Ć w i c z e n i e 36
WYZNACZANIE MOMENTU BEZWA
ADNOÅšCI BRYA
Y
Z WYKORZYSTANIEM MASZYNY ATWOODA
36.1. Wstęp teoretyczny
Maszyna Atwooda służy do doświadczalnego sprawdzania praw kinematyki i dynamiki. W naj-
prostszym wykonaniu składa się ona z bloczka K (rys.36.1) umieszczonego w górne części piono-
wego pręta ze skalą S. Przez bloczek przechodzi cienka i mocna nić z zawieszonymi na końcach
masami M. Dodatkowe obciążenie jednego z końców nici jest realizowane za pomocą jednakowych
blaszek o masie m każda w ilości k. Właśnie ich ciężar jest przyczyną wprowadzającą układ ciężar-
ki-nić-bloczek w ruch jednostajnie przyśpieszony.
W maszynie Atwooda mamy do czynienia z dwoma rodzajami ruchu jednostajnie przyśpieszonego:
prostoliniowym ciężarków i obrotowym bloczka.
" W ruchu prostoliniowym bezwładność ciała charakteryzowana jest przez jego masę m.
Znajduje to odzwierciedlenie w drugiej zasadzie dynamiki dla tego ruchu, zgodnie z którą siła
F nadaje ciału ruch o przyśpieszeniu a wprost proporcjonalnym do tej siły i odwrotnie pro-
porcjonalnym do masy ciała:
F
a =
m
" W ruchu obrotowym bezwładność ciała charakteryzowana jest przez jego moment bezwład-
ności J względem osi obrotu. Znajduje to odzwierciedlenie w drugiej zasadzie dynamiki dla
tego ruchu, zgodnie z którÄ… moment siÅ‚y N nadaje ciaÅ‚u ruch o przyÅ›pieszeniu kÄ…towym µ
wprost proporcjonalnym do momentu siły i odwrotnie proporcjonalnym do momentu bez-
władności:
N
µ =
J
Zdefiniujmy moment bezwładności bryły sztywnej. Załóżmy, że bryła obraca się wokół osi l ze sta-
Å‚Ä… prÄ™dkoÅ›ciÄ… kÄ…towÄ… É i że skÅ‚ada siÄ™ z n mas punktowych mi (rys. 36.2). Każda z tych mas posia-
da prÄ™dkość liniowÄ… vi zależnÄ… od jej odlegÅ‚oÅ›ci od osi obrotu ri: vi = É ri oraz energiÄ™ kinetycznÄ…:
1 1
2
Eki = mi vi = mi ri2 É2
2 2
Energia kinetyczna całej bryły jest sumą energii kinetycznych poszczególnych mas punktowych:
n n
EkO = = É2 ri2 (36.1)
"E 1 "m
ki i
2
i=1 i=1
Porównajmy ten wzór z wyrażeniem na energię kinetyczną w ruchu postępowym:
1
Ekp = m v2
2
Wiemy, że odpowiednikiem prÄ™dkoÅ›ci liniowej v jest prÄ™dkość kÄ…towa É , a masy m - moment
bezwładności J.
Wzór na energię kinetyczną w ruchu obrotowym powinien mieć postać :
1
EkO = J É2 (36.2)
2
Z porównania wzorów (36.1) (36.2) wynika definicyjna zależność na moment bezwładności bryły
n
sztywnej: J= ri2 (36.3)
"m
i
i=1
K
A
S
B
Rys. 36.1. Maszyna Atwooda.
L
É
r
i
1
+
m
i
+1
r
i
mi
r
i -1
mi
-1
n
Rys. 36.2. Bryła sztywna w ruchu obrotowym wokół osi L. Należy zauważyć, że m =
"m .
i
i=1
Widać, że zależy on od wyboru osi obrotu oraz od sposobu rozłożenia masy ciała względem niej
(czyli od kształtu ciała).
Wychodząc z definicji (36.3) można teoretycznie obliczyć momenty bezwładności dla wielu regu-
larnych brył , uzależniając je od całkowitej masy m i od ich rozmiarów geometrycznych. Na przy-
kład:
1
dla walca J = m R2 gdzie R - promień walca
2
2
dla kuli J = m R2 gdzie R - promień kuli
5
1
2
dla pierścienia J = m R1 + R2 gdzie R1 , R2 - promienie zewnętrzny i wewnętrzny
()
2
2
A n a l i z a r u c h u m a s z y n y A t w o o d a
Na ciężarek A działają siły: ciężkości Mg i naprężenia nici T1 (rys. 36.3). Pod wpływem wypadko-
wej tych sił ciężarek porusza się do góry z przyśpieszeniem a. Zgodnie z II prawem Newtona dla
ruchu postępowego możemy napisać:
T1
( - M g = M a (36.4)
)
Podobnie ciężarek B będzie poruszał się (ale do dołu) pod wpływem wypadkowej siły ciężkości
równej Mg + kmg i siły naprężenia nici T2. Analogicznie zgodnie z II prawem Newtona dla ruchu
postępowego możemy napisać:
M + k m g - T2 = M + k m a (36.5)
() ( )
Przyśpieszenia obu ciężarków są jednakowe i wynoszą a, mają jednak inne zwroty, co już uwzględ-
niono w powyższych równaniach.
Siły naprężenia nici T1 i T2 działają prostopadle do promienia r bloczka. Wytwarzają więc wypad-
kowy moment siÅ‚y równy T2 - T1 r , który bÄ™dzie obracaÅ‚ krążek z przyÅ›pieszeniem kÄ…towym µ .
( )
Zgodnie z II prawem Newtona dla ruchu obrotowego możemy napisać:
T2
( - T1 r = J µ (36.6)
)
a
Ze wzglÄ™du na zależność a = µ r otrzymujemy T2 - T1 r = J i stÄ…d po przeksztaÅ‚ceniu:
( )r
J
T2
( - T1 = a (36.7)
)
r2
Wyliczając T1 i T2 ze wzorów (36.4), (36.5) i wstawiając do powyższej zależności otrzymujemy
wyrażenie na przyśpieszenie w ruchu ciężarków w maszynie Atwooda :
k mg
a = (36.8)
J
+ 2 M + k m
r2
Z analizy tego wzoru wynika, że dla k m )#)# M przyśpieszenie a jest znacznie mniejsze od przy-
śpieszenia ziemskiego g. Fakt ten pozwala na łatwiejszy pomiar przyspieszenia układu przy stosun-
kowo niewielkiej wysokości przyrządu Atwooda, w odróżnieniu od pomiaru przyspieszenia przy
spadku swobodnym.
Otrzymanie dokładnych wyników jest uzależnione od możliwie mało obarczonych błędami pomia-
rów czasu. Do pomiarów czasu przy obserwacjach dokonywanych na maszynie Atwooda służą
szybkie chronometry lub elektroniczne mierniki czasu.
r
T1 T2
T1 T
2
A B
Mg
M kmg
g+
Rys. 36.3. Siły działające na ciężarki i bloczek w maszynie Atwooda.
W ćwiczeniu dokonuje się pomiaru przyśpieszenia a, co pozwala na wyznaczenie momentu bez-
władności bloczka K:
k mg - 2 Ma - k ma
J = r2 (36.9)
a
Przyśpieszenie a wyznaczamy mierząc czas t , w którym ciężarki pokonują stałą drogę S. Ponieważ
ciężarki rozpoczynają ruch bez prędkości początkowej, przyśpieszenie a wyznaczamy z zależności
2 S
a = .
t2
Umieszczając na osi bloczka dodatkowe ciało (w ćwiczeniu metalowy pierścień), korzystając z wy-
prowadzonych zależności, można wyznaczyć moment bezwładności JC , będący sumą momentu
bezwładności bloczka JU, i dołożonego ciała Jb . Szukany moment bezwładności jest więc równy
różnicy:
Jb = JC - JU (36.10)
36.2. Opis układu pomiarowego
Do sterowania maszyną Atwooda służy elektroniczny blok zasilająco-pomiarowy  Polydigit 1 .
Sprzężony on jest z elektromagnesem wyzwalającym ruch ciężarków oraz z dwoma fotokomórka-
mi. Dzięki temu pomiar czasu spadku ciężarków na określonej drodze odbywa się elektronicznie.
Blok  Polydigit 1 jest wyposażony w sześć dwupozycyjnych przycisków. W ćwiczeniu używane
sÄ… tylko cztery z nich (numeracja od lewej do prawej):
1) WÅ‚Ä…cznik bloku.
2) Czerwony, opisany  Null - służy do zerowania zegara.
3) Opisany  1000Hz - określa dokładność zegara - podczas wykonania pomiarów musi być
stale wciśnięty.
4) Opisany  Messen - służy do sterowania elektromagnesem. W górnej pozycji elektroma-
gnes jest włączony, a w dolnej wyłączony.
Ciężarki A i B mają jednakową masę M. Na ciężarek B mogą być nakładane blaszki o znanej ma-
sie mo. Przed każdym pomiarem ciężarek A utrzymywany jest przez elektromagnes (przycisk 6 nie
jest wciśnięty). Wciśnięcie przycisku 6 powoduje wyłączenie prądu płynącego przez elektromagnes
i rozpoczęcie ruchu ciężarków, jeżeli na ciężarek B nałożona jest co najmniej jedna blaszka. Przy-
cisk 6 włącza jednocześnie zegar elektroniczny, który mierzy czas pomiędzy wyłączeniem prądu
elektromagnesu a przecięciem przez ciężarek B światła padającego na fotokomórkę. Drogę ruchu
ciężarków zmieniamy poprzez położenie fotokomórki.
Do osi bloczka można przymocować metalowy pierścień, którego moment bezwładności należy
wyznaczyć.
Parametry układu: Parametry pierścienia:
mp = 2001 Ä… 1 g
r = 98 Ä… 1 mm
2M = 507 Ä… 1 g R1 = 100 Ä… 0,5 mm
m = 15,3 Ä… 0,1 g R2 = 164 Ä… 0,5 mm
36.3. Przebieg pomiarów
1. Zaznajomić się z działaniem układu pomiarowego.
2. Włączyć  Polydigit 1 przez wciśnięcie przycisku (1), przycisku 1000 Hz i przycisku  Sieć w
zasilaczu (6V, 50 Hz) żarówek fotokomórek. Obciążyć ciężarek B czterema blaszkami.
3. Ciężarek A opuścić do zetknięcia się z elektromagnesem.
4. Opuścić fotokomórkę (kręcąc korbą) na odległość S (90 cm). Zmierzyć tę odległość 10 razy.
Określić błąd pomiaru.
5. Przyciskiem  Messen wyłączyć elektromagnes; jednocześnie włącza się pomiar czasu. W mo-
mencie przecięcia światła padającego na fotokomórkę przez ciężarek B pomiar czasu jest za-
trzymany i czas t przebycia drogi S jest wyświetlany na przyrządzie  Polydigit 1 . Czas ten za-
notować.
6. Pomiary punktów 3-5 wykonać piętnastokrotnie.
U w a g a : Przesuwając ciężarek B do góry należy ominąć nim fotokomórkę !
7. Założyć na oś bloczka metalowy pierścień i powtórzyć pomiary wg punktów 3-6.
36.4. Opracowanie wyników pomiarów
1. Obliczyć średnią drogę spadku ciężarków S .
2. Dla obu serii pomiarowych ze średniego czasu t ruchu układu obliczyć jego przyspieszenia a.
3. Na podstawie wzoru (36.9) obliczyć wartości JU i JC .
4. Obliczyć moment bezwładności Jb pierścienia (wzór 36.10).
5. Przy pomiarach popełniono błędy przypadkowe. Pomiary wykonywano 15 razy. Ta ilość jest
wystarczająca, żeby błędy oceniać zgodnie z rozkładem normalnym. Obliczyć odchylenia stan-
dardowe ÃS i Ãt .
6. Obliczyć Å›redni bÅ‚Ä…d kwadratowy Ãa i ÃJ (m, M, g przyjąć, że nie sÄ… obarczone bÅ‚Ä™dami).
b
7. Obliczyć teoretycznie moment bezwładności pierścienia i porównać z wynikiem otrzymanym
doświadczalnie.
36.5. Pytania kontrolne
1. Sformułować II zasadę Newtona dla bryły w ruchu obrotowym.
2. Zdefiniować pojęcia: przyspieszenie kątowe, moment bezwładności, moment pędu.
3. Jak wyznaczyć przyspieszenie ziemskie oraz moment bezwładności układu za pomocą przyrządu
Atwooda?
L i t e r a t u r a
[1] Piekara A.: Mechanika ogólna. PWN, W-wa 1964.
[2] Szczeniowski S.: Fizyka doświadczalna, cz.I. Mechanika i akustyka, PWN, W-wa 1980.