Ruch pod wpływem sił zachowawczych
Fizyka I (B+C)
Wykład XV:
" Energia potencjalna
" Siły centralne
" Ruch w polu grawitacyjnym
" Pole odpychające
Energia potencjalna
Równania ruchu
Znajomość energii potencjalnej jest rownoważna znajomości siły (zachowawczej):
F = -"Ep
Czy znając Ep(r) możemy rozwiązać równania ruchu ciała ?
" Możemy wyznaczyć zależność F (r) i skorzystać z II zasady dynamiki...
albo
" Możemy wykorzystać zasadę zachowania energii:
E = Ek(Y) + Ep(r) = const
W zależności od zagadnienia jeden albo drugi sposób może być bardziej użyteczny...
A.F.Żarnecki Wykład XV 1
Energia potencjalna
Ruch prostoliniowy
Dla ruchu prostoliniowego pod działaniem siły zachowawczej F (x),
energia potencjalna Ep = Ep(x)
m dx 2
E = + Ep(x) = const
2 dt
dx 2
�! = E
( - Ep(x)
)
dt m
Rozdzielając zmienne i całkując otrzymujemy:
dx
dt =
2
E
( - Ep(x)
)
m
x
dx
t =
2
E - Ep(x )
xć% m
�! Znając Ep(x) możemy zawsze znalez
ć związek między x i t.
A.F.Żarnecki Wykład XV 2
Energia potencjalna
Ruch prostoliniowy
Przykład: F = F ix = const �! Ep(x) = -F x Fx = -dEp
dx
Przyjmując, że x = 0 w chwili t = 0 mamy:
x
m dx
t =
2
E + F x
0
x
"
2 2 2 2
�! t = E + F x = E + F x - E
m F F F
0
"
F 1 F 2E
"
�! t + E = E + F x �! x = � t2 + � t
2 m m
2m
1
a � t2 + vć% � t
2
2
mvć%
vć% - predkość w chwili t = 0 �! energia całkowita E = > 0
2
A.F.Żarnecki Wykład XV 3
Siła centralna
Rozważmy ruch punktu materialnego o masie m
w polu centralnej siły zachowawczej F = F (r) � ir
mv2
�! zasada zachowania energii: E = + Ep(r) = const
2
�! zasada zachowania momentu pędu: L = mr � v = const
Zachowanie momentu pędu �! ruch płaski
dr d� dr 2
�! v = ir � + i� � r �! v2 = + r2 �2
dt dt dt
Wstawiając do wyrażenia na energię kinetyczną L = m r2 �
m dr 2 L2 m dr 2
e
E = Ek + Ep = + + Ep(r) = + Epff(r)
2 dt 2 m r2 2 dt
�! równanie różniczkowe dla składowej radialnej �! problem jednowymiarowy
A.F.Żarnecki Wykład XV 4
Siła centralna
Energia efektywna
 Efektywna energia potencjalna w polu siły centralnej:
L2
e
Epff(r) = + Ep(r)
2 m r2






Jeśli L = 0 to zasada zachowania momentu pędu

 przeciwstawia się zbliżeniu ciała do z
ródła siły (r = 0).
bariera centryfugalna
 energia dośrodkowa �! siła odśrodkowa
d L2 L2 d� 2
Fo = - = = m r
dr 2 m r2 m r3 dt
A.F.Żarnecki Wykład XV 5
Siła centralna
Ruch radialny
Jednowymiarowe zagadnienie ruchu radialnego:
dr 2
e
= E - Epff(r)
dt m
r
dr L2
e
t = Epff(r) = + Ep(r)
e 2 m r2
2
rć% m
E - Epff(r )
e
Ruch może się odbywać tylko w obszarze E - Epff(r) e" 0
�! dla L = 0 istnieje ograniczenie na odległość najmiejszego zbliżenia: r e" rmin

teoretycznie można wymyśleć siłę centralną silniejszą od siły odśrodkowej
e
�! jeśli E < Epff(") to ciało nie może dowolnie oddalić się od centrum siły: r d" rmax
�! ruch w ograniczonym obszarze
A.F.Żarnecki Wykład XV 6
Siła centralna
Ruch kątowy
Zachowany moment pędu: L = m r2 �
d� L
�! � = =
dt m r2
t
L
� - �ć% = dt
m r2
0
Możemy wyprowadzić równanie na tor ciała porównując zależności od czasu:
dr m r2
dt = = d�
e L
2
E - Epff(r)
m
L dr
�! � - �ć% =
e
2
m r2 m E - Epff(r)
równanie toru we współrzędnych biegunowych
A.F.Żarnecki Wykład XV 7
Siła centralna
Ruch kątowy
Zmiana kąta biegunowego przy przejściu ciała
od rmin do rmax
rmax
L dr
"� =
e
2
rmin
m r2 m E - Epff(r)
Tor będzie krzywą zamkniętą, jeśli "� = 2Ąm
n
m, n - liczby całkowite
Warunek ten spełniony jest tylko dla dwóch pól:
(niezależnie od warunków początkowych)
1
" Ep(r) <" - siła grawitacyjna, siła kulombowska
r
" Ep(r) <" r2 - siły sprężystości
A.F.Żarnecki Wykład XV 8
Ruch w polu grawitacyjnym
energia efektywna
Pole grawitacyjne
Ogólne wyrażenie na energię potencjalną:
k
Ep(r) = -
r
k > 0 �! siła przyciągająca
wybieramy Ep(") = 0
Charakter ruch zależy od energii całkowitej:
" E1 > 0 - tor otwarty
" E2 < 0 - tor zamknięty
" E3 = Emin - ruch po okręgu
A.F.Żarnecki Wykład XV 9
Ruch w polu grawitacyjnym
Model
A.F.Żarnecki Wykład XV 10
Ruch w polu grawitacyjnym
Równanie toru
Rozwiązujemy:
dr
L dr
r2
� - �ć% = =
e
2
2m k L2
m r2 m E - Epff(r)
E + -
r
L2 2mr2
1 1 1
d d -
r r p
= -
= -
2
2
�2 1 1
2mE 2mk 1 1
- -
+ -
r p
r
p2
L2 L2 r
L2 2EL2
Gdzie wprowadziliśmy parametry: p = oraz � = 1 +
mk
mk2
Otrzymaliśmy całkę postaci:
dx p
-
= arccos(x) =�! r =
1 + � � cos(� - �ć%)
1 - x2
A.F.Żarnecki Wykład XV 11
Ruch w polu grawitacyjnym
r
Równanie toru
� =
AB
Otrzymaliśmy równanie krzywej stożkowej
(we współrzędnych biegunowych)
p
r(�) =
1 + � � cos(� - �ć%)
� - mimośród orbity
2EL2 L2
� = 1 + p =
mk
mk2
" � = 0 - ruch po okręgu
Osie elipsy:
o promieniu p
2p
k
" 2a = =
" � < 1 - ruch po elipsie E < 0
2|E|
1-�2
- zależy tylko od energii
" � = 1 - ruch po paraboli E = 0
L
"2p = "
" 2b =
2m|E|
1-�2
" � > 1 - ruch po hiperboli E > 0
- zależy także od momentu pędu
A.F.Żarnecki Wykład XV 12
Ruch w polu grawitacyjnym
Ruch po okręgu
Przypadek szczególny: � = 0
m k2
E = Emin = -
2 L2
minimalna energia całkowita
przy ustalonym L
W przypadku L = 0 mamy ruch po odcinku
k
o długości 2a = ; b = 0
2|E|
A.F.Żarnecki Wykład XV 13
Ruch w polu grawitacyjnym
Ruch po elipsie
Warunek: Emin < E < 0
Ruch ograniczony do: rmin < r < rmax
e e
Epff(rmin) = Epff(rmax) = E
y
ródło siły znajduje się w jednym z ognisk elipsy.
Długa półoś zależy wyłącznie od energii;
 spłaszczenie zależy od momentu pędu
A.F.Żarnecki Wykład XV 14
Ruch w polu grawitacyjnym
Prawa Keplera
I. Każda planeta krąży po elipsie ze Słońcem w jednym z jej ognisk
II. Promień wodzący każdej planety zakreśla równe pola w równych czasach
III. Kwadrat okresu obiegu każdej planety wokół Słońca
jest proporcjonalny do sześcianu półosi wielkiej elipsy
dS L k L
"
Okres obiegu możemy wyznaczyć z prędkości polowej = , 2a = , 2b =
dt 2m 2|E|
2m|E|
S Ą a b m
T = = = Ąk
L
dS
2|E|3
2m
dt
Podnosząc do kwadratu
Ą2k2m 4Ą2m
2
T = = � a3
2|E|3 k
A.F.Żarnecki Wykład XV 15
Ruch w polu grawitacyjnym
Ruch po paraboli
Przypadek szczególny: E = 0
Ruch jest nieskończony,
ciało nie jest związane przez centrum siły.
Jednak oddalając sie do nieskończoności
ciało będzie poruszać się coraz wolniej.
Asymptotycznie zatrzyma się.
A.F.Żarnecki Wykład XV 16
Ruch w polu grawitacyjnym
Ruch po hiperboli
Dla E > 0
Ruch jest nieskończony.
Asymptpotycznie prędkość ciała dąży do
2E
v" = > 0
m
orbity komet nieperiodycznych
Im mniejsze L
tym mniejsza odległość zbliżenia rmin
A.F.Żarnecki Wykład XV 17
Ruch w polu grawitacyjnym
Rodzaje orbit
2EL2
Kształt orbity zależy od energii całkowitej E i momentu pędu ciała L � = 1 +
mk2
E = 0
E < 0 E > 0
Orbity o tej samej wartości L, lecz o różnych wartościach E
A.F.Żarnecki Wykład XV 18
Ruch w polu sił
Potencjał odpychający
k
Ep(r) = + k > 0
r
A.F.Żarnecki Wykład XV 19
Ruch w polu sił
Potencjał odpychając
Uzyskane rozwiązanie pozostaje
słuszne, z dokładnością do zmiany
znaku k �! zmiana znaku p
p
r(�) =
� � cos(� - �ć%) - 1
2EL2
Jak porzednio � = 1 +
mk2
Teraz jednak zawsze E > 0
Im większe �, tym większy kąt
rozwarcia hiperboli
A.F.Żarnecki Wykład XV 20