Wykład 7"
Fizyka I (Informatyka 2005/06)
22 11 2005
Spis treści
1 Ruch drgajÄ…cy. Dlaczego tylko harmoniczny? 1
2 Drgania harmoniczne proste 2
2.1 Zależność między wychyleniem, prędkością i przyspieszeniem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 DEFINICJE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Energia ruchu drgającego (przypadek sprężyny) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4 Przedstawienie drgań przy pomocy liczb zespolonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.5 Drgania harmoniczne proste w przestrzeni fazowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Drgania harmoniczne tłumione 5
3.1 Założenia modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Rozwiązanie równania dla drgań tłumionych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3 Dyskusja możliwych postaci rozwiązania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2
²
2
3.3.1 Przypadek 1; Éo - > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2m
2
²
2
3.3.2 Przypadek 2; Éo - = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2m
2
²
2
3.3.3 Przypadek 3; Éo - < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2m
3.4 Energia oscylatora tłumionego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.4.1 Szybkość zmian energii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.5 Dobroć oscylatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.6 Dekrement logarytmiczny tłumienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 Drgania harmoniczne wymuszone z tłumieniem 9
UWAGA! Większość rysunków wymaga własnorecznego dopisania oznaczeń!
1 Ruch drgajÄ…cy. Dlaczego tylko harmoniczny?
To drganie z pewnością nie jest harmoniczne
"
©Mariusz KrasiÅ„ski 2005
1
2 DRGANIA HARMONICZNE PROSTE 2
Ale oto przepis matematyczny jak rozłożyć takie drganie na drgania harmoniczne

"

1 1 1
y = A sin x + sin 3x + sin 5x + ... = A sin [(2N + 1)x]
3 5 2N + 1
N=0
Poniżej widmo powyższego drgania
2 Drgania harmoniczne proste
2.1 Zależność między wychyleniem, prędkością i przyspieszeniem
Drgania harmoniczne (obiektu) to drgania, w których wychylenie obiektu spełnia zależność
x = A cos(Ét + Ć)
(może być także sinus)
Prędkość obiektu wynosi wtedy
dx
= v = -AÉ sin(Ét + Ć)
dt
a przyspieszenie

d2x d dx d
= a = = (-AÉ sin(Ét + Ć)) = -AÉ2 cos(Ét + Ć) = -É2x
dt dt dt
dt2
Z ostatniego równania wynika, że w ruchu harmonicznym musi być spełniona zależność
d2x
= -É2x (1)
dt2
albo po pomnożeniu obu stron przez masę drgającego ciała m
d2x
m = F = -mÉ2x
dt2
Tak więc aby ciało drgało harmonicznie, siła działająca na nie musi być proporcjonalna do wychylenia lecz
przeciwnie do niego (wychylenia) skierowana.
Rysunek poniżej przedstawia porównanie czasowego przebiegu wychylenia, prędkości i przyspieszenia ciała drga-
jÄ…cego ruchem harmonicznym prostym
2 DRGANIA HARMONICZNE PROSTE 3
Zauważ, że wykresy są względem sibie przesunięte!
Drgania ciała na sprężynie jako przykład drgań harmonicznych prostych
W przypadku rozciągania lub ściskania sprężyny, siła sprężystości ma postać
F = -kx
Wychylenie musi więc spełniać równanie
d2x d2x k
m = - kx czyli = - x
dt2 dt2 m
Na podstawie równania (1) otrzymamy
k
É2 =
m
czyli zależność wychylenia od czasu ma ostateczną postać

k
x = A cos t + Ć
m
Generalnie równanie ruchu dla ciała o masie m drgającego ruchem harmonicznym prostym ma postać
d2x
m = -kx
dt2
gdzie k nie musi być współczynnikiem sprężystości, ale może wynikać z innych własności układu wykonującego
drgania.
2.2 DEFINICJE

k
" t + Ć = Ét + Ć nazywamy FAZ
drgania
m
" Ć jest fazą początkową (czyli taką fazą, która występuje dla t=0 !)

k
" É = jest czÄ™stoÅ›ciÄ… drgania (czasem zwana czÄ™stoÅ›ciÄ… kÄ…towÄ… lub koÅ‚owÄ…)
m
" Okres drgań T to taki najmniejszy czas, po którym wychylenie (uwzględniając kierunek ruchu) jest takie
samo jak na poczÄ…tku (obserwacji) x(t) = x(t + T )
2Ä„
" czÄ™stość i okres powiÄ…zane sÄ… zależnoÅ›ciÄ… É =
T
1
" wielkość f = nazywamy częstotliwością
T
2 DRGANIA HARMONICZNE PROSTE 4
2.3 Energia ruchu drgającego (przypadek sprężyny)

mv2 kx2 m k
E = + = A2É2 sin2(Ét + Ć) + A2 cos2(Ét + Ć) (2)
2 2 2 2
Ponieważ w ruchu harmonicznym prostym

k
É =
m
to
k = mÉ2
Wykorzystując powyższą zależność w równaniu (2) otrzymamy, że energia całkowita układu drgającego zależy
od amplitudy A i stałej sprężystości k


k k kA2 kA2
E = A2 sin2(Ét + Ć) + A2 cos2(Ét + Ć) = sin2(Ét + Ć) + cos2(Ét + Ć) = (3)
2 2 2 2
2.4 Przedstawienie drgań przy pomocy liczb zespolonych
Ogólna postać liczby zespolonej
z = X + iY
gdzie

i = (-1)
Trygonometryczna postać liczby zespolonej
z = R[cos(Ć) + i sin(Ć)]
Wykładnicza postać liczby zespolonej
z = ReiĆ = R[cos(Ć) + i sin(Ć)]
Liczba zespolona sprzężona
" z* = Re-iĆ = R[cos(Ć) - i sin(Ć)]
" |z|2 = zz* = R2
* *
" (z1 Ä… z2)* = z1 Ä… z2
* *
" (z1z2)* = z1z2
3 DRGANIA HARMONICZNE TA
UMIONE 5
Drganie harmoniczne można więc przedstawić w postaci:
x = Aei(Ét+Ć)
Podobnie jak na początku (sekcja 2.1) wyliczmy, korzystając z zapisu wykorzystującego liczby zespolone, pręd-
kość i przyspieszenie w ruchu harmonicznym
dx
= v = -AÉei(Ét+Ć)
dt


d2x d dx d
= a = = -AÉei(Ét+Ć) = -AÉ2ei(Ét+Ć) = -É2x
dt dt dt
dt2
Otrzymaliśmy więc identyczną jak poprzednio zależność pomiędzy przyspieszeniem i wychyleniem ciała drgają-
cego ruchem harmonicznym prostym
d2x
= -É2x
dt2
2.5 Drgania harmoniczne proste w przestrzeni fazowej
dopisz komentarze na wykładzie
3 Drgania harmoniczne tłumione
3.1 Założenia modelu
Rozpatrzymy jedynie przypadek gdy siła oporu (tłumienia) jest proporcjonalna do prędkości

Fop = -² (4)
v
(!! Kiedy wolno tak napisać?)
Równanie ruchu drgającego z tłumieniem przyjmie wtedy postać
d2x
m = -kx - ²v
dt2
czyli
d2x ² dx k
+ + x = 0 (5)
dt2 m dt m
a po wprowadzeniu oznaczenia
3 DRGANIA HARMONICZNE TA
UMIONE 6
k
= Éo2
m
(dlaczego tak ?)
otrzymujemy
d2x ² dx
2
+ + Éox = 0 (6)
m dt
dt2
3.2 Rozwiązanie równania dla drgań tłumionych
Postulujemy, że rozwiązanie równania (6) ma postać
x = BeiÉt (7)
Odpowiednie pochodne wyrażenia (7) wynoszą
dx
= BiÉeiÉt = iÉx (8)
dt

d2x d dx
= = (iÉ)2BeiÉt = -É2x (9)
dt dt
dt2
Podstawiając (8) i (9) do równania (6) otrzymujemy
²
-É2x + iÉx + Éo2x = 0
m
czyli
i²
É2 - É - Éo2 = 0 (10)
m
Równanie (10) jest zwykÅ‚ym równaniem kwadratowym, z którego moża wyliczyć É
 Delta dla tego równania wynosi
2 2
i² ²
2 2
" = + 4Éo = 4Éo -
m m
a rozwiązania równania (10) mają postać

2

² ²
2
2
i Ä… 4Éo -
m m
² ²
2
É = = i Ä… Éo - (11)
2 2m 2m
3.3 Dyskusja możliwych postaci rozwiązania
2
²
2
3.3.1 Przypadek 1; Éo - > 0
2m
OznaczajÄ…c

2
²
2
É = Éo - > 0
2m
i podstawiając wynik (11) do równania (7) otrzymujemy
² ² ²
2m 2m 2m
x = Aei( i"É )t = Ae- teÄ…iÉ t = Ae- t[cos(É t) Ä… i sin(É t)]
Część rzeczywista x (niezależnie od znaku w wykładniku) ma postać
3 DRGANIA HARMONICZNE TA
UMIONE 7

2
² ²
²
2
2m 2m
x = Ae- t cos(É t) = Ae- t cos( Éo - t) (12)
2m
Wykres zależności (12) przedstawiono poniżej
Drgania harmoniczne tłumione w przestrzeni fazowej
2
²
2
3.3.2 Przypadek 2; Éo - = 0
2m
Rozwiązanie równania (6) ma wtedy postać (aby zrozumieć postać tego rozwiązania trzeba wiedzieć trochę więcej
o równaniach różniczkowych)

² ²
b b
2m 2m
x = A + Bi i t ei( i)t = A - B t e- t (13)
2m 2m
i przedstawia ruch aperiodyczny. Tłumienie odpowiadające warunkowi powyżej nazywamy tłumieniem krytycz-
nym
2
²
2
3.3.3 Przypadek 3; Éo - < 0
2m
Ponieważ wyrażenie
2
²
2
Éo - < 0
2m
jest ujemne więc możemy je przekształcić w następujący sposób


2 2 " 2

² ²
-1 ²
2 2 2
Éo - = - Éo = -1 - Éo = iÉ (14)
2m 2m 2m
gdzie
2
²
2
É = - Éo
2m
jest wielkością dodatnią.
PodstawiajÄ…c (14) do (7) otrzymujemy
² ²
2m 2m
x = Aei( i"iÉ )t = Ae- teÄ…É t (15)
3 DRGANIA HARMONICZNE TA
UMIONE 8
i to także nie jest równanie ruchu periodycznego (dyskusja wykład). Układ, którego zachowanie może być
opisane równaniem (15) nazywamy układem przetłumionym.
Rysunek poniżej przedstawia na jednym wykresie zachowanie układu tłumionego, układu z tłumieniem krytycz-
nym oraz układu przetłumionego.
dodaj opisy samodzielnie!
Sposób w jaki drga ukÅ‚ad tÅ‚umiony, w zależnoÅ›ci od wielkoÅ›ci tÅ‚umienia ², można przedstawić na trójwymiaro-
wym wykresie
W dalszym ciÄ…gu zajmiemy siÄ™ tylko przypadkiem 1 czyli ruchem drgajÄ…cym (periodycznym)
3.4 Energia oscylatora tłumionego
Korzystając z równania (3) na energię oscylatora harmonicznego oraz z postaci zależności wyhylenia od czasu
dla ruchu tÅ‚umionego w przypadku maÅ‚ego ² (12) możemy zapisać, że caÅ‚kowita energia oscylatora tÅ‚umionego
wynosi
2 1
² ²
1 1 1 t
2m m Ä
E = k(Amplituda)2 = k Ae- t = kA2e- t = kA2e- (16)
2 2 2 2
m
gdzie Ä = jest czasem relaksacji
²
3.4.1 Szybkość zmian energii
Na podstawie równania (16) możemy obliczyć szybkość zmian energii w ruchu harmonicznym tłumionym.

dE d 1 t 1 1 t 1
Ä Ä
= kA2e- = kA2 - e- = - E (17)
dt dt 2 2 Ä Ä
3.5 Dobroć oscylatora
Dobrocią oscylatora nazywamy wielkość zdefiniowaną jako
energia zmagazynowana
Q = 2Ä„
energia tracona w jednym okresie
4 DRGANIA HARMONICZNE WYMUSZONE Z TA
UMIENIEM 9
Biorąc pod uwagę definicję dobroci oraz zależność (17) możemy zapisać
E E 2Ä„

Q = 2Ä„ = 2Ä„ = Ä = É Ä
dE 1

T ET T
dt Ä
3.6 Dekrement logarytmiczny tłumienia
Dekrementem logarytmicznym tłumienia nazywamy wielkość będącą logarytmem stosunku amplitudy wystę-
pującej w dowolnej chwili t podczas drgania tłumionego do amplitudy w chwili t + T . Wielkość ta wynosi
więc

²

t
²
An Ae- 2m
²
T
2m
› = ln = ln = ln e = T
²
(t+T )
An+1 2m
Ae- 2m
i jest niezależna od czasu.
4 Drgania harmoniczne wymuszone z tłumieniem
Rozpatrzymy najprostszy przypadek gdy siła wymuszająca jest harmoniczna czyli ma postać
F = F0 cos(Ét)
lub stosujÄ…c zapis przy pomocy liczb zespolonych
F = F0eiÉt
Równanie ruchu będzie miało wtedy postać:
d2x dx
m + b + kx = F0eiÉt (18)
dt2 dt
Postulujemy rozwiÄ…zanie postaci:
x = BeiÉt (19)
(dlaczego?)
Licząc podobnie jak w przypadku ruchu tłumionego odpowiednie pochodne położenia (zależność (19)) otrzy-
mamy:
dx
= BiÉeiÉt = iÉx (20)
dt

d2x d dx
= = (iÉ)2BeiÉt = -É2x (21)
dt2 dt dt
Po podstawieniu zależności (20) i (21) do równania głównego (18) otrzymamy:
x
-mÉ2x + biÉx + kx = F0
B
a stÄ…d
F0 F0
B = = (22)
k
m(É02 - É2) + iÉb
m - É2 + iÉb
m
Mianownik zależności (22) jest liczbą zespoloną i ma postać X + iY . Można go więc zapisać w inny sposób
(zobacz rozdzial 2.4) jako


2
mianownik = X2 + Y eiĆ = m2(É02 - É2)2 + É2b2 eiĆ (23)
4 DRGANIA HARMONICZNE WYMUSZONE Z TA
UMIENIEM 10
Y
gdzie tgĆ = (zobacz rysunek w części dotyczącej liczb zespolonych (2.4) )
X
Korzystając z zależności (23) możemy równanie (22) przepisać w postaci:
F0
B = (24)
m2(É02 - É2)2 + É2b2 eiĆ
Podstawiając B wyliczone z równania (24) do ogólnej postaci rozwiązania (19) otrzymamy ostateczne
F0 F0
x = BeiÉt = e-iĆeiÉt = ei(Ét-Ć) (25)
m2(É02 - É2)2 + É2b2 m2(É02 - É2)2 + É2b2
Amplituda drgań przedstawionych przy pomocy równania (25) będzie największa gdy wyrażenie pod pierwiast-
kiem będzie najmniejsze. A
atwo policzyć, że nastąpi to dla częstotliwości (rezonansowej) drgań spełniającej
zależność
b2
2 2
Érez = É0 -
2m2
W przypadku małego tłumienia (b) otrzymamy
Érez2 H" É02
Amplituda drgań będzie wynosić wtedy
F0
(Amplituda)max =
Éb
Wielkość ta może przyjmować bardzo duże wartości, często niemożliwe z uwagi na ograniczoną wytrzymałość
obiektu drgajÄ…cego.
(dopisz oznaczenia na wykładzie)
Porównując wzory dla siły wymuszającej i wychylenia
F = F0eiÉt
x = x0ei(Ét-Ć)
zauważyć można, iż drgania układu są przesunięte w fazie względem siły wymuszającej o Ć
Éb
tgĆ =
m(É02 - É2)
4 DRGANIA HARMONICZNE WYMUSZONE Z TA
UMIENIEM 11
Ruch wymuszony na wykresie fazowym