RUCH HARMONICZNY
1. Równanie ruchu harmonicznego prostego
2. Energia w ruchu harmonicznym prostym
2. Przykłady ruchu harmonicznego
3. Oscylator harmoniczny tłumiony
4. Oscylator harmoniczny wymuszony: rezonans
Opracowane na podstawie wykładu J. Koreckiego
PRZYKA
ADY RUCHU HARMONICZNEGO
x
Fd = -kx
F = -kx
s
"
x
0
Gdowski
F = -kx
Każdy ruch w którym w pewnych warunkach siła jest w
przybliżeniu proporcjonalna do wychylenia od stanu równowagi
jest ruchem harmonicznym
RÓWNANIE RUCHU HARMONICZNEGO PROSTEGO (1)
F = -kx
Siła sprężysta
s
F a" -kx
x
0
Równanie ruchu, II zasada dynamiki:
d2x
d2x d2x k
2 2
m =
"F
i m = -kx = -É0x É0 =
dt2
dt2 dt2 m
Rozwiązanie (odgadnięte)
x
x = Acos(É0t + Õ)
t
RozwiÄ…zaniem jest ruch harmoniczny prosty o czÄ™stoÅ›ci koÅ‚owej É0, amplitudzie A i fazie Ć
ruch harm
RÓWNANIE RUCHU HARMONICZNEGO PROSTEGO (2)
a(t)
T
x
x(t) = Acos(É t +Õ)
0
V(t)
É0 1
k
f = T =
É =
0
t
2Ä„ f
m
Õ0
Faza określa warunki początkowe ruchu
jeśli Ć=0, x(t0=0)=A
predkosc
dx(t)
v(t) = = -AÉ0 sin(É0t + Õ) = -v0 sin(É0t + Õ)
dt
dv(t)
a(t) = = -AÉ2 cos(É0t + Õ)
0
dt
W ruchu harmonicznym prostym częstość nie zależy od amplitudy
predkosc
ENERGIA RUCHU HARMONICZNEGO PROSTEGO
kx2 k
Energia potencjalna
U = = A2 cos2 É0t
2 2
k
1 1
2
É0 =
ale
Ek = mv2 = mA2É0 sin2 É0t
Energia kinetyczna
m
2 2
k k
Ek = A2 sin2 É0t = (A2 - x2 )
2 2
Energia całkowita 1 1 1
Ec = mv2 + kx2 = kA2
2 2 2
E
E
1
2
1
2
kA
kA
2
2
1 1 3
- A 0 A
T T T
t
T
x
4 2 4
W ruchu harmonicznym prostym całkowita energia jest zachowana
PRZYKA
ADY RUCHU HARMONICZNEGO PROSTEGO
Wahadło matematyczne
F = -mgsin¸
Dla maÅ‚ych kÄ…tów sin ¸= ¸
x mg
F = -mg¸ = -mg = - x
l l
¸
mg
l
k =
F = -kx
gdzie
N
l
x=l¸
mgcos¸
mgsin¸
k
g l
É =
É0 =
0
T = 2Ä„
m
l
mg
g
Każdy ruch w którym w pewnych warunkach siła jest w
przybliżeniu proporcjonalna do wychylenia od stanu równowagi
jest ruchem harmonicznym
przyklady
OSCYLATOR HARMONICZNY TA
UMIONY 1
SIA
A OPORU I SIA
A SPR
ZYSTA
Równanie ruchu d2 x d x
m = -kx - b
d t2 d t
d2 x d x
k b 1
2
2
+ 2² + É0x = 0
É0 = 2² = =
gdzie
d t2 d t
m m Ä
ROZWI
ZANIE: Słabe tłumienie
x
SÅ‚abe tÅ‚umienie É0 > ²
A
-t/2 Ä
Ae
Ae-t/2 Ä cos t
É
x = Ae-t 2Ä cos É't
2
É'= É0 - ²2
-Ae-t/2 Ä
-A
t
OSCYLATOR HARMONICZNY TA
UMIONY 2
ROZWI
ZANIE: Silne tłumienie
É0 d" ²
Silne tłumienie
x(t) = (A + Bt)e-²t
ruch krytyczny
X
ruch nadkrytyczny
²>É0
Ezmagazynowana
Współczynni
Q = 2Ä„
Estracona w 1 okresie k dobroci Q
²=É0
t
ruch krytyczny x(t) = (A + Bt)e-²t
Oscylator Q
Ziemia dla fali sejsmicznej 250-400
Struna fortepianu lub skrzypiec 1000
Atom wzbudzony 107
JÄ…dro wzbudzone 1012
ruch harm
OSCYLATOR HARMONICZNY WYMUSZONY
d2 x d x
Okresowa siła
F(t) = F0 cosÉw t
m + b + kx = F(t)
wymuszajÄ…ca
d t2 d t
równanie ruchu
d2 x d x
F
2
0
+ 2² + É0x = Ä…0 cosÉwt Ä… =
0
m
d t2 d t
rozwiÄ…zanie
x(t) = Acos(Éwt + Õ)
A
Õ
Małe tłumienie
Ä„
1
Ä„
2
Większe tłumienie
0
É
É0 É
2 0
É0
0 3
É0 w 3É0 w
É0
2
É0
Ä…0
Éw / Ä
A =
Õ = arc tg
2
2
[(É0 - É2 )2 + (Éw / Ä)2 ]1/ 2 (É0 - É2 )
w w
OSCYLATOR HARMONICZNY WYMUSZONY:
REZONANS
A
Małe tłumienie
Większe tłumienie
É
2É
0 3É É
0
0
0
w
1
2
H" É0
Ér = É0 -
2Ä2
rezonans
OSCYLATOR HARMONICZNY WYMUSZONY: MOC
ABSORBOWANA W REZONANSIE
dx
Wartość
P = Fv = F
średnia mocy
dt
1 É2 / Ä
2
w
P = mÄ…0 2
2 (É0 - É2 )2 + (Éw / Ä)2
w
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0 1 2 3 4 5 6
Éw / 0
É
most
max
P/P
SKA
ADANIE DRGAC
O RÓŻNYCH CZ
STOÅšCIACH:
KRZYWE LISSAJOUS
y
Złożenie ruchów w kierunku x i y
rozwiÄ…zanie
x
x(t) = Ax cos(Éxt + Õx )
y(t) = Ay cos(Éyt + Õy )
Éx wymierne Ò!
Éy krzywe zamkniÄ™te (periodyczne)
niewymierne Ò!
Éx
Éy krzywe otwarte (nieperiodyczne)
krzywe