Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywany jest ruchem
okresowym. Jeżeli ruch ten opisywany jest sinusoidalną funkcją czasu to jest to ruch
harmoniczny. Ciało porusza się ruchem harmonicznym prostym, jeżeli znajduje się pod
wpływem siły o wartości proporcjonalnej do wychylenia z położenia równowagi i
skierowanej w stronę położenia równowagi:
gdzie
- siła,
k - współczynnik proporcjonalności,
- wychylenie z położenia równowagi.
Równanie ruchu (skalarne dla kierunku OX) dla takiego ciała można zapisać (z II zasady
dynamiki Newtona) jako:
albo w postaci różniczkowej:
Jest to równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu (występuje druga pochodna funkcji
położenia x(t)).
Rozwiązania tego równania można równoważnie opisać za pomocą dowolnej z poniższych
funkcji:
1.
2.
3.
gdzie:
·ð jest czÄ™stoÅ›ciÄ… koÅ‚owÄ… drgaÅ„,
·ð staÅ‚e zależne od warunków poczÄ…tkowych.
Są to tzw. harmoniki. Rozwiązania są równoznaczne, a korzystając z tożsamości
trygonometrycznych można znalez
ć zależności pomiędzy powyższymi stałymi i rozwiązanie
przedstawiać w dowolnej z postaci 1,2,3.
CzÄ™stość koÅ‚owÄ… É0 wiąże z okresem drgaÅ„ T zwiÄ…zek:
,
czÄ™stotliwość drgaÅ„ ½ natomiast wynosi
Ważną własnością ruchu harmonicznego jest to, że inne wielkości (prędkość, przyspieszenie)
też są opisane przez równanie harmoniczne.
Energia w ruchu harmonicznym prostym [edytuj]
Energia potencjalna dla siły proporcjonalnej do wychylenia.
Z zasady zachowania energii, wynika zależność, z której można wyznaczyć energię
kinetycznÄ…:
Z równania powyższego wynika kilka faktów (na podstawie jedynki trygonometrycznej i
porównania współczynników we wzorze z powyższym):
Ciało drgające ma maksymalną prędkość gdy przechodzi przez położenie równowagi i ma
ona wartość:
v0 = x0É0
prędkość chwilowa zmienia się jak
Bezpośrednio z równania ruchu wynika, że przyspieszenie jest opisywane zależnością: