k g , d o k t ó r e g o
w i e r z c h o Bk a p r z y m o c o w a n o p o p r z e c z k o m a s i e m = 3 0 k g , p o d n i e [ z p o Bo |e n i a p o z i o m e g o
d o p o z y c j i p i o n o w e j , j e |e l i d Bu g o [ s Bu p a j e s t r ó w n a l = 1 0 m ? P r z y s p i e s z e n i e z i e m s k i e
p r z y j g = 1 0 m / s 2 .
6 . 8 . Z n a l e z n o c w o d o s p a d u N i a g a r a , j e |e l i j e g o w y s o k o [ h = 5 0 m , a [r e d n i p r z e p By w w o d y
V = 5 9 0 0 m 3 / s . G s t o [ w o d y Á = 1 0 0 0 k g / m 3 , a p r z y s p i e s z e n i e z i e m s k i e g = 1 0 m / s 2 .
6 . 9 . K u l k a o m a s i e m u d e r z a w w a h a d Bo f i z y c z n e o m a s i e M i p o z o s t a j e w n i m . J a k a c z [
e n e r g i i k u l k i z a m i e n i s i n a c i e p Bo ?
6 . 1 0 . C i a Bo w y r z u c o n o p i o n o w o w g ó r z p r d k o [c i v o . Z n a l e z w y s o k o [, n a k t ó r e j e n e r g i a
k i n e t y c z n a c i a Ba b d z i e r ó w n a j e g o e n e r g i i p o t e n c j a l n e j ? P r z y s p i e s z e n i e z i e m s k i e w y n o s i g .
6 . 1 1 . K u l k a o m a s i e m l e c c a p o z i o m o , u d e r z a w p o w i e r z c h n i k l i n a o m a s i e M l e |c e g o n a
p o z i o m e j p Ba s z c z y zn i e t a k , |e o d s k a k u j e p i o n o w o w g ó r n a w y s o k o [ h . Z a k Ba d a j c , |e
z d e r z e n i e j e s t d o s k o n a l e s p r |y s t e , z n a l e z p r d k o [, j a k u z y s k a B k l i n t u | p o z d e r z e n i u .
P r z y s p i e s z e n i e z i e m s k i e j e s t r ó w n e g .
6 . 1 2 . P i Be c z k p i n g p o n g o w o p r o m i e n i u r = 1 5 m m i m a s i e m = 5 g z a n u r z o n o w w o d z i e n a
g Bb o k o [c i h = 3 0 c m . k i e d y p u s z c z o n o t p i Be c z k , w y s k o c z y Ba o n a z w o d y n a w y s o k o [ h 1
= 1 0 c m . J a k a i l o [ c i e p Ba w y d z i e l i Ba s i w w y n i k u d z i a Ba n i a s i B t a r c i a ? G s t o [ w o d y Á =
1 0 0 0 k g / m 3 . P r z y j g = 1 0 m / s 2 .
6 . 1 3 . D w i e k u l e o m a s a c h m 1 = 0 , 2 k g i m 2 = 0 , 8 k g z a w i e s z o n e n a d w ó c h r ó w n o l e g By c h
n i c i a c h o d Bu g o [c i l = 2 m k a |d a , s t y k a j s i z e s o b . M n i e j s z a k u l a z o s t a j e o d c h y l o n a o k t
9 0 o o d p o c z t k u p o Bo |e n i a i p u s z c z o n a . Z n a l e z p r d k o [ k u l p o z d e r z e n i u z a k Ba d a j c , |e
z d e r z e n i e k u l b y Bo : a ) d o s k o n a l e s p r |y s t e , b ) d o s k o n a l e n i e s p r |y s t e . J a k a c z [ e n e r g i i
p o c z t k o w e j z a m i e n i s i n a c i e p Bo w p r z y p a d k u z d e r z e n i a d o s k o n a l e n i e s p r |y s t e g o ?
6 . 1 4 . C i a Bo o m a s i e m p r z y m o c o w a n e d o n i c i o d Bu g o [c i l o z a t a c z a o k r g o p r o m i e n i u r ó w n y m
d Bu g o [c i n i c i z p r d k o [c i v o . J a k p r a c n a l e |y w y k o n a [c i g a j c c i a Bo d o [r o d k a o k r g u ,
s k r a c a j c n i o "l .
6 . 1 5 . Z n a l e z h a m u j c y m o m e n t s i By , k t ó r y m o |e z a t r z y m a w c i g u c z a s u t = 2 0 s k o Bo
z a m a c h o w e o m a s i e m = 5 0 k g i p r o m i e n i u R = 0 , 3 m o b r a c a j c e s i z c z s t o t l i w o [c i f = 3 0
s - 1 . Z a Bo |y , |e m a s a k o Ba z a m a c h o w e g o r o z m i e s z c z o n a j e s t n a j e g o o b w o d z i e . J a k a p r a c a
b d z i e p o t r z e b n a d o z a t r z y m a n i a t e g o k o Ba z a m a c h o w e g o ?
6 . 1 6 . K u l k a , s t a c z a j c a s i b e z p o [l i z g u z r ó w n i p o c h y Be j o k c i e n a c h y l e n i a ± = 3 0 o , u d e r z a
w p Ba s z c z y z n p o z i o m i p o d s k a k u j e n a w y s o k o [ h = 1 2 , 5 c m w r z u c i e u k o [n y m .
Z a n i e d b u j c t a r c i e i z a k Ba d a j c , |e u d e r z e n i e j e s t d o s k o n a l e s p r |y s t e z n a l e z d r o g j a k
2
p r z e b y Ba k u l k a w z d Bu | r ó w n i p o c h y Be j . M o m e n t b e z w Ba d n o [c i k u l k i I = m R 2
5
6 . 1 7 * . J e d n o r o d n a d e s k a o m a s i e m i d Bu g o [c i l l e |y n a g r a n i c y z e t k n i c i a d w ó c h s t o Bó w , n a
s t o l e p i e r w s z y m . J a k m i n i m a l n p r a c n a l e |y w y k o n a , a b y p r z e s u n j z e s t o Bu p i e r w s z e g o
n a d r u g i , j e |e l i w s p ó Bc z y n n i k i t a r c i a p o m i d z y d e s k a s t o Be m w y n o s z µ 1 i µ 2 , o d p o w i e d n i o
d l a p i e r w s z e g o i d r u g i e g o s t o Bu .
6 . 1 8 * . W a l e c o w y s o k o [c i h , p r o m i e n i u p o d s t a w y R i g s t o [c i Á1 p By w a w n a c z y n i u
w y p e Bn i o n y m c i e c z o g s t o [c i Á2 > Á1 . O [ w a l c a j e s t p r o s t o p a d Ba d o p o d s t a w y n a c z y n i a .
O b l i c z y p r a c , j a k n a l e |y w y k o n a a b y w a l e c z a n u r z y c a Bk o w i c i e w c i e c z y ?
6 . 1 9 * . N a p o d Bo d z e l e |y l i n a o m a s i e m i d Bu g o [c i l . J e d e n z j e j k o Dc ó w p o d n o s i m y d o g ó r y
d o p ó k i l i n a n i e o d e r w i e s i o d p o d Bo g i . W y z n a c z y m i n i m a l n w a r t o [ p r a c y j a k n a l e |y
w y k o n a , a b y p o d n i e [ l i n z p o d Bo g i w p o l u g r a w i t a c y j n y m Z i e m i w p r z y p a d k u , g d y :
a ) l i n a j e s t j e d n o r o d n a
b ) l i n a j e s t n i e j e d n o r o d n a i j e j m a s a m z a l e |y o d o d l e g Bo [c i x o d j e d n e g o z j e j k o Dc ó w
2
x
w e d Bu g w z o r u m ( x ) = m 0 ëø öø .
ìø ÷ø
l
íø øø
6 . 2 0 . C z Bo w i e k s t o i n a n i e r u c h o m y m w ó z k u i r z u c a d o p r z o d u k a m i e D o m a s i e m , n a d a j c m u
p r d k o [ v . W y z n a c z y p r a c , j a k m u s i w y k o n a p r z y t y m c z Bo w i e k , j e |e l i M a s a w ó z k a
w r a z z n i m w y n o s i M .
6 . 2 1 . C z Bo w i e k o m a s i e m 1 = 6 0 k g , b i e g n c y z p r d k o [c i v 1 = 8 k m / h , d o g a n i a w ó z e k o
m a s i e m 2 = 9 0 k g , k t ó r y j e d z i e z p r d k o [c i v 2 = 4 k m / h i w s k a k u j e n a t e n w ó z e k . Z j a k
p r d k o [c i b d z i e p o r u s z a B s i w ó z e k z c z Bo w i e k i e m ? J a k a b d z i e p r d k o [ w ó z k a z
c z Bo w i e k i e m w p r z y p a d k u , g d y c z Bo w i e k b d z i e b i e g B n a p r z e c i w k o w ó z k a ?
6 . 2 2 . L e c c y p o z i o m o g r a n a t z p r d k o [c i v = 1 0 m / s w p e w n e j c h w i l i r o z e r w a B s i n a d w a
o d Ba m k i . W i k s z y o d Ba m e k , k t ó r e g o m a s a s t a n o w i Ba n = 6 0 % m a s y c a Be g o g r a n a t u ,
k o n t y n u o w a B l o t w p i e r w o t n y m k i e r u n k u , l e c z z e z w i k s z o n p r d k o [c i v 1 = 2 5 m / s . Z n a l e z
k i e r u n e k i w a r t o [ p r d k o [c i m n i e j s z e g o o d Ba m k a .
6 . 2 3 . Z n a l e z w a r t o [ p r d k o [c i p o c z t k o w e j p o r u s z a j c e g o s i p o l o d z i e k r |k a h o k e j o w e g o ,
j e |e l i p r z e d z d e r z e n i e m z b a n d p r z e b y B o n d r o g s 1 = 5 m , a p o z d e r z e n i u , k t ó r e m o |n a
t r a k t o w a j a k o d o s k o n a l e s p r |y s t e , p r z e b y B j e s z c z e d r o g s 2 = 2 m d o c h w i l i z a t r z y m a n i a s i .
W s p ó Bc z y n n i k t a r c i a k r |k a o l ó d j e s t r ó w n y µ = 0 , 1 .
6 . 2 4 . Z r u r y o p r z e k r o j u s = 5 c m 2 w y p By w a w k i e r u n k u p o z i o m y m s t r u m i e D w o d y z
p r d k o [c i , k t ó r e j w a r t o [ w y n o s i v = 1 0 m / s , u d e r z a j c p i o n o w o w [c i a n s t o j c e j n a
s z y n a c h w ó z k a , a n a s t p n i e s p By w a w d ó B p o t e j [c i a n c e . Z j a k i m p r z y s p i e s z e n i e m b d z i e
p o r u s z a s i w ó z e k ? J e g o m a s a m = 2 0 0 k g , a k i e r u n e k s t r u m i e n i a w o d y j e s t r ó w n o l e g By d o
k i e r u n k u s z y n . P r z y j , i | h a m u j c a r u c h w ó z k a s i Ba o p o r u j e s t s t o r a z y m n i e j s z a o d c i |a r u
t e g o p o j a z d u .
6 . 2 5 . D w i e p o z i o m e t a r c z e w i r u j w o k ó B p i o n o w e j o s i p r z e c h o d z c e j p r z e z i c h [r o d e k .
M o m e n t y b e z w Ba d n o [c i t a r c z w y n o s z I 1 o r a z I 2 , a i c h p r d k o [c i k t o w e É1 i É2 . P o u p a d k u
t a r c z y g ó r n e j n a d o l n o b i e t a r c z e ( w w y n i k u d z i a Ba n i a s i B t a r c i a ) o b r a c a j s i r a z e m j a k
j e d n o c i a Bo . W y z n a c z y :
a ) p r d k o [ k t o w t a r c z p o z Bc z e n i u ;
b ) p r a c w y k o n a n p r z e z s i By t a r c i a .
6 . 2 6 . N a b r z e g u p o z i o m o u s t a w i o n e j t a r c z y o m o m e n c i e b e z w Ba d n o [c i I ( w z g l d e m o s i
p i o n o w e j p r z e c h o d z c e j p r z e z [r o d e k t a r c z y ) i p r o m i e n i u R z n a j d u j e s i c z Bo w i e k o m a s i e m .
O b l i c z y p r d k o [ k t o w t a r c z y É, g d y c z Bo w i e k z a c z n i e p o r u s z a s i w z d Bu | j e j b r z e g u z
p r d k o [c i v w z g l d e m n i e j .
6 . 2 7 . C z Bo w i e k o m a s i e m s t o i n a o s i o b r o t o w e g o s t o l i k a o p r o m i e n i u R t r z y m a j c o b u r c z z a
o [, p i o n o w o n a d g Bo w o b r a c a j c e w o k ó B t e j o s i ( p i o n o w e j ) z p r d k o [c i k t o w Éo k o Bo
r o w e r o w e o m o m e n c i e b e z w Ba d n o [c i I o . W y z n a c z y p r d k o [ k t o w É1 r u c h u o b r o t o w e g o
s t o l i k a p o :
a ) o b r ó c e n i u p r z e z c z Bo w i e k a k o Ba o k t 1 8 0 o ,
b ) z a h a m o w a n i u k o Ba p r z e z c z Bo w i e k a .
M o m e n t b e z w Ba d n o [c i s t o l i k a z c z Bo w i e k i e m w y n o s i I .
6 . 2 8 . L i s t w a d r e w n i a n a o d Bu g o [c i l i m a s i e m m o |e s i o b r a c a d o o k o Ba o s i p r o s t o p a d Be j d o
l i s t w y , p r z e c h o d z c e j p r z e z j e j [r o d e k . W k o n i e c l i s t w y t r a f i a p o c i s k o m a s i e m 1 , l e c c y z
p r d k o [c i v 1 w k i e r u n k u p r o s t o p a d By m d o o s i i d o l i s t w y . Z n a l e z p r d k o [ k t o w , z j a k a
l i s t w a z a c z n i e s i o b r a c a , g d y u t k w i w n i e j p o c i s k .
6 . 2 9 . N a p o z i o m y m , d o s k o n a l e g Ba d k i m s t o l e l e |y p r t o d Bu g o [c i l i m a s i e m . W k o n i e c p r t a
t r a f i a p o c i s k o m a s i e m 1 , l e c c y z p r d k o [c i v 1 w k i e r u n k u p r o s t o p a d By m d o o s i p r t a .
Z n a l e z p r d k o [ k t o w , z j a k p r t z a c z n i e s i o b r a c a , g d y u t k w i w n i e j p o c i s k o r a z
w a r t o [ p r d k o [c i l i n i o w e j [r o d k a p r t a .
R o z w i z a n i a :
6 . 1 . R .
K o r z y s t a j c z z a s a d y z a c h o w a n i a e n e r g i i o r a z p a m i t a j c , |e p r a c a j e s t f o r m e n e r g i i
o t r z y m u j e m y :
m v 2
( 1 ) m g h = + W 1
2
m v 2
( 2 ) = W 2
2
o r a z z d e f i n i c j i p r a c y
( 3 ) W 1 = T 1 Å" l
( 4 ) W 2 = T 2 Å" x
i s i By t a r c i a
( 5 ) T 1 = µ 1 m g c o s ±
( 6 ) T 2 = µ 2 m g
p o d s t a w i a m y w y r a |e n i a o k r e [l o n e r ó w n a n i a m i ( 2 ) , ( 3 ) , ( 4 ) , ( 5 ) i ( 6 ) d o r ó w n a n i a ( 1 )
t r z y m u j c :
( 7 ) m g h = µ 2 m g x + µ 1 m g c o s ± Å" l
P o n i e w a |
h
( 8 ) = s i n ± , s t d h = l Å" s i n ± .
l
P o d s t a w i a j c t o |s a m o [ ( 8 ) d o r ó w n a n i a ( 7 ) i p r z e k s z t a Bc a j c j e o t r z y m u j e m y :
s i n ± - µ 1 c o s ±
x = Å" l
µ 2
6 . 2 . O . W = 3 7 5 J
6 . 3 . O . W = m g l
6 . 4 . R .
K o r z y s t a j c z z a s a d y z a c h o w a n i a e n e r g i i m e c h a n i c z n e j o t r z y m u j e m y r ó w n a n i e :
p 2
( 1 ) M g 2 l = , g d z i e p o z n a c z a w a r t o [ p d u m a s y M w n a j n i |s z y m p o Bo |e n i u .
2 M
Z z a s a d y z a c h o w a n i a p d u :
( 2 ) p = p u
W y s o k o [, n a k t ó r w z n i o s s i o b i e m a s y p o z Bc z e n i u , o b l i c z a m y k o r z y s t a j c p o n o w n i e z
z a s a d y z a c h o w a n i a e n e r g i i :
2
p u
( 3 ) = ( M + m ) g h
2 ( M + m )
P o p r z e k s z t a Bc e n i a c h
2
M
( 4 ) h = 2 Å" l
2
( M + m )
6 . 5 . R .
Z z a s a d y z a c h o w a n i a e n e r g i i w y n i k a :
2
m v o m v 2
( 1 ) + m g R = + m g ( R - x )
2 2
W p u n k c i e , w k t ó r y m o d e r w i e s i c i a Bo :
m v 2
( 2 ) = N , g d z i e N w a r t o [ s i By n a c i s k u .
R
Z p o d o b i e Ds t w a t r ó j k t ó w :
N R - x
( 3 ) =
m g R
P o r o z w i z a n i u u k Ba d u p o w y |s z y c h r ó w n a D o t r z y m u j e m y :
2
R v 0
( 4 ) x = -
3 3 g
m 2
6 . 6 . O . a ) m 1 = 3 m 2 . b ) 3 m 1 = m 2 , c ) "m 1 "3 m 2
3
6 . 7 . R . P r a c a j e s t r ó w n a z m i a n i e e n e r g i i p o t e n c j a l n e j s Bu p a w z g l d e m j e g o p i e r w o t n e g o
p o Bo |e n i a :
( 1 ) W = "E p
S Bu p t r a k t u j e m y j a k o b r y B s z t y w n , n a t o m i a s t p o p r z e c z k j a k o p u n k t m a t e r i a l n y .
l
ëø öø
( 2 ) W = M g + m g l - 0 = 1 3 k J
ìø ÷ø
2
íø øø
6 . 8 . R .
W
( 1 ) P =
t
( 2 ) W = "E = m g h
m g h
( 3 ) P =
t
m
( 4 ) = Á Å"V
t
( 5 ) P = Á Å"V g h = 2 9 5 0 M W
6 . 9 . R .
Q
( 1 ) x = , g d z i e Q w y d z i e l o n e c i e p Bo , E o e n e r g i a k i n e t y c z n a k u l k i ;
E o
( 2 ) Q = E o - E , E e n e r g i a k i n e t y c z n a u k Ba d u k u l k a w a h a d Bo p o z d e r z e n i u ;
2
p o p 2
( 3 ) E o = , E = , g d z i e p o p d k u l k i p r z e d z d e r z e n i e m , p p d u k Ba d u k u l k a
2 m 2 ( M + m )
w a h a d Bo p o z d e r z e n i u .
Z g o d n i e z z a s a d z a c h o w a n i a p d u :
( 4 ) p 0 = p
P o d s t a w i a j c w z o r y ( 2 ) , ( 3 ) i ( 4 ) d o r ó w n a n i a ( 1 ) o t r z y m u j e m y :
M
( 5 ) x =
M + m
6 . 1 0 . O .
2
v o
h =
4 g
6 . 1 1 . R .
K o r z y s t a j c z z a s a d y z a c h o w a n i a p d u o r a z z a s a d y z a c h o w a n i a e n e r g i i o t r z y m u j e m y u k Ba d
t r z e c h r ó w n a D:
2 2 2
( 1 ) p 3 = p 2 + p 1 , p 1 p d k u l k i p r z e d z d e r z e n i e m , p 2 p d k u l k i p o z d e r z e n i u , p 3 p d
k l i n a .
2 2 2
p 3 p 2 p 1
( 2 ) + =
2 M 2 m 2 m
2
p 2
( 3 ) = m g h
2 m
R o z w i z u j c p o w y |s z y u k Ba d r ó w n a D o t r z y m u j e m y w z ó r n a w a r t o [ p 3 :
g h M
( 4 ) p 3 = 2 m
M - m
P o n i e w a | p 3 = M Å"v 3 , s t d
g h
( 5 ) v 3 = 2 m
M ( M - m )
6 . 1 2 . R .
P r a c a s i By w y p o r u F w n a d r o d z e h z o s t a j e w y k o r z y s t a n a n a z m i a n e n e r g i i p o t e n c j a l n e j c i a Ba
"E w z g l d e m p o Bo |e n i a p o c z t k o w e g o o r a z n a c i e p Bo Q :
( 1 ) F w h = Q + "E
4
( 2 ) F w = Á Å" g V ; V = À Å" r 3
3
( 3 ) "E = m g ( h + h 1 )
P r z e k s z t a Bc a j c p o w y |s z e r ó w n a n i a o t r z y m u j e m y :
4
( 4 ) Q = À Å" r 3 Å" Á Å" g h - m g ( h + h 1 ) = 2 , 2 Å"1 0 - 2 J
3
6 . 1 3 . R .
a ) W z d e r z e n i u d o s k o n a l e s p r |y s t y m s p e Bn i o n a j e s t z a s a d a z a c h o w a n i p d u i e n e r g i i
m e c h a n i c z n e j
( 1 ) m 1 v = m 1 v 1 + m 2 v 2 , g d z i e v , v 1 w a r t o [c i p r d k o [c i c i a Ba o m a s i e m 1 p r z e d i p o
z d e r z e n i u , v 2 w a r t o [ p r d k o [c i c i a Ba m 2 p o z d e r z e n i u .
2 2
m 1 v 2 m 1 v 1 m 2 v 2
( 2 ) = +
2 2 2
R o z w i z u j c p o w y |s z e r ó w n a n i a o t r z y m u j e m y :
m 2 - m 1 2 m 1
( 3 ) v 1 = v o r a z v 2 = v .
m 1 + m 2 m 1 + m 2
E n e r g i a p o t e n c j a l n a o d c h y l o n e j k u l k i j e s t r ó w n a j e j e n e r g i i k i n e t y c z n e j w m o m e n c i e
z d e r z e n i a z d r u g k u l k :
m 1 v 2
( 4 ) m 1 g l = s t d v = 2 g l
2
w i c :
m - m 2 m 1
2 1
( 5 ) v 1 = 2 g l = 3 , 8 m / s i v 2 = 2 g l = 2 , 5 m / s
m + m m 1 + m 2
1 2
b )
W z d e r z e n i u d o s k o n a l e n i e s p r |y s t y m s p e Bn i o n a j e s t z a s a d a z a c h o w a n i a p d u :
( 1 ) m 1 v = ( m 1 + m 2 ) v x ,
g d z i e v w a r t o [ p r d k o [c i m a s y m p r z e d z d e r z e n i e m , v x w a r t o [ p r d k o [c i o b u z Bc z o n y c h
k u l e k p o z d e r z e n i u
s t d :
m 1
( 2 ) v x = v
m 1 + m 2
P o n i e w a |
m 1 v 2
( 3 ) m 1 g l = s t d v = 2 g l
2
o t r z y m u j e m y
2 m 1
( 4 ) v x = 2 g l = 1 , 3 m / s
m 1 + m 2
Q
( 5 ) x = - o z n a c z a , j a k a c z [ e n e r g i i z a m i e n i s i n a c i e p Bo
m 1 g l
( m 1 + m 2 ) v
2
( 6 ) Q = m 1 g l -
x
2
P o p o d s t a w i e n i u z a v x o t r z y m u j e m y :
m 2
( 7 ) x = = 0 , 8
m 1 + m 2
6 . 1 4 . R .
W y k o n a n a p r a c a j e s t r ó w n a z m i a n i e e n e r g i i k i n e t y c z n e j :
m v o
m v 2 2
( 1 ) W = "E = - .
2 2
P r d k o [ v k u l k i p o s k r ó c e n i u n i c i z n a j d u j e m y z z a s a d y z a c h o w a n i a p d u :
( 2 ) m v ( l 0 - "l ) = m v 0 l 0
W ó w c z a s p r a c a j e s t r ó w n a :
2 2
ùø
m v 0 îø l 0
( 3 ) W = - 1 úø
ïø
2 - "l )
( l 0 2 ûø
ïø úø
ðø
6 . 1 5 . R .
( 1 ) M = I Å"µ ; g d z i e M w a r t o [ m o m e n t u s i By , I = m R 2 m o m e n t b e z w Ba d n o [c i
t a r c z y , µ - w a r t o [ p r z y s p i e s z e n i a k t o w e g o .
"É É - 0 2 Àf
( 2 ) µ = = =
t t t
2 À Å" f m R 2
( 3 ) M = = 4 2 , 3 9 N Å" m
t
P r a c a p o t r z e b n a d o z a t r z y m a n i a k o Ba j e s t r ó w n a z m i a n i e e n e r g i i k i n e t y c z n e j :
1 1
2
2 2 2
( 4 ) W = "E = I É - 0 = m R 2 Å"( 2 À Å" f ) = 2 À m R 2 f = 7 9 , 9 k J
2 2
6 . 1 6 . R .
E n e r g i a p o t e n c j a l n a c i a Ba w n a j w y |s z y m p o Bo |e n i u z m i e n i a s i w e n e r g i k i n e t y c z n r u c h u
o b r o t o w e g o i r u c h u p o s t p o w e g o u p o d n ó |a r ó w n i . :
1 1
2
( 1 ) m g H = m v 2 + I Å"É
2 2
v 2
P o p o d s t a w i e n i u z a É = o r a z I = m R 2 o r a z u w z g l d n i a j c , |e H = l s i n ±
R 5
o t r z y m u j e m y :
7 v 2
( 2 ) l = Å"
1 0 g s i n ±
2
v 2 s i n ±
K o r z y s t a j c z e w z o r u n a w y s o k o [ m a k s y m a l n w r z u c i e u k o [n y m h =
2 g
w y z n a c z a m y v 2 i p o d s t a w i a m y d o w z o r u ( 2 ) o t r z y m u j c w i e l k o [ s z u k a n :
1 , 4 Å" h
( 3 ) l =
s i n 3 ±
6 . 1 7 . R .
P r z e s u n i c i e d e s k i z j e d n e g o s t o Bu n a d r u g i w y m a g a w y k o n a n i a p r a c y s i B c o n a j m n i e j r ó w n
s i l e t a r c i a p o m i d z y d e s k a p Ba s z c z y z n a m i s t o Bó w . S i Ba t a r c i a w t y m p r z y p a d k u j e s t r ó w n a
s u m i e s i B t a r c i a p o m i d z y d e s k i , o d p o w i e d n i o , s t o Be m p i e r w s z y m ( T 1 ) i d r u g i m ( T 2 ) .
l
T 1 T 2
0
l - x x X
l
( 1 ) W = ( T 1 + T 2 ) d x
+"
0
Z g o d n i e z r y s u n k i e m w a r t o [c i s i B T 1 i T 2 z a l e | o d t e g o , j a k a c z [ d e s k i z n a j d u j e s i n a s t o l e
p i e r w s z y m , a j a k a n a d r u g i m . P o n i e w a | d e s k a j e s t j e d n o r o d n a w y c h o d z c z z a Bo |e n i a , |e
m a s a j e s t p r o p o r c j o n a l n a d o d Bu g o [c i d e s k i m o |e m y z n a l e z w a r t o [c i s i B n a c i s k u n a
p o s z c z e g ó l n e s t o By .
l - x l - x
( 2 ) N 1 = m g , a w i c T 1 = µ 1 Å" m g
l l
x x
( 3 ) N 2 = m g , a w i c T 2 = µ 2 Å" m g
l l
P o d s t a w i a j c d o w z o r u ( 1 ) o t r z y m u j e m y p o s c a Bk o w a n i u :
m g l
( 4 ) W = ( µ 1 + µ 2 )
2
6 . 1 8 . R .
P r a c o b l i c z a m y z w z o r u
( 1 )
h
W = F w d x
+"
h x
h
p o n i e w a | w a r t o [ s i By w y p o r u F w = Á2 Å"V g = Á2 Å" g Å"À Å" R 2 x z a l e |y o d g Bb o k o [c i z a n u r z e n i a
w a l c a .
W i e l k o [ p o c z t k o w e g o z a n u r z e n i a w a l c a h 1 o b l i c z a m y z r ó w n o w a g i s i By w y p o r u i s i By
c i |k o [c i w c h w i l i p o c z t k o w e j :
Á1
( 2 ) F w = Q , c z y l i Á2 Å"À Å" R 2 h x g = Á1 Å"À Å" R 2 h g , s t d h x = h .
Á2
P o p o d s t a w i e n i u d o r ó w n a n i a j e d e n o t r z y m u j e m y w y r a |e n i e n a p r a c :
Á2 2
À Å" R 2 g h 2 2 - Á1
( 3 ) W = Å"
2 Á2
6 . 1 9 . R .
a ) N a f r a g m e n t l i n y o m a s i e d m , z n a j d u j c y s i w o d l e g Bo [c i x o d j e j k o Dc a , d z i a Ba s i Ba
( 1 ) d F = g Å"d m .
P o d n o s z c t e n f r a g m e n t n a w y s o k o [ x n a l e |y d z i a Ba n a n i e g o s i B r ó w n c o d o w a r t o [c i d F
l e c z p r z e c i w n i e s k i e r o w a n . Z o s t a n i e p r z y t y m w y k o n a n a p r a c a e l e m e n t a r n a :
( 2 ) d W = x Å"d F = x g Å"d m .
h x
d x d m
P o n i e w a | c a Ba j e d n o r o d n a l i n a o d Bu g o [c i l m a m a s m , z p r o p o r c j i = w y n i k a , |e
l m
r o z p a t r y w a n y f r a g m e n t m a m a s
m
( 3 ) d m = Å" d x .
l
P o d s t a w i a j c w z ó r ( 3 ) d o w z o r u ( 2 ) i s u m u j c p r a c e e l e m e n t a r n e d W o t r z y m u j e m y :
l
m g m g l
( 4 ) W = x Å" d x =
+"
l 2
0
2
x
b ) D l a l i n y n i e j e d n o r o d n e j m a m y z a l e |n o [ m a s y o d o d l e g Bo [c i x : m ( x ) = m 0 ëø öø .
ìø ÷ø
l
íø øø
M a s d m e l e m e n t u l i n y o d Bu g o [c i d x o b l i c z a m y r ó |n i c z k u j c t z a l e |n o [:
2 m 0
( 5 ) d m = x Å" d x .
2
l
S i Ba d F m a t e r a z p o s t a :
2 m 0 g
( 6 ) d F = g Å" d m = x Å" d x ,
2
l
z a [ p r a c a e l e m e n t a r n a
2 m 0 g
( 7 ) d W = x Å" d F = x 2 Å" d x .
2
l
P r a c a c a Bk o w i t a j e s t r ó w n a c a Bc e :
l
2 m 0 g 2 m 0 g l
( 8 ) W = x 2 Å" d x =
2 +"
l 3
0
6 . 2 0 . R .
P r a c a w y k o n a n a p r z e z c z Bo w i e k a b d z i e r ó w n a p r z y r o s t o w i e n e r g i i k i n e t y c z n e j u k Ba d u :
2
M v 1 m v 2
( 1 ) W = "E k = + ,
2 2
g d z i e p r d k o [ v 1 j e s t p r d k o [ w ó z k a z c z Bo w i e k i e m p o r z u c i e . P r d k o [ t o b l i c z a s i z
z a s a d y z a c h o w a n i a p d u :
r r
( 2 ) 0 = M v 1 + m v .
P o u w z g l d n i e n i u z w r o t ó w w e k t o r ó w :
( 3 ) 0 = M v 1 - m v
o t r z y m u j e m y :
m
( 4 ) v 1 = v .
M
U w z g l d n i a j c z a l e |n o [ ( 4 ) o t r z y m u j e m y w z ó r n a p r a c :
2
M m m v 2 m v 2 m
ëø ëø1 + öø
( 5 ) W = v öø + =
ìø ÷ø ìø ÷ø
2 M 2 2 M
íø øø íø øø
6 . 2 1 . O .
m 1 v 1 + m 2 v 2 k m
a ) v = = 5 , 6
m 1 + m 2 h
m 2 v 2 - m 1 v 1 k m
b ) v = = 0 , 8
m 1 + m 2 h
6 . 2 2 . R .
Z z a s a d y z a c h o w a n i a p d u w y n i k a , |e p d g r a n a t u p r z e d w y b u c h e m m u s i b y r ó w n y s u m i e
p d ó w w s z y s t k i c h o d Ba m k ó w g r a n a t u p o w y b u c h :
r r r
( 1 ) m v = m 1 v 1 + m 2 v 2 .
P r z e c h o d z c d o r ó w n a n i a s k a l a r n e g o n a l e |y u w z g l d n i , |e p r d k o [c i u Ba m k ó w s
s k i e r o w a n e p r z e c i w n i e :
( 2 ) m v = m 1 v 1 - m 2 v 2
P r z e k s z t a Bc a j c r ó w n a n i e ( 2 ) o t r z y m u j e m y :
m 1 v 1 - m v
( 3 ) v 2 = .
m 2
Z w a r u n k ó w z a d a n i a w y n i k a :
m 1 = n m o r a z m 2 = m - m 1 = ( 1 - n ) m .
P o d s t a w i a j c p o w y |s z e z a l e |n o [c i d o r ó w n a n i a ( 3 ) o t r z y m u j e m y :
n v 1 - v m
( 4 ) v 2 = = 1 2 , 5 .
1 - n s
M n i e j s z y o d Ba m e k o d l e c i a B w k i e r u n k u p r z e c i w n y m d o k i e r u n k u l o t u o d Ba m k a w i k s z e g o .
6 . 2 3 . R .
E n e r g i a k i n e t y c z n a p o c z t k o w a k r |k a z o s t a j e z u |y t a n a p r a c s i By t a r c i a p r z e d z d e r z e n i e m z
b a n d i p o z d e r z e n i u z b a n d , p o n i e w a | w w y n i k u z d e r z e n i a d o s k o n a l e s p r |y s t e g o z m i e n i a
s i k i e r u n e k a n i e w a r t o [ p d u .
2
m v 0
( 1 ) = k m g s 1 + k m g s 2
2
P o p r z e k s z t a Bc e n i u p o w y |s z e g o r ó w n a n i a o t r z y m u j e m y :
m
( 2 ) v o = 2 k g ( s 1 + s 2 ) = 3 , 7
s
6 . 2 4 . R .
S i Ba w y p a d k o w a d z i a Ba j c a n a w ó z e k o p i s a n a j e s t r ó w n a n i e m :
m g
( 1 ) F w = m a = F -
1 0 0
S i B F , j a k w o d a p o p y c h a w ó z e k , o b l i c z a m y z I I z a s a d y d y n a m i k i N e w t o n a :
( 2 ) F Å" t = "p
Z m i a n a p d u w k i e r u n k u r u c h u d r e z y n y j e s t r ó w n a :
( 3 ) "p = p - 0 .
P o n i e w a | p = m v , z a [ m = Á Å"V = Á Å" S Å" x o t r z y m u j e m y p o d s t a w i a j c t e z a l e |n o [c i d o
r ó w n a n i a ( 2 ) :
( 4 ) F Å" t = Á Å" S Å" x Å" v .
D z i e l c p o w y |s z e r ó w n a n i e o b u s t r o n n i e p r z e z t o t r z y m u j e m y :
x x
( 5 ) F = Å" Á Å" S Å" v = Á Å" S Å" v 2 , p o n i e w a | v = .
t t
P o d s t a w i a j c d o r ó w n a n i a ( 1 ) o t r z y m u j e m y :
m g
( 6 ) m a = Á Å" S Å" v 2 - .
1 0 0
P o p r z e k s z t a Bc e n i u o t r z y m u j e m y :
Á Å" S Å" v 2 g m
( 7 ) a = - = 0 , 1 5 .
m 1 0 0 s 2
6 . 2 5 . R .
N a u k Ba d o p i s a n y w z a d a n i u n i e d z i a Ba |a d e n z e w n t r z n y m o m e n t s i B. M o m e n t p d u u k Ba d u L 1
p r z e d p o Bc z e n i e m t a r c z w y n o s i :
( 1 ) L 1 = I 1 É1 + I 2 É2 ,
n a t o m i a s t p o p o Bc z e n i u m o m e n t u p d u L 2 w y n o s i :
( 2 ) L 2 = ( I 1 + I 2 ) Å"É .
W p o w y |s z y m w z o r z e É j e s t p r d k o [c i k t o w p o p o Bc z e n i u s i t a r c z . Z z a s a d y
z a c h o w a n i a m o m e n t u p d u L 1 = L 2 , t o t e | p o r ó w n u j c o b a p o w y |s z e w z o r y o t r z y m u j e m y
w y r a |e n i e n a p r d k o [ k t o w É w p o s t a c i :
( 3 ) É = I 1 É1 + I 2 É2 .
I 1 + I 2
P r a c , k t ó r a z o s t a Ba w y k o n a n a p r z e z s i B t a r c i a p o d c z a s w y r ó w n y w a n i a s i p r d k o [c i t a r c z ,
o b l i c z a m y j a k o r ó |n i c e n e r g i i k i n e t y c z n y c h u k Ba d u :
p o c z t k o w e j :
2 2
I 1 É1 I 2 É2
( 4 ) E k 1 = +
2 2
i k o Dc o w e j :
2
( I 1 + I 2 ) É
( 5 ) E k 2 =
2
W ó w c z a s :
2
I 1 I 2 ( É1 - É2 )
( 6 ) W = E k 1 - E k 2 =
2 ( I 1 + I 2 )
6 . 2 6 . R .
S t o s u j c z a s a d z a c h o w a n i a m o m e n t u p d u o t r z y m u j e m y :
r r
( 1 ) 0 = L c + L t , g d z i e L c m o m e n t p d u c z Bo w i e k a , L t m o m e n t p d u t a r c z y .
Z a p i s u j c p o w y |s z e r ó w n a n i e w p o s t a c i s k a l a r n e j o t r z y m u j e m y :
( 2 ) 0 = L c + L t .
M o m e n t p d u t a r c z y w y n o s i :
( 3 ) L t = I Å"Ét , g d z i e Ét p r d k o [c i k t o w t a r c z y .
v
C z Bo w i e k p o r u s z a s i z p r d k o [c i k t o w Éc = w z g l d e m t a r c z y i j e d n o c z e [n i e j e s t
R
u n o s z o n y p r z e z t a r c z z p r d k o [c i k t o w Ét w k i e r u n k u p r z e c i w n y m . Z a t e m j e g o c a Bk o w i t y
m o m e n t p d u w y n o s i :
( 4 ) L c = I c Å"Ét - I c Å"Éc , g d z i e I c = m R 2 j e s t m o m e n t e m b e z w Ba d n o [c i c z Bo w i e k a o m a s i e
m w z g l d e m o s i o b r o t u t a r c z y .
P o d s t a w i a j c r ó w n a n i a ( 3 ) i ( 4 ) d o ( 2 ) o t r z y m u j e m y :
m R v
( 5 ) Ét =
I + m R 2
6 . 2 7 . R .
a ) P o c z t k o w y m o m e n t p d u u k Ba d u w y n o s i :
( 1 ) L 0 = I 0 Å"É0 ,
p o n i e w a | t y l k o k o Bo s i o b r a c a .
P o o b r ó c e n i u k o Ba o 1 8 0 o j e g o m o m e n t p d u z m i e n i s i n a p r z e c i w n y , w s k u t e k c z e g o
c z Bo w i e k z e s t o l i k i e m b d z i e s i p o r u s z a B r u c h e m o b r o t o w y m . W ó w c z a s c a Bk o w i t y m o m e n t
p d u u k Ba d u j e s t r ó w n y :
( 2 ) L 1 = I Å"É1 - I 0 Å"É0
g d z i e É1 p r d k o [ k t o w a c z Bo w i e k a z e s t o l i k i e m .
K o r z y s t a j c z z a s a d y z a c h o w a n i a m o m e n t u p d u :
( 3 ) L 0 = L 1
w y z n a c z a m y p r d k o [ k t o w É1 :
I 0 Å"É0
( 4 ) É1 = 2
I
b ) P o z a h a m o w a n i u k o Ba r o w e r o w e g o c a Bk o w i t y m o m e n t p d u u k Ba d u b d z i e r ó w n y
m o m e n t o w i p d u s t o l i k a z c z Bo w i e k i e m :
( 5 ) L 2 = I Å"É2
S t o s u j c z a s a d z a c h o w a n i a m o m e n t u p d u w y z n a c z a m y É2 :
I 0 Å"É0
( 6 ) É2 =
I
6 . 2 8 . R .
Z z a s a d y z a c h o w a n i a m o m e n t u p d u w y n i k a :
( 1 ) L 1 = L 2 ,
g d z i e :
l
( 2 ) L 1 = m 1 v 1 j e s t m o m e n t e m p d u u k Ba d u l i s t w a p o c i s k p r z e d z d e r z e n i e m ,
2
z a [:
( 3 ) L 2 = I Å"É j e s t m o m e n t e m u k Ba d u p o z d e r z e n i u .
M o m e n t b e z w Ba d n o [c i u k Ba d u I p o z d e r z e n i u o p i s a n y j e s t z a l e |n o [c i :
2
1 l
2
( 4 ) I = m l + m 1 ëø öø .
ìø ÷ø
1 2 2
íø øø
P r z e k s z t a Bc a j c p o w y |s z e r ó w n a n i a o t r z y m u j e m y :
2 m 1 v 1
( 5 ) É =
1
l ëø m + m 1 öø
ìø ÷ø
3
íø øø
6 . 2 9 . R .
P r z y r o z w i z a n i u z a d a n i a k o r z y s t a m y z z a s a d y z a c h o w a n i a p d u i z z a s a d y z a c h o w a n i a
m o m e n t u p d u .
P r z e d z d e r z e n i e m p d u k Ba d u r ó w n y j e s t p d o w i p o c i s k u :
( 1 ) p 1 = m 1 v 1 .
M o m e n t p d u u k Ba d u w z g l d e m d o w o l n i e w y b r a n e g o p u n k t u j e s t r ó w n y m o m e n t o w i p d u
p o c i s k u .
l
( 2 ) L 1 = m 1 v 1 ëø - x öø , g d z i e x j e s t o d l e g Bo [c i [r o d k a m a s y u k Ba d u p o c i s k - p r t o d
ìø ÷ø
2
íø øø
[r o d k a p r t a .
P o Bo |e n i e [r o d k a m a s y z n a j d u j e m y z e w z o r u :
l
Å" m 1 + 0 Å" m
ëø
l m 1 öø
2
ìø ÷ø
( 3 ) x = = .
ìø
m 1 + m 2 m + m 1 ÷ø
íø øø
P o z d e r z e n i u p o c i s k u z p r t e m p d u k Ba d u j e s t r ó w n y :
( 4 ) p 2 = ( m + m 1 ) v s , g d z i e v s p r d k o [ [r o d k a m a s y u k Ba d u .
P o r ó w n u j c w a r t o [c i p d ó w p r z e d ( 1 ) i p o z d e r z e n i u ( 4 ) o b l i c z a m y p r d k o [ [r o d k a m a s y :
m 1
( 5 ) v s = v 1 .
m + m 1
M o m e n t p d u u k Ba d u p o c i s k - p r t p o z d e r z e n i u w y r a |a s i w z o r e m :
( 6 ) L 2 = I Å"É ,
g d z i e É - p r d k o [ k t o w a , z a [ m o m e n t b e z w Ba d n o [c i I j e s t s u m m o m e n t u b e z w Ba d n o [c i
p r t a i m o m e n t u b e z w Ba d n o [c i p o c i s k u :
( 7 ) I = I p r + I p o c .
M o m e n t b e z w Ba d n o [c i p o c i s k u l i c z y m y j a k m o m e n t b e z w Ba d n o [c i p u n k t u m a t e r i a l n e g o :
2
l
( 8 ) I = m 1 ëø - x öø .
ìø ÷ø
p o c
2
íø øø
M o m e n t b e z w Ba d n o [c i p r t a w z g l d e m [r o d k a m a s y u k Ba d u o b l i c z a m y k o r z y s t a j c z p r a w a
S t e i n e r a :
1
2
( 9 ) I = I 0 + m x 2 = m l + m x 2 .
p r
1 2
K o r z y s t a j c z z a s a d y z a c h o w a n i a m o m e n t u p d u [ r ó w . ( 2 ) i ( 6 ) ] o r a z p o d s t a w i a j c w z o r y :
( 3 ) , ( 7 ) , ( 8 ) i ( 9 ) o t r z y m u j e m y w z ó r n a p r d k o [ k t o w :
6 m 1 ( m + m 1 ) v 1
( 1 0 ) É =
2
l ( m 2 + m Å" m 1 + 4 m 1 )
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