RUCH OBROTOWY
Moment siły
Moment siły jest iloczynem wektorowym ramienia działania i siły.
r r
r
M = r � F
Wektor momentu siły jest skierowany wzdłu\

r
R
M osi obrotu, a jego zwrot jest określony przez
"
"
"
"
kierunek przesuwania się śruby obracanej tak
r
r
jak obraca się bryła.
Wartość momentu siły wynosi:
ą
ą
ą
ą
M = rFsiną rsiną = R
= ą ą =
= ą ą =
= ą ą =
r
F
= �"
= �"
= �"
M = F �" R
Warunek równowagi bryły
Rozwa\
amy bryłę sztywną pozostającą
F1
początkowo w spoczynku, na którą działają
siły F1, F2, i F3. Momenty sił F1 i F2 mają
"
"
"
"
zwrot przed płaszczyznę rysunku, a
moment siły F3 ma zwrot za płaszczyznę
R1
rysunku. Jeśli suma wektorowa momentów
R3
sił działających na bryłę jest równa zeru, to
R2
"
"
"
"
"
"
"
"
bryła pozostaje w spoczynku. Ten stan jest
" określony przez warunek:
"
"
"
r r r
+ + =
M + M + M = 0
+ + =
+ + =
1 2 3
F2
F3
Oznacza to, \
e bryła pozostaje w
równowadze, jeśli suma wartości
momentów sił obracających bryłę w prawo jest równa sumie wartości momentów sił
obracających w lewo. W tym przypadku jest to warunek skalarny:
M3 = M1+ M2, lub: F3R3 = F1R1 + F2R2
Spełnienie powy\
szego warunku oznacza, \
e bryła będzie w równowadze ale mo\
e
mieć miejsce ruch postępowy. O ruchu postępowym decyduje wypadkowa sił
działających na bryłę. Aby nie wystąpił równie\
ruch postępowy, musi być spełniony
warunek:
40
r r r
F + F + F = 0
+ + =
+ + =
+ + =
1 2 3
Przedstawione warunki wyra\
ają pierwszą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego i
dla ruchu postępowego.
Przyspieszenie kątowe
Rozwa\
amy bryłę sztywną, która obraca się z rosnącą prędkością kątową. Punkt
r
odległy o r od osi obrotu ma prędkość liniową V .
Przyspieszeniem kątowym bryły jest wektor skierowany
r
wzdłu\
osi obrotu, określony jako pochodna prędkości
�
�
�
�
r
� kątowej po czasie:
�
�
�
v
r d�
�
�
�
� =
� =
� =
� =
dt
r
a
Pomiędzy prędkością liniową i prędkością kątową istnieje
związek:
r
V
V dV
� = �! d� =
� = �! � =
� = �! � =
� = �! � =
r r
r r r
a
dV
dV
a = � � r
= � �
= � �
= � �
; = a � = ;
= � =
= � =
= � =
� =
� =
� =
� =
rdt dt r
Moment bezwładności
Ka\
dą bryłę mo\
na traktować jako zbiór nieskończenie wielu punktów materialnych.
Przez moment bezwładności bryły rozumiemy sumę
nieskończenie wielu iloczynów :
2 2
I = dm1r12 + dm2r2 + dm3r3 +........
= + + +
= + + +
= + + +
dm
r
"
"
"
"
I =
=
=
=
"dm ri2
"
" i
"
i=1
=
=
=
Sumowanie musi rozciągać się na wszystkie punkty bryły. Do obliczania takich sum
jest wykorzystywany rachunek całkowy.
41
1. Moment bezwładności punktu, cienkiej obręczy lub rury
m m
r
r
m
r
W przypadku punktu, cienkościennej obręczy lub rury, cała masa znajduje się w tej
samej odległości od osi obrotu. Suma określająca moment bezwładności sprowadza
się zatem do jednego składnika i wynosi:
I = mr2
=
=
=
2. Moment bezwładności cienkiego, jednorodnego pręta.
Rozwa\
amy pręt o masie m i długości l obracający się wokół osi przechodzącej
przez jeden z końców pręta. Moment
dx
bezwładności elementu masy (dm) jest równy:
m l
dm
dI = dmx2
=
=
=
x
dm dx m
= �! dm = dx
= �! =
= �! =
= �! =
m l l
m
m
dI = x2dx f (x) = x2
= =
= =
= =
=
=
=
dI = f (x)dx
l l
I = dI
=
=
=
"
"
"
"
l
l l
�ł łł
�ł łł
�ł łł
�ł łł
m m m x3 m l3
I = x2dx = x2dx = =
= = = =
= = = =
= = = =
+" +" �ł śł
+" +" �ł śł
+" +" �ł śł
+" +" �ł śł
l l l 3
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
0 0 �ł �ł0 l 3
ml2
I =
=
=
=
3
3. Moment bezwładności jednorodnego walca.
Jednorodny walec mo\
na podzielić na
m R l
cienkościenne rurki o masie dm ,
dr
dm
promieniu r i grubości dr. Moment
bezwładności takiej rurki wynosi:
r
dI = dmr2
=
=
=
42
� Ą
dm �2Ąrldr 2rdr
� Ą
� Ą
= =
= =
= =
= =
2 2
m �ĄR l R
�Ą
�Ą
�Ą
2mrdr 2m
dm = dI = r3dr
= =
= =
= =
2 2
R R
R
R
4
�ł łł
�ł łł
�ł łł
�ł łł
2m 2m r4 2m R
3
I = = = =
= = = =
= = = =
=
"
"dI = R r dr = R �ł 4 �ł = R 4
"
"
�ł śł
�ł śł
+" 2 2
+" �ł śł
+" 2
+" �ł śł
�ł �ł0
�ł �ł
0 �ł �ł
2
mR
I =
=
=
=
2
4. Moment bezwładności jednorodnej kuli.
Kulę mo\
na podzielić na cienkie krą\
ki o masie dm, promieniu y i grubości dx.
Moment bezwładności takiego krą\
ka wynosi:
�Ą
dmy2 dm �Ąy2dx
�Ą
�Ą
dI = =
= =
= =
= =
(x,y)
4
2 m
3
� ĄR
� Ą
� Ą
� Ą
3
R
2 2
3 R - x mdx
-
-
-
( )
( )
( )
( )
m3y2dx
dm = =
= =
= =
= =
3 3
x
4R 4R
dx
3m
2 2
dI = R - x dx
= -
= -
= -
( )
( )
( )
( )
3
8R
R
2
3m
2 2
I = = -
= = -
= = -
=
( )
( )
( )
( )
"dI = 8R R - x dx
"
"
"
+"
3 +"
+"
+"
-
-R
-
-
R
5
3m 3m 2 1 3m R
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
4 2 2 5 5 5
I = 2 R - 2R x + x4 dx = R - R + R = 15
= - + = - + =
= - + = - + =
= - + = - + =
)
)
)
)
( ) �ł �ł ( - 8 + 3
( ) �ł �ł ( - +
( ) �ł �ł ( - +
( ) �ł �ł ( - +
+"
+"
+"
3 +" 3 3
�ł łł
�ł łł
�ł łł
�ł łł
8R 4R 3 5 4R 15
0
2
2
I = mR
=
=
=
5
5. Twierdzenie Steinera
Moment bezwładności pewnej bryły względem osi przechodzącej przez środek masy
tej bryły wynosi I0, a względem innej osi , równoległej do pierwszej i poło\
onej w
odległości r wynosi I. Twierdzenie Steinera określa związek między tymi
momentami:
43
I = I0 + mr2
= +
= +
= +
Korzystając z twierdzenia Steinera i posługując się
m
metodą tzw. analizy wymiarowej, mo\
na wyprowadzić
wzór określający moment bezwładności cienkiego,
r
I0 I
jednorodnego pręta. Moment bezwładności ma wymiar
kg m2, a zatem dla pręta o masie m i długości l musi być
wyra\
ony wzorem:
I = k m l2 , gdzie k - współczynnik o nieznanej wartości.
Pomiędzy momentami bezwładności względem zaznaczonych osi zachodzi związek:
1 / 2 l 1 / 2 m 1 / 2 l 1 / 2 m
l2
I = I0 + m
= +
= +
= +
4
m l2 l2 1 ml2
kml2 = 2k + m �! k = I =
= + �! = =
= + �! = =
= + �! = =
2 4 4 3 3
Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
Przyspieszenie kątowe ciała jest wprost proporcjonalne do momentu działającej
siły i odwrotnie proporcjonalne do momentu bezwładności.
r
r M
� =
� =
� =
� =
I
Energia kinetyczna w ruchu obrotowym
Jeśli na ciało działa kilka sił, to M oznacza wypadkowy moment wszystkich sił
działających na ciało.
Bryła jest zbiorem punktów o masie dm. Energia kinetyczna jednego punktu bryły
wynosi:
r
2
�
�
�
�
dmV
dEk = V = �r
= = �
= = �
= = �
2
dm
1
2
dEk = dm� r2
= �
= �
= �
2
Energia kinetyczna bryły stanowi sumę energii
r
kinetycznych poszczególnych jej punktów.
V
1 1
2 2 2
Ek = dm� r2 = �
= � = �
= � = �
= � = �
" "dmr
" "
" "
" "
2 2
44
2
=
=
=
"
"dmr = I
"
"
2
I�
�
�
�
Ek =
=
=
=
2
Toczenie się jest szczególnym ruchem obrotowym. Oś obrotu toczącego się ciała
przechodzi przez punkt styczności z podło\
em.
2
I�
�
�
�
Ek = I = I0 + mr2
= = +
= = +
= = +
2
I
2
0
2 2
I0 + mr2 �
+ �
+ �
+ �
( )
( )
( )
( )
� + �
r I0� + mr2�
� + �
� + �
Ek = =
= =
= =
= =
V
I 2 2
r� = V
� =
� =
� =
2
I0�
�
� mV2
�
Ek = +
= +
= +
= +
2 2
Toczenie się mo\
na zatem traktować jako zło\
enie ruchu postępowego i ruchu
obrotowego wokół osi przechodzącej przez środek masy ciała. Energia toczącego się
ciała stanowi sumę energii ruchu obrotowego i energii ruchu postępowego.
1.Energia kinetyczna toczącej się obręczy. (I0 = m r2)
2
mr2� mV2
�
�
�
Ek = +
= +
= +
= +
2 2
r
V
Ek = mV2
=
=
=
2.Energia kinetyczna toczącego się walca.
2
mr2 mr2� mV2
�
�
�
I0 = Ek = +
= = +
= = +
= = +
r
2 4 2
V
3
Ek = mV2
=
=
=
4
3.Energia kinetyczna toczącej się kuli.
45
2
I0 = mr2
=
=
=
5
r
2
V
2mr2� mV2
�
�
�
Ek = +
= +
= +
= +
10 2
7
Ek = mV2
=
=
=
10
Moment pędu bryły
Punkt bryły o masie dm poruszający się z prędkością V ma moment pędu:
2
dK = dmVr = dm�r
= = �
= = �
= = �
r
Moment pędu bryły stanowi sumę momentów pędu
�
�
�
�
poszczególnych jej punktów.
r
dK
2
K = dK = dm�r
= = �
= = �
= = �
" "
" "
" "
" "
r
dm
r
r
K = I�
= �
= �
= �
r
V
Kierunek i zwrot momentu pędu bryły jest zgodny z
kierunkiem i zwrotem wektora prędkości kątowej.
Zasada zachowania momentu pędu.
Korzystając z drugiej zasady dynamiki dla ruchu obrotowego otrzymujemy:
r
r
r
r M r d�
�
�
�
� = �! M = �I = I
� = �! = � =
� = �! = � =
� = �! = � =
I dt
r r
r r
K = I� �! dK = Id�
= � �! = �
= � �! = �
= � �! = �
r
r
dK
M =
=
=
=
dt
r r r
M = 0 �! dK = 0 �! K = const.
= �! = �! =
= �! = �! =
= �! = �! =
Jeśli na bryłę działają siły. których wypadkowy moment jest równy zeru, to moment
pędu bryły pozostaje stały.
W szczególności momentu pędu nie mogą zmienić tzw. siły centralne, tj. siły,
których prosta działania przechodzi przez oś obrotu. Nie mogą równie\
zmienić
46
momentu pędu siły wewnętrzne, tj. siły działające między ró\
nymi punktami tego
samego ciała.
47