4 1 Ruch harmoniczny 1 8

RUCH DRGAJCY
RUCH HARMONICZNY
Ruchem harmonicznym , zwanym tak\e ruchem drgającym prostym , nazywamy taki
ruch drgający , w którym wychylenie jest wprost proporcjonalne do działającej siły.
X A
r
Wychylenie X jest wektorem zaczepionym w pozycji równowagi i wskazującym
poło\enie ciała drgającego.
Amplituda wyra\a wartość maksymalnego wychylenia (A).
Zgodnie z definicją , w ruchu harmonicznym musi zachodzić związek:
r r
F = -kX
= -
= -
= -
r
r
Znak - informuje , \e wektory F i x mają zawsze przeciwne zwroty . Korzystając z
drugiej zasady dynamiki otrzymujemy:
ma = -kX
= -
= -
= -
dV d2x
a = = Przyśpieszenie jest drugą pochodną poło\enia po czasie.
= =
= =
= =
dt dt2
d2x
m = -kX
= -
= -
= -
dt2
d2x k
+ X = 0
+ =
+ =
+ =
- ró\niczkowe równanie ruchu
dt2 m
Rozwiązaniem powy\szego równania jest ka\da funkcja x(t) , która je spełnia . Aby
określić ogólny kształt takiej funkcji , kierujemy się następującymi przesłankami:
1. Wychylenie w ruchu harmonicznym zmienia się okresowo , a zatem poszukiwana
funkcja musi być okresowa.
2.Maksymalna wartość funkcji x(t) musi być równa A.
1
3.Ruch mo\e się rozpocząć z ka\dej pozycji , a zatem x(o) nie musi być równe zeru.
Wszystkie powy\sze warunki spełnia funkcja:
X=A sin(� �)
� t + �)
� �)
� �)
Ustalamy w jakim związku powinny być stałe : �
�, k i m.
�
�
dx d2x
2
= A� cos(�t + �) = -A� sin(�t + �)
= � � + � = - � � + �
= � � + � = - � � + �
= � � + � = - � � + �
dt dt2
k
2
-A� sin(�t + �) + A sin(�t + �) = 0
- � � + � + � + � =
- � � + � + � + � =
- � � + � + � + � =
m
k
2
� =
� =
� =
� =
m
Ustalamy okres (T) funkcji x(t).
x (t + T ) = x(t)
A sin � t + T + � = A sin �t + �
� + + � = � + �
+ + � = � + �
= � + �
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
[ ]
[ ]
[� + + �]
[� ]
� t + � T + � = � t + � + 2Ą
� � � � � Ą
� � � � � Ą
� � � � � Ą
m
2Ą k
Ą
Ą
Ą
2
T = 2Ą
= Ą
= Ą
= Ą
T = ; � =
= � =
= � =
= � =
k
� m
�
�
�
dx
V = A� cos �t + �
= � � + �
= � � + �
= � � + �
( )
( )
( )
( )
Prędkość w ruchu harmonicznym: V =
=
=
=
dt
dV d2x
2
Przyspieszenie : a = = = -A� sin �t + �
= = = - � � + �
= = = - � � + �
= = = - � � + �
( )
( )
( )
( )
dt dt2
2
a = -� x
= -�
= -�
= -�
F = -m�
= - �2x
= - �
= - �
Siła :
Energia kinetyczna:
2
mv 1 1
2 2 2
= = � � + � = � - ( )
Ek = = � � + � = � - ( )
= = mA � cos2 �t + � = mA2� - sin2 �t + �
� + �
= = � � + � = � - ( )
� + �
� + �
( ) ( )
( )
( )
( )
[ ]
[ ]
[1 ]
[ ]
2 2 2
1
2
Ek = m� A2 - x2
= � -
= � -
= � -
( )
( )
( )
( )
2
2
1
2
E = mA2�
= �
= �
= �
Energia całkowita : E = Ek.max
=
=
=
2
1
2
Ep = m� x2
= �
= �
= �
Energia potencjalna : Ep = E - Ek
= -
= -
= -
2
Wszystkie wielkości charakteryzujące ruch harmoniczny są funkcjami czasu.
Kąt, który określa chwilową wartość ka\dej z tych wielkości nazywamy fazą.
� t + �
� �
� � - faza ruchu
� �
t = 0�! � � = � �
�! � t + � = � � - faza początkowa
�! � � = � �
�! � � = � �
ZWIZEK RUCHU HARMONICZNEGO Z RUCHEM PO OKRGU
Jeśli punkt materialny porusza się ruchem jednostajnym po okręgu, to rzut
prostokątny tego punktu na kierunek jednej ze średnic porusza się ruchem
drgającym. Mo\na wykazać, \e jest to ruch harmoniczny.
r
r
�A
�
�
�
V
V
poło\enie maksymalnego wychylenia (x = A)
ą+�
ą+�
ą+�
ą+�
poło\enie chwilowe x(t)
A
ą
ą
ą
ą
poło\enie początkowe x(o)
�
�
�
�
poło\enie równowagi x = 0
ą
ą
ą
ą
� = �! ą = �t
� = �! ą = �
� = �! ą = �
� = �! ą = �
x = A sin(ą + � )
ą + � )
ą + � )
ą + � )
t
x = A sin (� t + �
� � )
� �
� �
Podobnie mo\na określić prędkość w ruchu
harmonicznym. Jeśli punkt porusza się po
okręgu ze stałą prędkością kątową �
�, to jego
�
�
r
r
rzut ma prędkość V , równą składowej
X
A A
prędkości punktu, skierowanej w kierunku
X
ą
ą
ą
ą
r
�
�
�
�
X .
V = A � ą+�)
� cos (ą+�)
� ą+�)
� ą+�)
V = A � � � )
� cos ( � t + � )
� � � )
� � � )
Punkt poruszający się ruchem jednostajnym
3
po okręgu doznaje przyspieszenia dośrodkowego:
2
ar = � A
= �
= �
= �
r
Jego rzut ma przyspieszenie równe składowej równoległej do X .
2
a = A� sin + �
= �
= �
= �
(ą + �
(ą + �
)
(ą + �
(ą )
)
)
2
a
a = A� sin �t + �
= � � + �
= � � + �
= � � + �
( )
( )
( )
( )
x
Uwzględniając przeciwne zwroty
a
r
r
a i X
ą+�
otrzymujemy:
2
a = -A� sin(�t + �)
= - � � + �
= - � � + �
= - � � + �
2
a = -� X
= -�
= -�
= -�
2
F = ma �! F = m� x
= �! = �
= �! = �
= �! = �
WAHADAO MATEMATYCZNE
Wahadłem matematycznym nazywamy punktową masę zawieszoną na nieskończenie
cienkiej, niewa\kiej i nierozciągliwej nici. Na wahadło wychylone z poło\enia
równowagi działa siła cię\kości mg . Jedna składowa siły
cię\kości powoduje naciąg nici , a druga składowa (F) - ruch
wahadła. Jeśli wychylenie wahadła jest nieznaczne w stosunku do
długości nici, to ruch wahadła mo\na uwa\ać za ruch drgający.
ą
ą
ą
ą
x
F = m g sin ą ą H" �! ą =
ą ą H" O �! siną =
ą ą H" �! ą =
ą ą H" �! ą =
l
l l
r
mg
mg r
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
F = x �łF = - x�ł
= =
= =
= =
�ł - �ł
�ł - �ł
�ł - �ł
�ł �ł
l
l �ł łł
�ł łł
�ł łł
�ł łł
Ruch wahadła jest zatem ruchem harmonicznym.
r
m g
X
k =
=
=
=
r
l
F
m ml
T = 2Ą T = 2Ą
= Ą = Ą
= Ą = Ą
= Ą = Ą
K mg
l
mg T = 2Ą
= Ą
= Ą
= Ą
g
Jeśli wahadło porusza się pod wpływem innych sił, przy czym wypadkowa sił
naciągających nić wahadła w pozycji równowagi wynosi FN , to stosując
4
analogiczne rozumowanie, mo\na wykazać, \e okres wahań takiego wahadła wyra\a
się wzorem:
ml
T = 2Ą
= Ą
= Ą
= Ą
FN
DRGANIA TAUMIONE
Drgania tłumione mają miejsce wtedy, gdy na ciało drgające ruchem harmonicznym
działa siła oporów ruchu wprost proporcjonalna do prędkości ciała.
F = -kx - hV
= - -
= - -
= - -
d2x dx
m = -kx - h
= - -
= - -
= - -
dt2 dt
d2x h dx k
+ + X = O równanie ruchu
+ + =
+ + =
+ + =
dt2 m dt m
Mo\na wykazać, \e rozwiązaniem tego równania jest funkcja :
X = A sin (� t + � )
� � )
� � )
� � )
h
-�
-�
-�
A = A0e-�t - amplituda drgań tłumionych,
=
=
=
� =
� =
� =
� =
gdzie: - stała tłumienia
2m
k h2 2Ą
Ą
Ą
Ą
2
� = - T = - okres drgań tłumionych
� = - =
� = - =
� = - =
m 4m2 �
�
�
�
Kształt funkcji X = A sin (� t +�)
� �) przedstawia poni\szy wykres .
� �)
� �)
-�
-�
-�
A = A0e-�t
=
=
=
5
Szybkość zanikania drgań mo\na określić podając stałą tłumienia lub tzw.
logarytmiczny dekrement tłumienia. Jest to logarytm naturalny ze stosunku amplitud
wziętych w odstępie okresu.
A t
( )
( )
( )
( )
� = ln
� =
� =
� =
A t + T
+
+
+
( )
( )
( )
( )
-�
-�
-�
A0e-�t
� = ln
� =
� =
� =
-� +
-� +
-� +
A0e-�( t+T)
�
�
�
� = ln e�T
� =
� =
� =
�
�
�
�
� = �ń �! � =
� = �ń �! � =
� = �ń �! � =
� = �ń �! � =
T
�
�
�
�
- t
-
-
-
�
�
�
�
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
T
A = A0e A = A0 exp - t
= =
= = -
= =
�ł - �ł
�ł - �ł
�ł �ł
lub �ł �ł
�ł łł
�ł łł
�ł łł
�ł łł
T
DRGANIA WYMUSZONE
Drgania wymuszone mają miejsce wtedy, gdy na ciało drgające ruchem
harmonicznym działa siła wymuszająca określona równaniem :
Fw = Fo cos �
� t
�
�
F = - kX - h V + F0 cos �
� t
�
�
d2X dX
m = -kX - h + F0 cos�t
= - - + �
= - - + �
= - - + �
dt2 dt
d2X h dX k F0
+ + X = cos�t - równanie ruchu
+ + = �
+ + = �
+ + = �
dt2 m dt m m
Mo\na wykazać, \e rozwiązaniem powy\szego równania jest funkcja :
X = A sin (� t + �
� � )
� �
� �
6
F0
2�� k h
��
��
��
2
A =
=
=
=
; ctg� = ; � = ; � =
� = � = � =
� = � = � =
� = � = � =
0
2 2 2
2 2 2
� - � m 2m
�0 - �
� - �
� - �
m � - � + 4�2�
�0 - � + � �
� - � + � �
� - � + � �
( )
( )
( )
( )
Amplituda drgań wymuszonych jest maksymalna wtedy, gdy wyra\enie zawarte pod
pierwiastkiem przyjmuje wartość minimalną.
2
2 2 2
Y = � - � + 4�2�
= �0 - � + � �
= � - � + � �
= � - � + � �
( )
( )
( )
( )
�2 =
�2 =
�2 = z
�2 =
2
Y z = � - 2� z + z2 + 4�2z
= �0 4 - � + + �
= � - � + + �
= � - � + + �
( )
( )
( )
( )
0
2 4
Y z = z2 - 2 � - 2�2 z + �
=
=
=
( ) - � - � + �
( ) - � - � + �
( ) - � - � + �
( )
( )
( )
( )
( )
0 0
2
" = 4 � - 4� � + 4�4 - 4�
" = �4 - �2� + � - �4
" = � - � �0 + � - �
" = �0 - � � + � - �0
( )
( )
( )
( )
" = 16 �2 (�2 - �02 )
" = 16 �2 (�2 - �02 )
" = 16 �2 (�2 - �02 )
" = 16 �2 (�2 - �02 )
-" b
-"
-"
-"
2 2
Ymin = = 4�2 � - �2 Zmin = - = � - 2�2
= = � �0 - � = - = � - �
= = � � - � = - = � - �
= = � � - � = - = � - �
( )
( )
( )
( )
0
4a 2a
F0
2 2
2 2
Amax = � 2min = �02 - 2 � 2
= � �02 - 2 �
= � �02 - 2 � 2
= �2 �02 - 2 �
2
m �" 2� � - �2
�" � �0 - �
�" � � - �
�" � � - �
Amplituda drgań wymuszonych jest zatem maksymalna wtedy, gdy spełniony jest
warunek :
2
2
� 2 = �02 - 2 � 2
�2 = �02 - 2 �
� 2 = �02 - 2 � 2
�2 = �02 - 2 �
Przypadek taki nazywamy rezonansem. Jeśli stała tłumienia jest bliska zeru, to
amplituda drgań wymuszonych zmierza wtedy do nieskończoności.
2Ą
Ą
Ą
Ą
T0 = - okres drgań własnych
=
=
=
�
�0
�
�
2Ą
Ą
Ą
Ą
T = - okres drgań wymuszonych
=
=
=
�
�
�
�
Jeśli stała tłumienia jest bliska zeru, to warunkiem rezonansu jest równość okresów
drgań własnych i siły wymuszającej .
7
DRGANIA ELEKTRYCZNE
Rozwa\amy obwód LC zawierający naładowany kondensator .Zamknięcie obwodu
wywoła przepływ prądu. Prąd jest wywołany sumą napięć, których
Uc
zródłem jest zwojnica i kondensator .
Ul + Uc
+
+
+
I =
=
=
=
R
UL
dI q dq
IR = Ul + Uc ; Ul = -L ;Uc = ; I = -
= - = = -
= - = = -
= - = = -
dt c dt
dI q
R H" O �! -L + = O
H" �! - + =
H" �! - + =
H" �! - + =
dt c
dI
q = LC
=
=
=
dt
dq d2I
I = - = -LC
= - = -
= - = -
= - = -
dt dt2
d2I 1
+ I = O
+ =
+ =
+ =
dt2 LC
Równanie opisujące prąd w takim obwodzie jest analogiczne do równania ruchu
harmonicznego :
d2X k
+ X = O
+ =
+ =
+ =
dt2 m
Natę\enie prądu płynącego w obwodzie LC, po zamknięciu tego obwodu
przedstawia funkcja :
1
2
I = I0 sin �t + � ; � =
= � + � � =
= � + � � =
= � + � � =
( )
( )
( )
( )
LC
2Ą
Ą
Ą
Ą
T = = 2Ą LC
= = Ą
= = Ą
= = Ą
Okresem tej funkcji jest :
�
�
�
�
8

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Fizyka wykł 9 Ruch harmoniczny, fale (M Krasiński)
ruch harmoniczny
FO W3 Ruch harmoniczny
Ruch harmoniczny i fale mechaniczne jak to się dzieje, że słyszymy
Ruch harmoniczny
wykład 6 ruch harmoniczny
Biedrzyński D , Pojęcie harmonii w filozofii Empedoklesa
36 porad jak zwiekszyc ruch na stronie
Zagrożenie Współczesnego Człowieka Ruch New Age
Harmonogram na lata 07 2011
RUCH
Diagnoza Dysleksji Harmonia E book
ruch 1
31 Ruch elektronu w polu magnetycznym i elektrycznym Wyznaczanie wartości eprzezm
HARMONIA WSZECHŚWIATA
Ruch Chaotyczny Wahadla 00 p11

więcej podobnych podstron