Ruch obrotowy
Tadeusz Paszkiewicz
Katedra Fizyki
Wydział Matematyki i Fizyki Stosowanej
Politechniki Rzeszowskiej
Linia odniesienia ciała sztywnego
Linia odniesienia, od której liczony jest kąt
P
0
0
Obrót ze stałym
przyspieszeniem kątowym
Niech ą będzie stałym przyśpieszeniem kątowym, �0 
początkową prędkością kątową, �0  początkowym
kątem. Wtedy:
d� t d �0 + ąt
( ) ( )
= = ą
� t = �0 + ąt.
( )
dt dt
� t = �0 + �0t + ąt2 / 2.
( )
d �0 + �0t + ąt2 / 2
d� t ( )
( )
= = �0 + ąt = � t .
( )
dt dt
d2 �0 + �0t + ąt2 / 2
d2� t ( ) d �0 + ąt
( ) ( )
= = = ą .
dt2 dt2 dt
Związek zmiennych liniowych z kątowymi
Je\
eli linia odniesienia ciała sztywnego obraca się o kąt �, punkt
tego ciała odległy od osi obrotu o r przebywa łuk okręgu o
długości s:
s = �r � mierzone jest w radianach .
( )
Związek prędkości kątowej i liniowej:
ds t d� t
( ) ( )
v t = = r = � t r miara lukowa .
( ) ( ) ( )
dt dt
Im punkt dalej le\
y od osi obrotu, tym prędkość liniowa jest
większa.
Związek okresu i prędkości liniowej
w ruchu po okręgu
2Ą 2Ąr
v = �r �! r �! T = .
T v
Składowe przyśpieszenia w ruchu
po ustalonym okręgu
Zró\
niczkujemy wzór:
v t = � t r .
( ) ( )
dv t d� t
( ) ( )
ast = = r = ą t r.
( ) Składowa styczna
dt dt
arad = v2 / r = �2r2 / r = �2r miara lukowa . Składowa radialna
( )
Składowa przyśpieszenia styczna do okręgu nie znika je\
eli
ruch obrotowy jest niejednostajny.
Radialna składowa przyśpieszenia nie znika je\
eli prędkość
ruchu obrotowego nie znika.
Energia kinetyczna w ruchu obrotowym
Potraktujemy bryłę sztywną jako zbiór n cząstek o
masach m1, m2, m3,& Ka\
da z nich porusza się z
odpowiednią prędkością v1, v2, v3,& , vn .
Całkowita energia kinetyczna:
2 2
Ek = m1v1 / 2 + m2v2 / 2 + m3v3 / 2 +& + mnv2 / 2 =
2 n
n
2
=
"m vi / 2 .
i
i=1
vi = �ri .
W ruchu obrotowym bryły sztywnej:
n
1 �ł
2
Ek =
"m ri2 �ł
i
�ł �ł� .
2
�ł i=1 łł
Wielkość charakteryzująca bryłę
n
I =
"m ri2 .
i
i=1
Wielkość I charakteryzuje rozkład masy. Nazywana jest
momentem bezwładności względem osi obrotu.
Energia kinetyczna w ruchu obrotowym:
1
Ek = I�2 .
(� w radianach na sekundę)
2
Przypadek ciągłego rozkładu masy
Ciągły rozkład masy charakteryzowany jest przy pomocy funkcji
� r
( )
rozkładu masy (gęstości masy) .
Dzielimy bryłę o objętości V na
warstwy, a ka\
dą warstwę na małe
komórki.
Wektor wodzący i-tej komórki ,
ri
Objętość i-tej komórki dVi,
dmi = � ri dVi .
masa i-tej komórki ( )
Moment bezwładności dla ciągłego
rozkładu masy względem wybranej osi
2 2
z
�
�
�
�
I =
( )
"dm rĄ"i = "�ł� ri dVi łł rĄ"i
i
�ł �ł
i i
dmi
Zwiększamy liczbę
dVi
ri
komórek (wtedy
y
riĄ"
objętość ka\
dej z nich
maleje). Granica dla
liczby komórek
x
dą\
ących do
nieskończoności
"
2 2
I = lim
( )
"� ri rĄ"idVi a"
Ą"
+"dV�(r)r nazywa się całką
n"
objętościową.
i=1
V
Inny zapis całki objętościowej
"
2 3 2
I = lim r
( )
"� ri rĄ"idVi a"
+"d r �( )rĄ"
n"
i=1
V
Halliday, Resnick, Walker,
Podstawy Fizyki
Rozmieszczenie masy
względem osi
obrotu ma istotne
znaczenie!
Halliday, Resnick, Walker, Podstawy Fizyki t. 1
Środek masy układu wielu cząstek
Rozpatrzymy zbiór n cząstek o masach
m1, m2, m3,& , mn
i wektorach wodzących
r1,r2,r3,& ,rn
Środek masy tego układu znajduje się w punkcie o
n
wektorze wodzącym:
"m ri
i
i=1
rsm =
n
M jest całkowitą
"m
i
j=1
masą układu
M
Układ wielu cząstek o ró\
nych masach
i ró\
nych wektorach wodzących
Układ wielu cząstek o ró\
nych masach
z
i ró\
nych wektorach wodzących
y
0
r2
rn
m2
r1
mn
m1
x
Środek masy układu dwóch cząstek
x2
0
0�" m1 + x2 �" m2 x2 �"m2
xsm = =
m1 + m2 M
M
Środek masy układu dwóch cząstek
0
m1x1 + m2 x1 + d
( )
xsm =
m1 + m2
Charakterystyki elementu d&!
ciała rozciągłego
dm masa jaka
znajduje się w
elemencie obszaru
z
d&!
d&! o objętości dV:
dV, dm
dm = � r dV
( )
r
0
y
x
Środek masy dla ciała rozciągłego
zajmującego obszar przestrzeni &!V
o objętości V i o masie całkowitej M
dV� r r
( )
+"
V
rsm = = M-1 V dV� r r
( )
+"
dV� r
( )
+"
V
M
dV� r rą
( )
+"
ą
V
rsm = = M-1 V dV� r rą ą = 1, 2,3
( ) ( )
+"
dV� r
( )
+"
V
M
Twierdzenie Steinera
Ciało rozciągłe o środku masy
w punkcie 0. Początek układu
współrzędnych wybieramy
w punkcie 0. Wybierzemy:
rP
(ą) oś prostopadłą do
płaszczyzny rysunku
przechodzącą przez punkt 0,
(�) i równoległa do niej oś
przechodzącą przez punkt P.
Twierdzenie:
IP = Ism + Mh2 .
Moment bezwładności względem osi przechodzącej przez punkt P jest równy sumie
momentu bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy + iloczyn
całkowitej M � odległość pomiędzy śm i P.
Dowód twierdzenia Steinera
.
y
2 2
2
�ł łł
IP = rP dm = x - a + y - b dm =
( ) ( )
+" +"
V V �ł �ł
rP
2
�ł
+"
�łx - 2ax + a2 + y2 - 2by + b2 łł dm =
�ł
V
r
xdm
+"
V
= x2 + y2 dm - 2aM -
x ( )
+"
V
M
r
xsm =0
ydm
+"
V
-2bM + a2 + b2 V dm .
( )+"
M
M
h2
ysm =0
Moment pędu
Wybierzemy układ współrzędnych z początkiem w
p
punkcie 0. Niech cząstka o masie m i pędzie ma
r l
wektor wodzący . Moment pędu tej cząstki
względem punktu 0 jest równy: l = r �p .
l = l = r p sinĆ =
= r psin Ć = pĄ"r.
pĄ"
Moduł momentu pędu
l = l = r p sinĆ =
= r sin Ć p = rĄ"p.
rĄ"
Sprawdzian (HRW)
Wszystkie cząstki mają jednakowe masy i jednakowe wielkości
prędkości. Nale\
y uszeregować względem wielkości momentu
pędu.
Obserwacje:
(a)Cząstki # 1 i 2: wektory wodzące są do p1, p2; r1>r2.
p
(b) Wektor wodzący cząstki # 4 r4 || .
(c) Wektor wodzący r3>r4.
Druga zasada dynamiki
dla ruchu ze zmianą kierunku wektora prędkości
d
l = r �p .
dt
d r �p
( )
dl
z z
= = r �p + r � p =
dt dt
v�p=
ma=F
p�p / m=0
= r �F.
M
r � F = M .
Moment siły:
Ruch postępowy nie daje wkładu
do momentu pędu
p r
Składowa pędu równoległa do wektora wodzącego .
r �p = 0
Tylko składowa pędu prostopadła do wektora wodzącego daje
wkład do momentu pędu.
Moment siły względem początku
układu współrzędnych
r � F = M .
z F
r
r
F
"
0
y
M
x
jest prostopadły do płaszczyzny rysunku i skierowany w górę.
M
Równanie ruchu dla wektora
momentu pędu
d
L =
"l = "r �pi .
i i
dt
i i
d ri �pi
( )
dli
zi z
= =
" " "r �pi +"r �pi =
i
dt dt
i i i i
=
"r �Fi = "M = M.
i i
dL
i i = M.
dt
Pochodna całkowitego momentu pędu względem
L = li
"
i
M =
czasu jest równa całkowitemu momentowi siły
"M .
i
i
Druga zasada dynamiki
dla ruchu obrotowego
dL
= M.
dt
Pochodna całkowitego momentu pędu względem
L = li
"
i
M =
czasu jest równa całkowitemu momentowi siły
"M .
i
i
Zachowanie momentu pędu
układu izolowanego
Je\
eli na układ nie działa moment siły albo wypadkowy
moment siły znika, to moment pędu jest wielkością
stałą.
Dowód:
�ł
dL
= M�ł
dL
�! = 0 �! L t = const.
dt ( )
żł
dt
�ł
M = 0
�ł
Zachowanie momentu pędu
Zachowanie momentu pędu
Moment pędu ciała sztywnego
obracającego się wokół stałej osi
Element masy "mi
�
porusza się po
trajektorii kołowej
wokół osi obrotu.
riĄ" = ri sin �
Wektor wodzący tego
rĄ"i jest
elementu
promieniem okręgu,
po którym porusza
się "mi.
"pi
Jego wektor pędu jest .
Ą" do vĄ"i
Moment pędu elementu masy
Długość wektora momentu pędu elementu masy "m
względem punktu 0
li = ri"pi sin Ą / 2 = ri "mivi
( ) ( )
Długość z-towej składowej wektora momentu pędu
elementu "mi względem punktu 0
liz = li sin � = ri sin �"pi = ri sin � "mivi = riĄ" "mivi
( ) ( )
riĄ"
Moment pędu bryły sztywnej
obracającej się dookoła ustalonej osi
Oś obrotu jest ustalona (jest zamocowana).
�ł
2
Lz =
"l = ""m vi rĄ"i = ��ł""m rĄ"i �ł = �I
i z i i
�ł
i i �ł i łł
�rĄ"i
I
2
moment bezwładności bryły względem
I =
""m rĄ"i  stałej osi obrotu.
i
i
Wpływ siły na ruch bryły, która jest
zamocowana na osi
Frad F
Składowa radialna siły
powoduje ruch bryły, albo jest
równowa\
one przez siłę
reakcji osi.
F
Fst
Składowa styczna siły
powoduje obrót bryły wokół
osi.
Przekrój bryły płaszczyzną
prostopadłą do jej osi obrotu
Ramię siły działającej na bryłę
F
Wielkość ramienia siły :
rĄ" = r sin Ć = r sin Ć .
Wielkość M wektora
M
momenty siły
działającego na bryłę:
M = M = FrĄ" = Fr sin Ć .
Ą"
jest wektorem do płaszczyzny
M = r �F
przekroju skierowany zgodnie z
regułą prawej dłoni
Konfiguracja ogólna
F
F
FĄ" rad
( )
FĄ"
0
r
FĄ"
FĄ" st
( )
0
Je\
eli oś obrotu jest zamocowana i ciało nie mo\
e się wzdłu\

F , FĄ" rad
niej przesuwać, to siły są równowa\
one i moment siły
( )
FĄ" st
określa składowa .
( )
Własności momentu siły
Je\
eli siła działająca na bryłę jest ustalona, to
moment siły jest tym większy im większe jest ramę
siły.
Moment siły jest wektorem równoległym do osi obrotu,
skierowanym do góry albo w dół w zale\
ności od
kerunków siły i wektora wodzącego punktu, w którym
przyło\
ono siłę.
Wektor momentu siły spełnia
zasadę superpozycji
Je\
eli na ciało działa kilka momentów siły
M1,M2,M3,& ,Mu
to wypadkowy moment pędu działający na nie
Mwyp
jest sumą poszczególnych momentów siły:
u
Mwyp = Mi .
"
i=1