7 Dynamika ruchu obrotowego bryly sztywnej


Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
Wykład FIZYKA I
7. Dynamika ruchu obrotowego
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej
http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
ŚRODEK MASY
Każde ciało można traktować jako układ punktów materialnych.
Dlatego pęd ciała możemy obliczyć jako sumę pędów wszystkich
n
punktów materialnych ciała:
r r
p =
m vi
i
i=1
Podstawiając wyrażenie na prędkość każdego punktu materialnego:
r
n n n
d
r r r
p =
m vi =m dri = dt m ri
i i i
dt
i=1 i=1 i=1
Środkiem masy albo środkiem bezwładności układu punktów materialnych
nazywamy punkt, którego położenie dane jest wzorem:
n n
1
r r
gdzie:
rS = M =
m ri m
i i
M
i=1 i=1
1
r r
(w przypadku  ciągłym : , gdzie r jest gęstością ciała)
rS =
r(r)dr
M
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
ŚRODEK MASY
Po podstawieniu do wyrażenia na pęd, otrzymamy:
r
d drS
r r r
p = (MrS ) = M = MvS
dt dt
r
r
dvS
r
Równanie ruchu środka masy układu:
M = MaS = Fwyp
dt
Środek masy układu porusza się jak punkt materialny, w którym
skupiona jest cała masa układu, i na który działa siła, równa wypadkowej
sił zewnętrznych przyłożonych do układu.
Środek ciężkości ciała to punkt przyłożenia wypadkowej sił ciężkości ( ciężarów )
wszystkich punktów materialnych ciała. Gdy wielkość g (przyspieszenie grawitacyjne)
jest jednakowa dla wszystkich punktów układu, mamy: r r
rC = rS
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAAA SZTYWNEGO
Każde ciało możemy uważać za układ n punktów materialnych,
których suma mas równa się całkowitej masie M ciała:
n
M =
m
i
i=1
Ciało doskonale sztywne to takie ciało, w którym odległości między
dwoma dowolnymi jego punktami materialnymi nie zmieniają się w
trakcie ruchu (dalej nazwiemy je ciałem sztywnym lub bryłą sztywną).
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAAA SZTYWNEGO
Rozważmy ruch ciała sztywnego wokół punktu O, zwanego środkiem obrotu
ciała. Umieśćmy w tym punkcie początek układu współrzędnych. Niech
r
Fik oznacza siłę, z jaką k-ty punkt działa na punkt i-ty (siły wewnętrzne) a
r
Fi wypadkową wszystkich sił zewnętrznych, przyłożonych do punktu i-tego.
r
Fik
i
k
II zasada dynamiki Newtona dla i-tego punktu:
n
r r
d
r
(mivi ) =
F + Fi
ik
dt
k=1,kąi
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAAA SZTYWNEGO
r :
Mnożymy równanie ruchu stronami wektorowo przez
ri
n
r r
d
r r r r
ri (mivi ) = ri
F + ri Fi
ik
dt
k=1,kąi
Pochodną względem czasu z lewej strony równania możemy wyłączyć
przed znak iloczynu wektorowego (dlaczego!?  ćwiczenia rachunkowe):
r
d d
r r
[ri (mivi )] Ki
dt dt
r
Ki nazywamy momentem pędu (krętem) punktu materialnego i
względem osi O.
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAAA SZTYWNEGO
Moment pędu (kręt) punktu materialnego i względem osi O.
r
r r
Ki ri (mivi)
r
Moment siły
Fi względem punktu O:
r r
r
Mi ri Fi
czyli:  moment oznacza (matematycznie) mnożenie lewostronne przez
r
wektor położenia (promień wodzący)
ri
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAAA SZTYWNEGO
Używając opisanej symboliki, możemy zapisać nasze równanie jako:
r
n
r r
dKi
r
= ri
F + Mi
ik
dt
k=1,kąi
Dodajemy stronami równania wszystkich punktów materialnych ciała:
r
n n n n
r r
ć
Ki
r
ddt = r F +M
i ik i

i=1 i=1 k =1,kąi i=1
Ł ł
n
r r
- to moment główny sił zewnętrznych (wypadkowy)
M = M
i
i=1
r r
n
r
Ki
K to moment pędu ciała względem punktu O
ddt = dK
dt
i=1
n n
r
ć
r
(dlaczego?!  ćwiczenia rachunkowe)
r F = 0
i ik

i=1 k=1,kąi
Ł ł
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAAA SZTYWNEGO
r
r
dK
Ostatecznie:
= M
dt
Szybkość zmiany momentu pędu ciała obracającego się dookoła
nieruchomego punktu równa się wypadkowemu momentowi
(względem tego punktu) wszystkich sił zewnętrznych, przyłożonych
do ciała  zasada dynamiki ruchu obrotowego ciała zamocowanego
w jednym, nieruchomym punkcie.
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAAA SZTYWNEGO
Załóżmy teraz, że ciało sztywne umocowane jest w dwóch punktach tak,
że może obracać się wokół nieruchomej osi przechodzącej przez te punkty
r
 przyjmijmy, że jest to oś  z . Wtedy składowe  x i  y momentu siły są
M
zrównoważone przez siły reakcji zamocowania, a obrót wokół osi  z
odbywa się pod działaniem składowej momentu sił zewnętrznych:
M
z
dKz
= M
z
dt
Szybkość zmiany momentu pędu ciała względem nieruchomej osi
obrotu równa się wypadkowemu momentowi (względem tej osi) sił
zewnętrznych działających na ciało.
z
r
F
r r
K M
r
O
r
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAAA SZTYWNEGO
Całkowity moment pędu ciała względem osi  z jest równy sumie
n
momentów pędu każdego punktu materialnego:
Kz =
K
iz
i=1
We współrzędnych biegunowych:
Kiz = Kz cosgi = (rimivi )cosgi = rimivi = wmiri2
n
wobec tego całkowity moment pędu ciała:
Kz = w
m ri2
i
i=1
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAAA SZTYWNEGO
n
Wielkość:
Iz =
m ri2
i
i=1
nazywamy momentem bezwładności ciała względem osi  z .
W przypadku granicznym ciała  rozciągłego sumowanie zastępujemy
całkowaniem:
m
2
Iz =
r dm
0
Ostatecznie otrzymujemy związek między momentem pędu ciała i prędkością
kątową obrotu:
Kz = Izw
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAAA SZTYWNEGO
dKz
= M
Wykorzystanie związku: pozwala na wyrażenie
z
dt
podstawowej zasady dynamiki ruchu obrotowego:
d dw
M = (Izw) = Iz = Ize
z
dt dt
Przyspieszenie kątowe ciała sztywnego obracającego się wokół
nieruchomej osi jest wprost proporcjonalne do wypadkowego
momentu (względem tej osi) wszystkich sił zewnętrznych działających
na ciało i odwrotnie proporcjonalny do momentu bezwładności ciała
względem tej osi.
M
F
z
e = a =
Iz m
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
MOMENT BEZWAADNOŚCI
Moment bezwładności jest więc miarą bezwładności ciała w ruchu
obrotowym (analog masy jako miary bezwładności w ruchu
postępowym).
Przykładowe momenty bezwładności brył:
Ciało Położenie osi Moment bezwładności
pusty cienkościenny walec o oś symetrii
I = mR2
masie m i promieniu R
pełny walec (tarcza) o masie oś symetrii
I = (1 2)mR2
m i promieniu R
kula o masie m i promieniu R oś symetrii
I = (2 5)mR2
cienki pręt o masie m i oś prostopadła do pręta,
I = (1 12)mR2
długości L przechodzi przez jego środek
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
TWIERDZENIE STEINERA
(TWIERDZENIE O OSIACH RÓWNOLEGAYCH)
Załóżmy, że znamy moment bezwładności ciała względem pewnej osi
obrotu, ale ciało obraca się względem innej osi, równoległej do niej:
O
O
m
d
Moment bezwładności ciała I względem dowolnej osi O równa się momentowi
bezwładności I tego ciała względem innej, równoległej do niej osi O ,
powiększonemu o iloczyn masy tego ciała przez kwadrat odległości między tymi
osiami:
2
I = I'+md
Wniosek: Gdy środek masy ciała oddala się od osi obrotu, to moment bezwładności ciała względem tej osi
wzrasta.
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PDU
r
r
dK
Z zasady dynamiki ruchu obrotowego:
= M
dt
wynika wprost:
r
r r
ć dK
( ) = 0 K = const(t)
M = 0 ( )

dt
Ł ł
Jeżeli wypadkowy moment sił zewnętrznych względem nieruchomego
punktu ciała równa się zeru, to moment pędu ciała względem tego
punktu nie zmienia się w czasie.
Można pokazać, że również: moment pędu zamkniętego układu ciał
względem dowolnego punktu nieruchomego jest stały.
Podobnie: jeśli siły zewnętrzne dają moment względem nieruchomej osi równy
zeru, to moment pędu ciała względem tej osi nie zmienia się podczas ruchu.
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
TENSOR MOMENTU BEZWAADNOŚCI
Rozważmy obrót ciała o dowolnym kształcie wokół osi przechodzącej
przez początek układu współrzędnych.
r r
v
vi = w ri
Prędkość i-tego punktu względem początku układu:
Stąd wyrażenie na moment pędu całego ciała:
n n
r
r r r r r
K
r (mivi ) = m ri (w ri )
i i
i=1 i=1
Skorzystamy z tożsamości wektorowej:
r r r
r r r r r
v
a (b c)= b(a c)- c(a b)
Podstawiając, otrzymujemy:
n
r
r r r
K [wri2 - ri(ri w)]
m r
i
i=1
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
TENSOR MOMENTU BEZWAADNOŚCI
Wszystkie punkty mają tę samą prędkość kątową, możemy więc
zapisać powyższe równanie jako układ trzech równań dla
rwektorowedla  x ):
poszczególnych składowych w (tu tylko
n n
r r
Kx wx
m ri2 -m xi(ri w)
i i
i=1 i=1
r r
Ponieważ:
ri w = xiwx + yiwy + ziwz
otrzymujemy:
Kx = wx
m (ri2 - xi2)-wym xi yi -wzm xizi
i i i
(znak sumowania po i pominięty dla uproszczenia)
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
TENSOR MOMENTU BEZWAADNOŚCI
Podobne równania możemy napisać dla składowych  y i  z i
r
ostatecznie równanie, wiążące wektor momentu pędu z
K
pseudowektorem prędkości kątowej , przyjmie postać:
w
Ixx Ixy Ixz ł
wx ł
ęI
ęw ś
[Kx, Ky, Kz]= Iyy Iyz ś
yx y
ę ś
ę ś
ę ś
Izy Izz wz
ę ś
zx
I
Macierz z prawej strony równania to tensor bezwładności a jego
elementy nazywamy współczynnikami bezwładności lub momentami
bezwładności.
Tensor bezwładności jest symetryczny, to znaczy: Ixy = Iyx
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
TENSOR MOMENTU BEZWAADNOŚCI
Wyraz przekątny (tu np.  xx ):
Ixx = (ri2 - xi2)= (yi2 + zi2)
m m
i i
jest sumą iloczynów każdej z mas cząstkowych przez kwadrat jej
odległości od danej osi (tu  x ), więc możemy go nazwać momentem
bezwładności względem tej osi.
r
r(r )
W przypadku ciągłego rozkładu masy z gęstością współczynniki tensora
możemy zapisać w postaci całek, na przykład:
r
Ixx =
r(r )(r2 - x2)dV
r
Ixy = -
r(r )xydV


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
III01 Dynamika ruchu obrotowego bryly sztywnej
II02 Kinematyka ruchu obrotowego bryly sztywnej
OI02?danie kinematyki ruchu obrotowego bryly sztywnej
04 Ruch obrotowy bryly sztywnej
pawlikowski, fizyka, dynamika ruchu obrotowego i drgającego
Wyklad 7 Moment bezwładności bryły sztywnej oraz Ruch postępowy, a obrotowy

więcej podobnych podstron