Wykład 9
Fizyka I (Informatyka 2005/06)
06 12 2005
©Mariusz KrasiÅ„ski 2005
Spis treści
1 Ruch harmoniczny wymuszony c.d. 1
1.1 Dynamiczny eliminator drgań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 FALE 2
2.1 Dwaj wędkarze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Równanie fali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Prędkość fazowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Fala stojÄ…ca 4
3.1 Fale stojÄ…ce na strunie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Fale stojÄ…ce na wodzie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2.1 Sejsze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2.2 Fala stojąca a przypływy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2.3 Tsunami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 Prędkość grupowa 8
UWAGA! Część rysunków wymaga własnoręcznego dopisania oznaczeń!
1 Ruch harmoniczny wymuszony c.d.
1.1 Dynamiczny eliminator drgań
Równania ruchu dla układu powyżej mają postać:
1
2 FALE 2
m1a1 = -k1x1 + k2(x2 - x1) + F0 cos(Ét) (1)
m2a2 = -k2(x2 - x1) (2)
Rozwiązanie układu równań (1), (2) przedstawiono poniżej
Dodaj opisy na wykładzie
2 FALE
2.1 Dwaj wędkarze
(dopisz oznaczenia)
Drgania z
ródła opisuje równanie
y(x = 0, t) = A cos(Ét) (3)
Co rejestruje obserwator?
y(x, t) = ?
Drgania w miejscu gdzie stoi obserwator można opisać przy pomocy równania (3) ale dla obserwatora musimy
w równaniu (3) zamienić czas (dlaczego?)
t t - "t (4)
otrzymując wychylenie w punkcie o współrzędnej x równe
y(x, t) = A cos [É(t - "t)] (5)
gdzie
x
"t = (6)
v
Podstawiając (6) do (5) otrzymamy więc równanie drgań w miejscu x gdzie stoi obserwator

x x
y(x, t) = A cos É t - = A cos Ét - É (7)
v v
2 FALE 3
Ponieważ
2Ä„
É 2Ä„ 2Ä„
T
= = =
v v vT 
to równanie (7) przyjmuje ostateczną postać

2Ä„
y(x, t) = A cos Ét - x = A cos(Ét - kx) (8)

gdzie
2Ä„
k = (9)

nazywamy liczbÄ… falowÄ…
2.2 Równanie fali
Liczymy pochodne cząstkowe wychylenia y względem
" położenia x
"y "
= (A cos(Ét - kx)) = Ak sin(Ét - kx)
"x "x
"2y "
= (Ak sin(Ét - kx)) = -Ak2 cos(Ét - kx) = -k2y (10)
"x2 "x
" oraz czasu t
"y "
= (A cos(Ét - kx)) = -AÉ sin(Ét - kx)
"t "t
"2y "
= (-AÉ sin(Ét - kx)) = -AÉ2 cos(Ét - kx ) = -É2y (11)
"t2 "t
Przyrównując wychylenie y wyliczone z równań (10) i (11) otrzymujemy
"2y 1 "2y 1
=
"x2 k2 "t2 É2
albo zapisujÄ…c inaczej
"2y k2 "2y
= (12)
"x2 É2 "t2
gdzie
2

2
k2 2Ä„ T 1


= = = (13)
É2 2Ä„  v2
T
Ostatecznie więc równanie (12) przyjmuje postać
"2y 1 "2y
= (14)
"x2 v2 "t2
W trzech wymiarach równanie (14) ma postać
"2U "2U "2U 1 "2U
+ + = (15)
"x2 "y2 "z2 v2 "t2
gdzie wychylenie oznaczono jako U dla uniknięcia pomyłki ze współrzędną y.
Równanie (15) można zapisać w bardziej zwartej postaci
1 "2U
"2U = (16)
v2 "t2
3 FALA STOJ
CA 4
gdzie wyrażenie
"2 "2 "2
"2 = + +
"x2 "y2 "z2
nazywa siÄ™ operatorem Laplace a albo laplasjanem
Rozwiązanie równania falowego (16) w trzech wymiarach, w przypadku fali płaskiej, ma postać

U( = A cos(Ét - k · (17)
r) r)

gdzie k nazywa siÄ™ wektorem falowym.
2.3 Prędkość fazowa
Chcemy dowiedzieć się jak przemieszcza się faza fali
y = A cos(Ét - kx)
Jako charakterystyczny punkt wybieramy jeden z grzbietów
É
y = max Ò! cos(Ét - kx) = 1 Ò! Ét - kx = 0 Ò! x = t
k
Jeśli t rośnie to x też rośnie - czyli fala porusza się zgodnie z kierunkiem osi x (w tym przypadku w prawo).
Wielkość
É
vf =
k
jest prędkością przemieszczania się fazy czyli prędkością fazową.
Analogicznie możemy pokazać, że równanie
y = A cos(Ét + kx)
opisuje falę, która porusza się przeciwnie do kierunku osi x (w tym przypadku w lewo).
Jest tak, ponieważ dla grzbietu fali zachodzą relacje
É
y = max Ò! cos(Ét + kx) = 1 Ò! Ét + kx = 0 Ò! x = - t
k
3 Fala stojÄ…ca
(dodaj opisy!)
Co się stanie kiedy w pewnym miejscu, o współrzędnej x spotkają się dwie identyczne fale, biegnące z przeciwnych
stron?
Fale te opisujemy równaniami
y1(x, t) = A cos(Ét - kx) (18)
3 FALA STOJ
CA 5
y2(x, t) = A cos(Ét + kx) (19)
Dodając drgania wywołane przez fale (18) i (19) w dowolnym punkcie x otrzymujemy
yw(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) = A cos(Ét - kx) + A cos(Ét + kx)

Ét - kx + Ét + kx Ét - kx - Ét - kx
yw(x, t) = 2A cos cos
2 2
i ostatecznie
yw(x, t) = 2A cos (Ét) cos (-kx ) = [ 2A cos(kx) ] cos(Ét) (20)
Wyrażenie w nawiasie kwadratowym równania (20)
A (x) = 2A cos(kx)
zależy wyłącznie od położenia (x) a nie od czasu (t)! Jest to więc amplituda drgań wypadkowych, zależna od
położenia. Wychylenie w dowolnym punkcie x można więc opisać równaniem
yw(x, t) = A (x) cos(Ét)
Amplituda A (x) może, na przykład, w niektórych punktach być zawsze równa zero
A (x) = 0 = 2A cos(kx)
Jest tak dla punktów o współrzednych spełniających warunek
Ä„
kxN = (2N + 1) (21)
2
gdzie N jest liczbÄ… naturalnÄ….
Ponieważ z (9) wiemy, że
2Ä„
k =

więc wykorzystując powyższą zależność w równaniu (21) otrzymamy że amplituda drgań będzie równa zero w
miejscach, których współrzędne xN spełniają zależność
2Ä„ Ä„
xN = (2N + 1)
 2
czyli

xN = (2N + 1) (22)
4
Odległość między dwoma kolejnymi (N, N + 1) takimi punktami, zgodnie z (22), wynosi
  
xN+1 - xN = [2(N + 1) + 1] - (2N + 1) = (23)
4 4 2
Interpretacja na wykładzie
dopisz oznaczenia!
3 FALA STOJ
CA 6
3.1 Fale stojÄ…ce na strunie
Prędkość fali poprzecznej na strunie wynosi

F
c = (24)
µ

gdzie F - siÅ‚a naprężajÄ…ca strunÄ™, µ - gÄ™stość liniowa struny kgm-1
Częstość drgań struny, w której rozchodzi się taka fala poprzeczna wynosi

1 1 c 1 F

f = = = = (25)

T   µ
c
W przypadku gitary:
" F regulujemy przez.....
" µ regulujemy przez.....
Fale stojące na strunie muszą mieć węzły na końcach. W takim razie, zgodnie z (23), podstawowa (najdłuższa)
fala stojąca jaka może powstać na strunie o długości L ma długość

L = Ò!  = 2L (26)
2
zaś częstotliwość drgań takiej struny, na podstawie (25) i (26), wynosi

1 F 1 F
f1 = = (27)
 µ 2L µ
Możliwe są też inne (krótsze) fale stojące, spełniające warunek
 2L
L = N Ò!  =
2 N
gdzie N jest liczbÄ… naturalnÄ….
Odpowiadające im częstotliwości drgań struny fN wynoszą

1 F N F
fN = = (28)
 µ 2L µ
3.2 Fale stojÄ…ce na wodzie
Prędkość fali na wodzie wynosi


g 2Ä„H
c = tgh (29)
2Ä„ 
pod warunkiem, że wysokość fali H = 2A spełnia zależność H 
Wzór (29) trochę się upraszcza w szczególnych przypadkach:
"  Głęboka woda (głębokość > /2 )

g
c =
2Ä„
"  Płytka woda (glębokość < /20 )

c = gh
3 FALA STOJ
CA 7
3.2.1 Sejsze
Dopisz oznaczenia i komentarz na wykładzie
3.2.2 Fala stojąca a przypływy.
Dopisz oznaczenia i komentarz na wykładzie
3.2.3 Tsunami
Model zjawiska
" długość wzniesienia l = 6 km
" głębokość (daleko od brzegu) h = 1058
" nachylenie wzniesienia Ä… = arctg (h/l) = 10, 26o
" czÄ™stość drgaÅ„ É = 0, 54 Hz
" amplituda poczÄ…tkowa a = 1 m
"
" prędkość fali c = gh = 367 km/godz
2Ä„
" długość fali  = c = 1185 km
É
Wynik
" amplituda w pobliżu brzegu H(x) wynosi


x
J0 2É
Ä…g
H(x) = a
l
J0 2É
Ä…g
4 PR
DKOŚĆ GRUPOWA 8
4 Prędkość grupowa
W jednym kierunku podążają dwie fale, różniące się nieznacznie częstością (i liczbą falową)
y1(x, t) = A cos(É1t - k1x)
y2(x, t) = A cos(É2t - k2x)
W dowolnym punkcie x na drodze fal, wychylenie wypadkowe yw w chwili t wynosi
yw(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) = A cos(É1t - k1x) + A cos(É2t - k2x)

É1t - k1x + É2t - k2x É1t - k1x - É2t + k2x
yw(x, t) = 2A cos cos
2 2

É1 + É2 k1 + k2 É1 - É2 k1 - k2
yw(x, t) = 2A cos t - x cos t - x
2 2 2 2
Uwaga! zmieniamy kolejność wyrażeń.

"É "k
yw(x, t) = 2A cos t - x cos (Ésr t - ksr x) (30)
2 2
Poniżej, graficzna prezentacja wyniku
4 PR
DKOŚĆ GRUPOWA 9
Liczymy prędkość grupy w podobny sposób jak liczyliśmy prędkość przemieszczania się fazy. Wybieramy mak-
simum grupy:

"É "k
2A cos t - xg = 2A
2 2
Wtedy
"É "k
t - xg = 0
2 2
i ostatecznie
"É
xg = t (31)
"k
Równanie (31) pokazuje, że prędkość grupy vgrupy wynosi
"É
vgrupy =
"k
Kiedy grupa składa się z większej ilości fal, obraz ulega zmianie
Kiedy użyjemy nieskończenie wielu fal o liczbach falowych z pewnego zakresu
"k "k
k0 - < k < k0 +
2 2
otrzymamy pojedynczÄ… paczkÄ™ falowÄ…
Ogólny wzór na prędkość grupową ma postać
dÉ
vgrupy =
dk