MOMENTY BEZWA
ADNOŚCI
FIGUR PA
ASKICH
Przekroje poprzeczne prętów, wałów i belek  figury płaskie,
charakteryzujące się następującymi parametrami:
 polem powierzchni przekroju [mm2, cm2, m2],
 położeniem środka ciężkości przekroju,
 momentami statycznymi [cm3, m3],
 momentami bezwładności [cm4, m4].
Definicja momentu statycznego w w
układzie osi X i Y:
Sx =� ydA, Sy =� xdA
�� ��
A A
W zależności od położenia przekro-
ju względem osi układu współrzęd-
nych mogą przyjmować wartości
Definicja momentu statycznego
dodatnie i ujemne.
Wykorzystując znane ze statyki pojęcie środka sił, dla środka
ciężkości można napisać:
Sx =� ycA, Sy =� xcA.
Korzystając z tych zależności, współrzędne środka ciężkości
figury płaskiej można obliczyć ze wzoru:
Sy
Sx
xc =� , yc =� .
A A
Środek ciężkości przekrojów złożonych  podział przekroju na
figury proste.
n n
��A xi ��A yi
i i
i=�1 i=�1
xc =� , yc =� ,
n n
��A ��A
i i
i=�1 i=�1
Ai  pola powierzchni figur prostych, xi, yi  współrzędne środ-
ków ciężkości poszczególnych figur prostych.
09 Momenty bezwładności figur płaskich.doc 104
PRZYKA
AD
Określić położenie środka ciężkości fi-
gury przedstawionej na rysunku.
Przekrój podzielono na trzy prostokąty
o następujących polach powierzchni:
A1 = 1 �� 1 = 1 cm2,
A2 = 2 �� 5 = 10 cm2,
A3 = 2 �� 2 = 4 cm2.
Współrzędne środka ciężkości całej figu-
ry wynoszą
A1x1 +� A2x2 +� A3x3 1��1,5 +� 10 �� 3 +� 4 �� 5
xc =� =� =� 3,43 cm,
A1 +� A2 +� A3 1+� 10 +� 4
A1y1 +� A2y2 +� A3y3 1��1,5 +� 10 �� 3,5 +� 4 �� 5
yc =� =� =� 3,77 cm.
A1 +� A2 +� A3 1+� 10 +� 4
Momenty bezwładności
Definicja momentów bezwładności:
 osiowe momenty bezwładności
Jx =�
��y2dA, Jy =� ��x2dA,
A A
 biegunowy moment bezwładności
J0 =� (�x2 +� y2)�dA =� Jx +� Jy,
��r�2dA =� ��
A A
 moment dewiacyjny (zboczenia, odśrodkowy)
Jxy =� xydA.
��
A
Momenty osiowe oraz moment biegunowy są
zawsze dodatnie, natomiast
moment dewiacyjny może być dodatni lub ujemny.
09 Momenty bezwładności figur płaskich.doc 105
Momenty bezwładności figur złożonych są sumą momentów
bezwładności prostych figur składowych. Figura złożona może
składać się z figur  pełnych oraz  pustych . Przy sumowaniu
momentów bezwładności figury  puste uważa się za figury z
ujemnymi polami powierzchni.
PRZYKA
AD
Figury złożone przedstawione na rysunku podzielić na figury proste.
Podział
figury złożonej
na figury proste
(jeden z możliwych
do zastosowania
podziałów figury).
Twierdzenie Steinera
Twierdzenie Steinera umożli-
wia obliczanie momentów
bezwładności figur płaskich
względem osi równolegle
przesuniętych w stosunku do
osi centralnych (osi przecho-
dzących przez środek ciężko-
ści przekroju).
Dla figury płaskiej o powierzchni A, obliczyć momenty bez-
władności względem osi X Y, równolegle przesuniętych w sto-
sunku do osi centralnych (środkowych) X0 Y0 o odcinki a i b.
Na podstawie definicji momentu bezwładności moment osio-
wy względem osi X dla y1 = y + a wyraża wzór:
2
Jx =� dA =� +� a)�2dA =� dA +� 2a
1
��y ��(�y ��y ��ydA +� a2 ��dA =� Jx0 +� Aa2.
A A A A A
09 Momenty bezwładności figur płaskich.doc 106
W powyższym równaniu całka ydA opisuje moment statycz-
��
A
ny, który względem osi centralnych jest równy zeru. W podobny
sposób określa się moment względem osi Y oraz moment de-
wiacyjny
Jy =� +� b)�2dA =� Jx0 +� Ab2,
��(�x
A
Jxy =� +� a)�(�x +� b)�dA =� Jx0y0 +� Aab.
��(�x
A
Wyprowadzone wyżej zależności noszą nazwę twierdzenia
Steinera.
Osiowy moment bezwładności figury płaskiej względem osi
równoległej odległej od środka ciężkości o określoną wartość
jest równy momentowi względem osi równoległej przechodzą-
cej przez środek ciężkości figury, powiększonemu o iloczyn
powierzchni figury i kwadratu odległości między osiami.
Moment dewiacyjny figury płaskiej względem osi równolegle
przesuniętych jest równy momentowi dewiacyjnemu wzglę-
dem osi centralnych, powiększonemu o iloczyn powierzchni i
obu składowych równoległego przesunięcia.
Twierdzenie Steinera ma następująca postać matematyczną:
Jx =� Jx0 +� Aa2,
Jy =� Jy0 +� Ab2,
Jxy =� Jx0y0 +� Aab.
09 Momenty bezwładności figur płaskich.doc 107
MOMENTY BEZWA
ADNOŚCI DLA PRZEKROJU PROSTOK
TNEGO
Momenty bezwładności względem osi centralnych XC YC
YC Y
Osie
centralne dA = b��dy
X
XC
C
b
h
2
bh3 hb3
IXc =� y2dA =� y2b dy =� , IYc =� , IXc Yc =� 0
�� ��
12 12
h
A
-�
2
Momenty bezwładności względem osi X Y
Y Y
dA
X X
x
b
h h
bh3 hb3 b b2 b2h2
ć� ��ybdy h y dy =� .
IX =� y2dA =� y2 bdy =� , IY =� , IXY =� xydA =�
�� �� �� ���� 2 �� =� ��
3 3 2 4
Ł� ł�
A 0 A 0 0
TWIERDZENIE STEINERA
09 Momenty bezwładności figur płaskich.doc 108
dy
y
h
dy
h
y
Przykład:
Osie centralne
Dla trójkąta prostokątnego przedstawionego na rysunku
wyznaczyć momenty bezwładności względem osi X Y oraz
osi centralnych X0 Y0.
Wyznaczyć główne momenty bezwładności oraz ich poło-
żenie.
Osiowy moment bezwładności względem osi X:
b b
a a ab3
Jx =� y2dA =� y2udy, u =� (�b -� y)�, Jx =� (�b -� y)�y2dy =� .
�� �� ��
b b 12
A 0 0
Osiowy moment bezwładności względem osi Y:
a b
b b ba3
Jy =� x2dA =� x2tdx, t =� (�a -� x)�, Jy =� (�a -� x)�x2dx =� .
�� �� ��
a a 12
A 0 0
Moment dewiacyjny wyznacza się po określeniu współrzęd-
nych środka ciężkości powierzchni:
b b
1 1 a2 a2b2
2
Jxy =� xydA =� xyudy, x =� u, Jxy =� (�b -� y)� ydy =� .
�� �� ��
2 2 b2 24
A 0 0
Momenty bezwładności względem osi centralnych (twierdzenia Steinera):
2 2
b ab3 ab b2 ab3 a ba3 ab a2 ba3
Jx =� Jx -� Ać� �� =� -� =� , Jy =� Jy -� Ać� �� =� -� =� ,
�� �� �� ��
0 0
3 12 2 9 36 3 12 2 9 36
Ł� ł� Ł� ł�
a b a2b2 a2b2 a2b2
Jx y0 =� Jxy -� Ać� ��ć� �� =� -� =� -� .
�� ���� ��
0
3 3 24 18 72
Ł� ł�Ł� ł�
Główne momenty bezwładności:
Osie główne
ab(a2 +� b2) ab
J1,2 =� ą� a4 +� b4 -� a2b2 .
72 72
Położenie głównych centralnych osi bezwładności:
a2b2
2Jx y0 -�
ab
0 72
tg2a�o =� -� =� -� =� >� 0.
Jx -�Jy ab3 ba2 b2 -�a2
0 0
-�
12 12
Kąt a�o jest dodatni i wskazuje kierunek momentu J1.
09 Momenty bezwładności figur płaskich.doc 109
Momenty bezwładności figur prostych
Figura Jx Jy Jxy
bh3 hb3
Jxoyo =�0
Jxo =� Jyo =�
12 12
b2h2
bh3 hb3 Jxy =�
Jx =� Jy =�
4
3 3
bh3 hb3 Jxoyo =� -� b2h2
Jxo =� Jxo =�
72
36 36
b2h2
bh3 hb3
Jxy =�
Jx =� Jx =�
24
12 12
p�D4 p�D4
Jx =� =� Jy =� =�
64 64
Jxy =� 0
p�R4 p�R4
=� =�
4 4
D4 p� 8
ć� ��
Jxo =� -� =�
�� ��
16 8 9p�
Ł� ł�
p�D4
Jy =� =�
Jxy =� 0
� 0,00686D4 =�
128
p�R4 Jxoyo =� 0
� 0,1098R4
=�
8
p�D4 p�R4
Jx =� =�
128 8
R4
Jxy =�
p� 4
��
8
Jxo =� R4ć� -� =�
�� ��
Ł�16 9p� ł�
R4
p�R4 Jxoy0 =� -�
� 0,0549R4 8
Jx =�
16
4R4
p�D4 p�R4
-� =�
Jx =� =�
9p�
256 16
=� -�0,0165R4
09 Momenty bezwładności figur płaskich.doc 110
PRZYKA
AD
Dla figury płaskiej pokazanej wyznaczyć wartości centralnych momen-
tów bezwładności.
Y Ys
=
3t
1
Y1
C1 X1
2
Y2
t
C2 X2
Xs
Y3 Y3
C
X3 X3 3"
3'
C'
3
C"
3
Y4
X4
7t
4
C4
X
Figura złożona zostaje podzielona na figury proste. Korzystając ze
wzorów na wyznaczanie środka ciężkości względem osi X-Y otrzymuje
się
1
(�6t2)�(�9t)�+� (�6t2)�(�5t)�+� 2 ��(�1,5t2)�ć�2 t�� +� (�14t2)�(�t)�
�� ��
105t3
3
Ł� ł�
ys =� =� =� 3,62t,
(�6t2)�+� (�6t2)�+� 2 ��(�1,5t2)�+� (�14t2)� 29t2
xs =� 0.
Osiowe momenty bezwładności wynoszą
��6t ��(�2t)�3 ł� ��t ��(�6t)�2 ł�
Jxs =� +� (�6t2)�(�9t -� 3,62t)�2ś� +� +� (�6t2)�(�5t -� 3,62t)�2ś� +�
ę� ę�
12 12
=�5,38t =�1,38t
ę� ś� ę� ś�
�� �� �� ��
Figura 2
Figura 1
�� ł�
2
��7t ��(�2t)�3 ł�
1
ę�3t �� t3
+� 2 �� +� (�1,5t2)�ć�3,62t -� 2 t�� ś� +� +� (�14t2)�(�3,62t -� t)�2ś� =�
�� ��
ę�
ę� ś�
36 3 12
Ł� ł� =�2,62t
ę� ś�
�� ��
Figura 4
ę� ś�
Figura 3 i 3
=�1,287t
�� ��
=� 175,67t4 +� 29,43t4 +� 2 �� 2,57t4 +� 100,77t4 =� 311,00t4,
�� ł�
2
��2t ��(�3t)�3 ł�
��6t �� t3 ł�
1
ę�t ��(�3t)�3
Jys =� Jy =� +� +� 2 �� +� (�1,5t2)�ć�0,5t +� �� 3t�� ś� +�
�� ��
ę� ś�
ę� ś�
ę� ś�
12 12 36 3
Ł� ł�
ę� ś�
�� ��
�� ��
ę� ś�
=�1,5t
�� ��
Figura 1 Figura 3 i 3
Figura 2
��2t �� (7t)3 ł�
+� =� 4,5t4 +� 0,5t4 +� 2 �� 4,125t4 +� 57,17t4 =� 70,42t4.
ę� ś�
12
�� ��
Figura 4
09 Momenty bezwładności figur płaskich.doc 111
5t
2t
t
2t
s
y