RUCH OBROTOWY BRYA
Y
SZTYWNEJ
1
RUCH OBROTOWY BRYA
Y SZTYWNEJ
" Ciało Doskonale Sztywne (Bryła Sztywna) = model ciała rzeczywistego = układ  n
oddziaływujących cząstek których wzajemne odległości nie ulegają zmianie
" Ciało wykonuje ruch obrotowy względem osi obrotu, tj. układu punktów, które znajdują się w spoczynku
" Wektor prędkości kątowej � jest wektorem, którego kierunek pokrywa się z kierunkiem osi obrotu
r r
(mi,ri,vi,�)
" Wielkości opisujące ruch układu cząstek: ni = i - ta cząstka
wszystkie cząstki posiadają tę samą prędkość kątową
2
ŚRODEK MASY UKA
ADU PUNKTÓW MATERIALNYCH (ŚRODEK MASY BRYA
Y SZTYWNEJ)
Rys. 22. Rys. 23.
y
z
układ n punktów
�
materialnych
mi
ri -RCM
ri
02
(CM) vi
y
m
RCM x
0
0
x
z
ri
oś z = oś obrotu
02 - POCZ
TEK UKA
ADU CM
Definicja CM (= Center Mass) Uwaga: w dalszym zapisie wzorów sumowanie po liczbie
n cząstek nie będzie oznaczane wskaz
nikami przy znaku
r
"m ri
i
sumy, tzn.
r
i=1
RCM =
n
n
"m "x = "x
i i i
i=1
i=1
3
UKA
AD DWÓCH PUNKTÓW MATERIALNYCH (DWÓCH CZ
STEK), przykład
Rys. 24.
r r
r
m1r1 + m2r2
RCM =
z
m1 + m2
m1 m2
CM
Gdy początek układu odniesienia
02
znajduje się w środku masy (O =CM)
r
r1
RCM
RCM = 0
r r
m1r1 + m2r2 = 0
r2
m1 r2
=
m2 r1
y
x
0
Rys. 25.
r2
m2
m1
02 = CM
r1
4
P
D, MOMENT P
DU, MOMENT SIA
Y
Rys. 26. Rys. 27.
vii
v
vi (Pi)
Ji
mii
m
mi
rii
r
0
�
� ri
0
0
Ji Ą" ri oraz Ji Ą" Pi
MOMENT P
DU
moment pędu
Punkt materialny Układ punktów materialnych (bryła sztywna)
r
r r
r r
pi = mivi P = pi = vi
Pęd
" "m
i
r
r r r r
r r
Ji =ri � pi =miri �vi
r r r r
J = Ji = � pi =
Moment pędu
" "r "m ri � vi
i i
r r r
vi =��ri
r r r r
r r
r
N =
Moment siły N = ri � Fi
"N = "r � pi
i i
i
5
ROLA MOMENTU P
DU I MOMENTU SIA
Y W RUCHU OBROTOWYM BRYA
Y SZTYWNEJ
" CM = środek masy bryły sztywnej
" RCM = wektor położenia środka masy
r r r
r r r r r
J =
Rys. 28.
"m ri � vi = "m ( ri - RCM )� vi + "m RCM � vi
i i i
z r r r r
J = JCM + RCM � P
02
ri - RCM
SPIN = moment pędu bryły sztywnej względem
RCM
środka masy (własny moment pędu, nie zależy od
mi
układu odniesienia):
y
r r
r r
ri
JCM = ( ri - RCM )� vi
"m
i
0
x Moment pędu środka masy względem początku
układu (zależy od wyboru układu odniesienia):
r r r
r
RCM � vi =RCM � P
"m
i
6
RÓWNANIE RUCHU OBROTOWEGO BRYA
Y SZTYWNEJ
r
N
" Aby wprawić bryłę sztywną w ruch obrotowy należy zadziałać momentem siły .
r
II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego.
r
dJ
= N
Zmiana całkowitego momentu pędu przypadająca na jednostkę czasu jest
dt
r r r r
równa wypadkowemu momentowi sił działającemu na bryłę sztywną.
J = JCM + RCM � P
Prawo zachowania momentu pędu
r
r r
dJ
Gdy na bryłę sztywną nie działa zewnętrzny moment sił, lub wypadkowy moment sił
N a" 0 = 0 J = const
dt
jest równy zeru, to moment pędu jest wielkością stałą w czasie.
" Gdy początek układu odniesienia znajduje się w środku masy CM, całkowity moment pędu równy jest
spinowi. Wówczas:
r r
RCM � P = 0
r
r
dJCM r
dJ
= = N
dt dt
oraz
r r
N = 0 JCM = const
7
RUCH OBROTOWY B
KA SYMETRYCZNEGO (ELEMENTARNA TEORIA ŻYROSKOPU)
" Bąk symetryczny = ciało o symetrii osiowej i jednorodnym rozkładzie masy,
np. bąk  zabawka, krążek z bolcami umożliwiającymi przyłożenie momentu sił
" Ruch bąka symetrycznego w polu grawitacyjnym. Bąk wirujący ze stałą prędkością kątową wokół osi
poziomej doznaje działania pary sił: siły ciężkości i reakcji w punkcie podparcia osi, co powoduje, że
moment sił działający na bąka jest różny od zera.
Rys. 29.
R - siła reakcji
podłoża
Q  moment siły
ciężkości
" Własności żyroskopu posiada wiele ciał np: ciała niebieskie w tym Ziemia, pociski karabinowe, wirniki
maszyn, koła.
" Żyroskop ma on postać metalowego krążka, który raz wprawiony w ruch obrotowy zachowuje swoje
pierwotne położenie osi obrotu. Żyroskop został wynaleziony w 1852 przez Leona Foucaulta, jako
demonstracja zasady zachowania momentu pędu.
8
x
Założenia:
Rys. 31.
Duża wartość momentu pędu
N
Moment siły prostopadły do momentu pędu
"J
oraz
"�
&!
r
r r
r
J = const
r
dJ "J
N = = J
N `" 0 r
, ,
dt "t
z
"J `" 0
Rys. 30.
x
y
N
F
"�
0 J z
&! =
Prędkość kątowa precesji:
"t
"J
"� =
y
w mierze łukowej kąta:
J
F
"� 1 "J 1 "J 1
&! = = = = N
"t "t J J "t J
r
N
&! =
(0 = CM)
J
r r r
punkt podparcia
N = &! � J
9
MOMENT BEZWA
ADNOŚCI BRYA
Y SZTYWNEJ
" Wirująca swobodnie kula jednorodna
" Zawsze J jest równoległe do �. Wówczas moment pędu jest
proporcjonalny do prędkości kątowej.
Rys. 32
r
J
r
J = I�
�
gdzie I jest współczynnikiem proporcjonalności. Współczynnik ten nosi
nazwę momentu bezwładności, w tym przypadku momentu
bezwładności kuli. Określa on pewną charakterystyczna cechę ciała 
rozkład masy ciała względem osi obrotu.
" Powyższa relacja pomiędzy J i � jest również słuszna w przypadku ciał o
symetrii osiowej i jednorodnym rozkładzie masy oraz ciał wykonujących
wirująca swobodnie kula jednorodna
zawsze
ruch obrotowy względem jednej z tzw. osi głównych ciała.
J ćłćł�
Wzór na moment
Rysunek Opis
bezwładności
Kula o promieniu R 
I = 0,4mR2
oś obrotu przechodzi przez środek kuli
10
" Moment bezwładności obręczy
Cienka obręcz kołowa o masie M i promieniu R wykonująca ruch obrotowy względem osi przechodzącej
przez środek masy i prostopadłej do płaszczyzny obręczy.
Rys. 33
Prędkość liniowa i kątowa wszystkich Punktów materialnych, z których
�
składa się obręcz jest taka sama:
J
r r
vn
vi = v = � �" r
r
rn ri = R
r
v
M
r r r
R J =
"m ( ri � vi ) = MR � v
i
J = MRv = MR2�
Z definicji, moment bezwładności obręczy względem osi obrotu wynosi:
oś obrotu
I = MR2
cienka obręcz kołowa o masie M
i promieniu R
Wzór na moment
Rysunek Opis
bezwładności
Pierścień o promieniu R
I = mR2
(także cylinder i obręcz)
11
" Ciało sztywne o dowolnym kształcie i dowolnym rozkładzie masy
r
r
J = I�
" , gdy J równoległe do �
" Na ogół J nie jest równoległe do �. Jest tak w przypadku, gdy wypadkowy ruch obrotowy jest złożeniem
wielu ruchów.
r r r r
J = ( J ,J ,J )
Składowe wektora momentu pędu: x y z
r r r r
Składowe wektora prędkości kątowej: � = (�x ,�y ,�z )
Związek między J i � ma postać równania macierzowego:
�ł �ł�ł �ł
Jx �ł Ixx Ixy Ixz �ł�ł�x
�ł �ł
�ł �ł �ł
J = �ł I I I �ł�ł�y �ł
�ł �ł
y yx yy yz
�ł �ł
�ł �ł�ł łł
Jz �ł Izx Izy Izz �ł�ł�z �ł
�ł łł
�ł łł
" Moment bezwładności wyrażony jest za pomocą macierzy bezwładności (tensor bezwładności) o
własnościach:
Ixy = I ,Ixz = Izx ,I = I
yx yz
Wyrazy poza przekątne są symetryczne, tzn.
zy
Ixx + I + Izz = 2 ri2
Suma wyrazów przekątnych wynosi: "m
yy i
12
" Ogólne wzory na obliczanie wyrazów macierzy bezwładności mają postać całkową
Rys. 34.
Wyrazy przekątne macierzy bezwładności:
r
z
I = �( r )( r2 - x2 )dV
xx
+"+"+"
Podobna postać mają wzory na Iyy i Izz.
�
r
Wyrazy poza przekątne tensora bezwładności:
y
r
0
Ixy = -
+"+"+"�( r )xydV
x
r
Ixz = -
+"+"+"�( r )xzdV
podobna postać mają pozostałe wyrazy.
Gęstość materii bryły sztywnej w dowolnym punkcie
wynosi:
Ponadto
r
r
�( r )
Ixx + I + Izz = 2
yy
+"+"+"�( r )r2dV
Wektor położenia ma współrzędne
oraz wyrazy poza przekątne są symetryczne.
r
r( x, y,z )
Obliczenia upraszczają się, gdy rozkład masy ciała
posiada wysoka symetrię względem osi obrotu.
13
TWIERDZENIE O OSIACH RÓWNOLEGA
YCH (Twierdzenie Steinera)
" Osie obrotu x i x są równoległe i odległe o odcinek a
" Oś x przechodzi przez środek masy CM, M = masa ciała
x1 x2
Rys. 35.
a
CM
Ix' = Ix + Ma2
M
Jakob Steiner
(1796 - 1863)
Twierdzenie:
Moment bezwładności bryły sztywnej względem dowolnej osi obrotu, równoległej do osi
przechodzącej przez środek masy, jest sumą momentu bezwładności względem osi przechodzącej
przez CM i iloczynu masy ciała przez kwadrat odległości między osiami obrotu.
14
ENERGIA ROTACJI = ENERGIA KINETYCZNA CIAA
A DOSKONALE SZTYWNEGO W RUCHU
OBROTOWYM
" Ciało doskonale sztywne wykonuje obrót wokół nieruchomego środka masy,
" Całkowita energia kinetyczna ciała jest równa sumie energii kinetycznych poszczególnych punktów
materialnych, z których ciało się składa:
Rys. 36.
x
1
Ek =
"m vi2
i
�
2
r r r
vi = � � ri
1 r r 1 r r r
Ek =
"m (� � ri )2 =
i
+"+"+"�( r )(� � r )2dV
2 2
" Ciało o symetrii osiowej (stożek, walec, kula, itp.)
15
OSIE GA
ÓWNE CIAA
A
" Wzór na energię kinetyczną ciała można zapisać w postaci:
1
Ek = [�x2Ixx + �y2I + �z2Izz + 2�x�yIxy + 2�y�zI + 2�y�zI )]
yy yz yz
2
Wyrażenie powyższe upraszcza się dla ciał o regularnym kształcie w układzie tzw. osi głównych ciała.
" Definicja osi głównych:
W układzie osi głównych wyrażenie na energię kinetyczną przyjmuje postać:
1 1 1 1 1 1
Ek = Ixx�x2 + I �y2 + Izz�z2 = I1�12 + I2�22 + I3�32
yy
2 2 2 2 2 2
Indeksy 1, 2, 3 numerują osie główne ciała: osie obrotu o największej, najmniejszej i pośredniej wartości momentu
bezwładności
" W układzie osi głównych moment pędu posiada składowe
r r r r
J(J1.J2.J3)
I1 = I2 = I3 = I
J1 = I1�1
�12 = �22 = �32 = �2
J2 = I2�2
1
2
Ek = J�
J3 = I3�3
2
I1, I2, I3 - główne momenty bezwładności (maksymalny, minimalny, pośredni)
" Jeżeli ciało obraca się wokół którejś z osi głównych, to wektor momentu pędu ciała jest równoległy do
wektora prędkości kątowej.
16
Rys. 38.
Rys. 37.
�
(3)
�
�
(2)
CM
CM
�
(1)
" Kula, powłoka kulista " Walec jednorodny  oś podłużna i
o jednorodnym rozkładzie masy  dwie osie do niej prostopadłe są
wszystkie osie przechodzące przez osiami głównymi.
środek masy są osiami głównymi.
" Ciało sztywne wirujące swobodnie wokół osi o maksymalnym lub minimalnym momencie
bezwładności zachowuje stały kierunek tej osi w przestrzeni (zasada działania stabilizatorów).
17
PRAWA ZACHOWANIA W MECHANICE (P
DU, ENERGII, MOMENTU P
DU)
" PRAWO ZACHOWANIA P
DU
" Całkowity pęd cząstek (ciał) tworzących układ zamknięty (izolowany) pozostaje stały w czasie
UKA
AD IZOLOWANY = układ na który nie działają siły zewnętrzne
r
r r r r r
P =[m1v1 + m2v2 + m3v3 + ... + mnvn = vi = const]
"m
i
( t = -",t = +" ) Rys.39.
r r
y
pi = mivi
" Klasycznie, masa i-tej cząstki
v2 mi
mi=const
v1 m1
vi
m2
r
r
" Relatywistycznie, masa i-tej cząstki wynosi
ri
mi = ł mi0
i
1
0 x
ł =
i
z
vi 2
1 -
Układ izolowany
c2
18
" PRAWO ZACHOWANIA ENERGII
" Całkowita energia izolowanego układu cząstek (ciał) pozostaje stała w czasie
Układ izolowany = układ, który nie wymienia energii z otoczeniem
r
Ek =
Ek = Ep (r ) = const
"Eki
(t = -",t = +") Ep =
"E
pi
1
Eki = mivi2
" Klasycznie, energia kinetyczna i-tej cząstki wynosi:
2
Eki = (ł - 1)m0ic2
" Relatywistycznie:
i
" Energia potencjalna Ep(r) jest określona dla potencjalnego pola sił, tj. pola sił zachowawczych
(grawitacyjnych, kulombowskich)
" PRAWO ZACHOWANIA MOMENTU P
DU
" Całkowity moment pędu izolowanego układu cząstek (ciał) pozostaje stały w czasie
Układ izolowany = układ, na który nie działa zewnętrzny moment sił, lub wypadkowy moment sił jest
równy zeru
r r
r r r r
J = = ri � vi = � pi
"J "m "r
i i i
( t = -",t = +" )
r r
N =
"N = 0
i
19
RUCH CIAA
W POTENCJALNYM POLU SIA

Rys. 40.
N
Centralne pole sił - pole sił, w którym linie sił są
linie sił pola
półprostymi zbiegającymi się w jednym punkcie, np.
m
pole grawitacyjne masy punktowej, pole elektrostatyczne
ładunku punktowego. Siła działająca między ciałami jest
F zawsze skierowana wzdłuż prostej łączącej ciała.
M
m
l2
Rys.41.
S
l1
Pole niecentralne
Pole centralne
punkt pola
(1)
m
F1
(2) punkt pola
m
r1
F2
r2
M
centrum sił
20
POLE GRAWITACYJNE MAS PUNKTOWYCH
" Siłę działającą między dwoma masami punktowymi można zapisać za pomocą wzoru, który wyraża
matematyczna postać prawa powszechnego ciążenia (prawa grawitacji, prawa Newtona).
r
r
Mm r
r
F(r) = -G
r2 r
G = 6.67 �"10-11 N �" m2 / kg2
Rys. 42
F - F
m
r
M
21
NAT
ŻENIE POLA GRAWITACYJNEGO
Rys. 43
g
Miarą natężenia pola grawitacyjnego jest siła działająca
g
na ciało o masie jednostkowej, umieszczone w danym
F
punkcie pola:
M r
r
r
F
g =
m
Gdy oddziaływają masy punktowe, wzór na
g przybiera postać:
r
r M r
M - masa ciała wytwarzającego pole grawitacyjne,
g = -G
r2 r
m  masa ciała  próbnego
Wartość natężenia pola grawitacyjnego opisuje dynamiczne własności pola: zależy tylko od masy ciała
wytwarzającego pole i położenia punktu pola w przestrzeni; nie zależy od własności ciała próbnego.
22
PRACA W POLU GRAWITACYJNYM
l1
" Ciało o masie M wytwarza pole.
Rys. 44.
l2
W polu tym przemieszczamy masę próbną z punktu 1 do punktu 2.
r
r
r r
F( r ) = -F( r )
r
m
Praca wykonana podczas przemieszczenia ciała:
r1
r2
r2 r2 r2
r
�ł �ł
r r GMmr r dr GMm 1 1
�ł łł
r2
�ł
W = ) �" dr = - r �" dr = -GMm = = -GMm�ł - �ł
+"F(r +" +" 2
�ł śł
r3 r r r1 r2 �ł
�ł �łr
�ł łł
r1 r1 r1
1
r r
M
(r �" dr = rdr)
" Praca wykonana przez siły pola. Ciało o masie m znajduje się pod wpływem siły grawitacji i jego
r2 < r1 �! W > 0
położenie końcowe znajduje się bliżej z
ródła pola M:
" Praca wykonana przez siły zewnętrzne. Ciało ulega przemieszczeniu pod wpływem siły zewnętrznej,
r2 > r1 �! W < 0
powodującej oddalenie ciała od z
ródła pola :
" Siły grawitacyjne są siłami zachowawczymi �! pole grawitacyjne jest polem zachowawczym
r2
r2
r r r
r r r
W = F " dr = F " dr �! F " dr = 0
+" +" +"
r1( l1 ) r1( l2 )
23
ENERGIA POTENCJALNA CIAA
A W POLU SIA
GRAWITACYJNYCH
" Praca wykonana w polu grawitacyjnym jest równa różnicy energii potencjalnej ciała w położeniu
początkowym i końcowym
r2
r
r r r
W = Fdr =U( r1 ) -U( r2 )
+"
r1
" Energia potencjalna ciała określona jest ujemnie
�ł �ł
r r GMm GMm GMm
�ł
U (r1) -U (r2 ) = - - �ł - U (r) = -
r1 �ł r2 �ł
r
�ł łł
" Energia potencjalna ciała znajdującego się poza zasięgiem sił grawitacyjnych (w nieskończoności) jest
równa zeru
U( " ) = 0
" r
GMm
U( r ) = - F( r )dr = F( r )dr = -
+" +"
r
r "
Energia potencjalna ciała w danym położeniu (w danym punkcie pola) jest równa pracy jaką trzeba
wykonać, aby ciało przenieść do nieskończoności (poza zasięg sił grawitacji).
24
POTENCJAA
POLA GRAWITACYJNEGO
" Potencjał pola grawitacyjnego w odległości r od centrum sił jest równy energii potencjalnej ciała
próbnego o masie jednostkowej znajdującego się w danym punkcie pola
r
r U( r )
Powierzchnie ekwipotencjalne (powierzchnie
�( r ) =
m
jednakowego potencjału) stanowią zbiory geometryczne
GM
punktów w przestrzeni, w których potencjał pola posiada tę
U( r ) = -
r r
�( r ) = const
samą wartość, tzn.
" Potencjał pola opisuje własności statyczne pola:
Jeżeli pole grawitacyjne wytwarza masa punktowa, to
zasób energii potencjalnej, którą pole zawiera.
powierzchnie ekwipotencjalne stanowią powierzchnie kul
współśrodkowych, otaczających masę punktową.
Rys. 45.
� (r) lub U(r)
g (r)
� (r) = const.
M
M
r r
Rys. 46.
M - masa
punktowa
M
M
- G
M
2
r
- G
r
linie sił
potencjał pola
powierzchnia ekwipotencjalna =
25
natężenie pola
(lub energia potencjalna)
powierzchnia kuli
PRAWO GAUSSA DLA POLA GRAWITACYJNEGO
" Strumień wektora natężenia pola (strumień pola grawitacyjnego) przez dowolna powierzchnię
zamkniętą jest równy iloczynowi masy znajdującej się w obszarze ograniczonym ta powierzchnią przez
(-4ĄG), gdzie G oznacza stałą grawitacji.
r
dS = dS �" n
Rys. 47.
" Elementarny strumień pola grawitacyjnego
dS = ds . n
r r r
dŚ = g �" dS = gdS cos(g,n)
dS
dS
S
Strumień pola przez powierzchnię zamkniętą S
g
r
Ś = = �" dS = -4ĄG
+"dŚ +"+"g
n
M3
" Prawo Gaussa stosuje się do wyznaczania
dS
g
M1
natężenia pola, zwłaszcza w przypadkach
M2
pół wytwarzanych przez układ ciał. W
S
g
przypadku pola wytwarzanego przez masę
S  powierzchnia zamknięta
punktową.
r
" Prawo Gaussa ma wyjątkowo uproszczoną
g
- wektor natężenia pola
r
postać:
n
- wektor jednostkowy o kierunku normalnej do powierzchni
2
g �" 4Ąr = -4ĄGM
dS
- wektor kierunkowy elementu powierzchni
GM
g = -
2
r
26
RUCH CIAA
W POLU SIA
CENTRALNYCH
" Rozważamy oddziaływanie dwóch ciał o porównywalnych masach w układzie laboratoryjnym i układzie
środka masy
Dwa ciała o masie M i m, ich położenie względem początku układu
r
r
rm
rM
laboratoryjnego określają wektory i
Rys. 48.
r
r0
Położenie środka masy CM wyznacza wektor
y
r r
r MrM + mrm
M
CM
m
r0 =
r
M + m
r r
r r
F( r ),-F( r )
rM ro rm Ciała oddziałują ze sobą siłami centralnymi , gdzie
r r r
r = rM - rm
x
" Wskutek oddziaływania ciała wykonują ruch obrotowy wokół
0
środka masy, którego opis jest skomplikowany w układzie
LAB
laboratoryjnym (wymaga rozwiązania układu różniczkowych
równań ruchu).
27
" Opis ruchu ciał, ich energii, znacznie się upraszcza w układzie środka masy, jeżeli wprowadzimy
ciało o masie zastępczej, tzw. masie zredukowanej, i rozważać będziemy zachowanie się tego ciała.
Sprowadzamy w ten sposób problem opisu ruchu dwóch ciał, oddziaływujących siłami centralnymi,
do problemu opisu ruchu jednego ciała o masie równej masie zredukowanej:
Mm
� =
M + m
1 1 1
( = + )
� M m
Rys.49.
" Jeżeli siła jest siłą centralną, to moment tej siły względem
rozważanego środka masy jest równy zeru (ramię siły i jej
r = rm- rM
kierunek pokrywają się). Z drugiej zasady dynamiki dla
�
ruchu obrotowego wynika, że moment pędu układu ciał
m
jest wielkością stałą. Oznacza to również, że ruch jest
CM
płaski (tory ciał leżą w jednej płaszczyz
nie).
M
28
ENERGIA CIAA
A W POLU SIA
CENTRALNYCH
" Układ środka masy ciał, w którym opisujemy ruch masy zredukowanej, stanowić może biegunowy układ
współrzędnych. Masa zredukowana � porusza się po torze krzywoliniowym, a jej chwilowe położenie
wyznacza wektor r i kąt �.
E = Ekr + Ek� + E
" Całkowita energia układu �! energia masy zredukowanej p
Rys. 50.
Ek r - energia kinetyczna związana z prędkością radialną
v
v�
1 pr2
Ekr = �vr2 =
(1)
�
2 2�
r
pr = �vr jest składową radialną pędu masy zredukowanej
vr
tor
�
Ek� - energia kinetyczna związana z prędkością azymutalną
2
1 J
CM
r
Ek� = �v� 2 =
(2)
2
2
2�r
Chwilowe wartości prędkości
J
J = p�r = �v�r = const
v� =
Moment pędu jest wielkością stałą w czasie:
�r
całkowitej oraz jej składowych, tzw.
Ep
- energia potencjalna układu ciał w polu sił centralnych
radialnej i azymutalnej wynoszą
A
GMm
r r r Ep = -
(Ep = - )
(3)
v,vr ,v� r r
odpowiednio
2
2
pr 2 J A pr 2 B A
J
E = + - = + -
" Energia całkowita masy zredukowanej B a"
2� 2�r2 r 2� r2 r
2�
" Energia całkowita masy zredukowanej jest funkcją położenia ciała
pr 2
29
E( r ) = + U( r ) = const
2�
Rys. 51.
E
U (r)
B
2
pr
" Całkowita energia masy zredukowanej
r2
2�
może być dodatnia lub ujemna. I tak:
E1
r
0
Gdy E>0 (np. E1) ruch ciała po krzywej
r1 r2
stożkowej otwartej (parabola, hiperbola).
E2
- A
r
Gdy E<0 (np. E2) ruch ciała po
krzywej stożkowej zamkniętej (elipsa,
Na rysunku r1 i r2 oznaczają odległości największego
koło).
i najmniejszego oddalenia ciała od centrum sił.
" Jeżeli jedno z ciał wytwarzających pole grawitacyjne posiada dużą masę tak, że M >> m, to środek
masy układu pokrywa się z położeniem ciała o masie M. Wówczas wartość masy zredukowanej układu
ciał jest w przybliżeniu równa masie ciała mniejszego m, zaś r oznacza odległość ciała m od centrum sił
(M). Warunki te są spełnione np. w naszym układzie planetarnym, modelu planetarnym atomu.
30
SIA
Y GRAWITACJI WE WSZECHŚWIECIE
" Kształt Galaktyki, model Hubble a
Gaz kosmiczny o masie M składający się z pojedynczych obiektów, z których jeden posiada masę np. M1.
Masa posiada moment pędu J=const.
Kształt galaktyki (Model Hubble a)
Rys. 52.
M
M1
Jo
M - masa galaktyki Edwin Powell Hubble (1889  1953)
M1  masa pojedynczej cząstki
" Obłok gazu kurczy się pod wpływem oddziaływania grawitacyjnego
31
Rys. 53.
v vo
ro
r
CM
M1
J = const
gdzie indeks  0 określa wartość prędkości i położenia masy M1 w chwili t = 0,
M1v0r0 = M1vr
wielkości bez indeksu  w dowolnej chwili czasu t
r0
v = v0
r
" Zmiana energii kinetycznej cząstki M1 wskutek pracy sił grawitacyjnych jest równa zmianie jej energii
potencjalnej i wynosi :
Rys. 54.
Ep
r0
1 1 1 �ł łł
EJ <" 1 / r2
"Ek = M1v2 - M1v0 2 = M1v0 2 �ł( )2 -1śł
2 2 2 r
�ł �ł
"Ek = "Ep
r
�min
" Energia potencjalna obiektu M1 wynosi:
0
GMM1 1 r0 2
Ep = Eg + EJ = - + M1v02�ł �ł
�ł �ł
r 2 r
�ł łł
Emin
Eg <" - 1 / r
32
" Kurcząc się grawitacyjnie, obłok gazu osiąga stan równowagi. W stanie równowagi cząstki obłoku
posiadają najmniejsza wartość energii potencjalnej (energia potencjalna osiąga minimum). Minimum energii
określa warunek:
dEp
= 0
dr
GM1M r02
- M1v02 = 0
r2 r3
dla r = rmin
v02r02
rmin =
GM
Rys. 55.
J
Słońce
Słońce
Przypuszczalny widok Drogi Mlecznej z boku i z góry z zaznaczonym
położeniem Słońca.
" W przypadku naszej Galaktyki rmin ~ 1020 m " Galaktyka  naprawdę posiada kształt dysku
33
NIEKTÓRE PROBLEMY KOSMOLOGII
" rozszerzanie się
Wszechświata
" gęstość krytyczna i los
Wszechświata
" wiek Wszechświata
" wczesny Wszechświat,
jego temperatura, czas
trwania epoki leptonowej i
hadronowej
Kosmologia obejmuje:
- teorię grawitacji,
- fizykę jąder i cząstek
elementarnych,
- termodynamikę,
- fizykę statystyczną.
34