Fizyka Ogólna Wykad III 1
Ruch harmoniczny
Równanie ruchu harmonicznego opisuje ruch w bardzo wielu ukadach fizycznych:
Przykad: jednowymiarowe drgania swobodne masy na spr óynie
= - k x
F
x
k
m
2
x
x0
x
m d = - k x
2
dt
2
x
d
2
+ �0 x = 0
dt2
k
�2 a"
0
m
Fizyka Ogólna Wykad III 2
Równanie to ma rozwi�zania w postaci funkcji harmonicznych
x ( t ) = A cos ( �0 t ) + B sin ( �0 t )
x ( t ) = C cos ( �0 t + � )
x ( t ) = D sin ( �0 t +� )
Fizyka Ogólna Wykad III 3
To samo równanie opisuje drgania wahada matematycznego
�
Momentem siy zwrotnej jest składową momentu siy grawitacyjnej prostopadłą do wahada:
N� = l m g sin�
.
St�d równanie ruchu dla masy m jest:
2
�
2
ml d + m g l sin� = 0
2
dt
Fizyka Ogólna Wykad III 4
Dla maych k�tów sinus moóna rozwin�ł
w szereg i obci�ł
na pierwszym (tj. liniowym) wyrazie:
2
�
ml2 d + m g l � = 0
dt2
Po uporz�dkowaniu otrzymuje si równanie ruchu harmonicznego
2
�
d
2
+ � � = 0
0
2
dt
g
2
a"
�
0
l
Fizyka Ogólna Wykad III 5
Podobnie: równanie ruchu dla obwodu rezonansowego skadaj�cego si z równolegle po�czonej
indukcyjnoŃci L oraz pojemnoŃci C:
d2Q +
�2Q = 0
0
dt2
1
�2 a"
0
LC
UniwersalnoŃł
równania ruchu harmonicznego daje dobre narz dzie do znajdowania cz stoŃci drga�
nieraz dosył
zoóonych ukadów.
Potrzeba jedynie sprowadził
równania ruchu ukadu do postaci równania ruchu oscylatora
harmonicznego a rozwi�zanie jest wtedy znane a jego cz stoŃł
wyraóa si przez stae ukadu.
Fizyka Ogólna Wykad III 6
Przykad
Wyznaczył
cz stoŃł
harmonicznych drga� wasnych ukadu jak na rysunku:
k
k
k
1
p
k2
m
k3 k
4
Poszukujemy równania w postaci
2
x
m d = - kef x
dt2
r
r r r
Aby doprowadził
do tej postaci rózwaómy si jaka dziaa na mas m: F = F1 + F3 + F4
Sia F1 = - xp
k
1
Fizyka Ogólna Wykad III 7
Z III zasady dynamiki Newtona: k x = k ( x - x )
1 p 2 p
gdzie x jest przesuni ciem masy m.
To równanie da si uporz�dkował
tak aby wyznaczył
xp:
( k1 + k2 ) xp = k2 x
k
2
= x
x
p
+ k2
k
1
Ostatecznie
-1
1 1
�ł
k k
1 2
= - x = �ł + x
�ł �ł
F
1
+ k2 �ł k1 k2 łł
k
1
OtrzymaliŃmy analogiczny wzór jak dla �czenia szeregowego pojemnoŃci. (Dlaczego ?)
Podobnie:
= k x
�ł
F
3 3
�ł F + F = - ( + k ) x
k
3 4 3 4
= k xłł
F
4 4
Fizyka Ogólna Wykad III 8
Ostateczna postał
równania ruchu:
2
x
d
2
+ � x = 0
0
2
dt
eff
2
a" k
�
0
m
k k
1 2
z
= k3 + k4 +
k
ef
+ k2
k
1
Fizyka Ogólna Wykad III 9
WasnoŃci ruchu harmonicznego
1) Izochronizm
Rozwi�zaniem równania ruchu dla oscylatora harmonicznego jest funckcja harmoniczna np. w postaci
x ( t ) = A sin ( �0 t + � )
gdzie A, �0, � s� staymi.
izochronizm:
W ruchu harmonicznego (tj. dla drga� liniowych) cz stoŃł
ruchu nie zaleóy od amplitudy drga�.
2) pr dkoŃł
i przyspieszenie w ruchu harmonicznym dane s� przez funkcje harmoniczne
2
1 dx 1
3) podobnie energia kinetyczna = m �ł �ł = A2 m �2 cos2 ( �0 t + � )
E �ł �ł
k 0
2 dt 2
�ł łł
x
1 A m 2 ( t + � ); 2 = k
2 2
oraz energia potencjalna = - dx = 1 k x =
E F �0 sin2 � �0
x
p +" 0
2 2 m
0
Fizyka Ogólna Wykad III 10
Energia potencjalna i energia kinetyczna w ruchu harmonicznym s� przesuni te w fazie o 90�.
St�d: energia mechaniczna w ruchu harmonicznym swobodnym jest staa
1
2 2
( t ) + E ( t ) = E = m A �
E p 0
k
2
4) �rednia energia kinetyczna
T
1
< E > = ( t ) dt
k k
+" E
T
0
�0
2Ą
1 1
0
2 2 2 2 2
= � m A �
0 0 0
+" cos ( � t + � ) dt = 4 m A �
2Ą 2
0
zaś Ńrednia energia potencjalna
T
1 1 1
< Ep > = ( t ) dt = k
p A2 = m A2�2
0
+" E
T 4 4
0
�rednia energia mechaniczna
1
2 2
E = < E > + < E > = m A �
k p 0
2
Fizyka Ogólna Wykad III 11
Oscylator harmoniczny z t
umieniem


Równanie ruchu:
2
dx
x
m d = - k x - ł
dt
dt2
1 ł k
2
JeŃli wprowadził
oznaczenia: a" �0 a"
� m m
to równanie ruchu przybierze postał
:
2
x 1 dx
d
2
+ + x = 0
�
0
2
� dt
dt
wiemy, óe:
oscylator nietumiony ma rozwi�zanie
x(t) = A sin (�0t)
obserwacja wskazuje, óe amplituda drga� w obecnoŃci tarcia maleje eskponencjalnie.
Fizyka Ogólna Wykad III 12
Poszukujemy wi c rozwi�zania w postaci
x(t) = A e-�t sin (�t)
przy czym drgania zachodz� z cz stoŃci�
2
1
�ł
� = �0 1 - �ł
�ł �ł
2 �0�
�ł łł
która róóni si od cz stoŃci drga� swobodnych �0
Tylko gdy �0� >> 1 to � E" �0
Fizyka Ogólna Wykad III 13
Drgania wymuszone oscylatora harmonicznego
Równanie ruchu dla oscylatora harmonicznego w obecnoŃci tumienia oraz siy wymuszaj�cej:
2
x dx
m d + ł + k x = F(t)
2
dt
dt
Po uporz�dkowaniu
2
F(t)
x 1 dx
d
2
+ + � x =
0
2
� dt m
dt
F(t)
= ą sin (� t)
0
m
Wnioski z obserwacji:
najpierw stany nieustalone, których postał
zaleóy od warunku pocz�tkowego
potem drgania o staej amplitudzie z cz stoŃci� siy wymuszaj�cej � E" �0
Poszukujemy rozwi�zania w postaci
x ( t ) = x0 sin ( � t + � )
gdzie � jest przesuni ciem fazy pomi dzy si� zewnetrzn� a drganiem
Fizyka Ogólna Wykad III 14
dx
= � cos ( � t + � )
x
0
dt
2
x
d
2 2
= - � x sin ( � t + � ) = - � x ( t )
0
2
dt
Po podstawieniu do równania otrzymuje si
�
2 2
(� - � ) x sin ( � t + � ) + x cos ( � t + � ) = ą sin ( � t )
0 0 0 0
�
Aby powyósze równanie byo spenione dla dowolnej chwili czasu t stałe �, � i � muszą spełniać
warunki:
�
sin�
ą0
�
tg � = oraz x =
= -
0
2 2
1
�
2 2
cos�
- �
2 2
�
0
2
[(� - � + ( ) ]
)
0
�
Fizyka Ogólna Wykad III 15
Gdy � << �0
mą
ą0 0 0
� -0 x = = F
0
2
k k
�
0
gdy � = �0 wyst puje rezonans
Ą
�
0
� - x = ą
0
2
�
0
dla � " x0 "
Maksymalne wychylenie w rezonansie nie wyst puje dla � = �0
ale gdy mianownik wyraóenia na amplitud x0 osiąga minimum
Warunek minimum:
d � 2�
2 2
)2 )2
[(�0 - �2 + ( ] = 2 (�0 - �2 )(-2 � ) + = 0
2
d� �
�
Równanie to jest spenione dla
1
� = �0 1 -
(2 �0� )2
Fizyka Ogólna Wykad III 16
Dla � >> �0
ą0 0
F
� -Ą x0 =
�2 m �2
16
Tlumienie
12 1/tau = 0.005
1/tau = 0.05
1/tau = 0.1
1/tau = 0.2
8
4
0
0 1 2 3 4
� / �0
0
x
Fizyka Ogólna Wykad III 17
Moc absorbowana przez oscylator
1
2
dx m ą0 � f(x)
P = < F > =
< sin(� t) cos(� t + � ) >
1
�
dt
2
[(�0 - �2 + ( )2 ]2
)2
0.8
�
�2
0.6
1
2
�
P = m ą0
1
�
2
2
[(�0 - �2 + ( )2 ]2
)2
� 0.4
2 2
1
- �
0
oznaczaj�c f (x) = oraz X a" - �
2
�
1+ X
0.2
�
0
-4 -2 0 2 4