Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
Wykład FIZYKA I
10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej
http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
DRGANIA TA
UMIONE (GASN
CE)
�� Siły oporu (tarcia) są zwykle proporcjonalne do prędkości ciała*:
r�
r�
dx
r�
Foporu =� -�rv =� -�r
dt
�� Oscylator mechaniczny w obecności sił tarcia (tłumienie):
ma =� -�rv -� kx
dI q
L +� RI +� =� 0
�� Obwód RLC (opór R odpowiada za tłumienie):
dt C
* A przedtem było (patrz wykład 3.), że do kwadratu prędkości! Nieoduczeni ci
wykładowcy, albo kłamią na wykładach&
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
DRGANIA TA
UMIONE (GASN
CE)
�� Ogólne równanie drgań tłumionych (straty energii na oporze
ośrodka, proporcjonalne do pierwszej pochodnej zmiany położenia,
czyli prędkości):
2
&�&� &�
x +� 2b�x +� w�0 x =� 0
k
r
Dla oscylatora mechanicznego:
w�0 =�
b� =�
m
2m
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
DRGANIA TA
UMIONE (GASN
CE)
�� Ogólne rozwiązanie w postaci kombinacji liniowej rozwiązań
szczególnych:
x(�t)� =� N1x1(�t)�+� N2x2(�t)�
gdzie:
2 2
)�
x1,2(�t)�=� A1,2 exp[�(�-� b� ą� b� -�w�0 ��t]�
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
DRGANIA TA
UMIONE (GASN
CE)
2 2
)�
x1,2(�t)�=� A1,2 exp[�(�-� b� ą� b� -�w�0 ��t]�
Rodzaje rozwiązań:
2 2
1) dla b� >� w�0 oba pierwiastki są
rzeczywiste i ujemne, więc
rozwiązaniem jest aperiodyczne,
wykładnicze malenie x od A do zera;
2 2
2) dla występuje tzw. tłumienie krytyczne  jest to
b� =� w�0
minimalna wartość tłumienia, przy której ruch jest aperiodyczny;
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
DRGANIA TA
UMIONE (GASN
CE)
2 2
x1,2(�t)�=� A1,2 exp[�(�-� b� ą� b� -�w�0 )���t]�
Rodzaje rozwiązań:
2 2
3) dla mamy drgania gasnące  oscylacje o
b� <� w�0
zanikającej amplitudzie:
x1,2 =� A0 exp(�-� b�t)�exp(�ą� iw�t)�
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
DRGANIA TA
UMIONE (GASN
CE)
�� Ograniczając się do jednego rozwiązania (znak  plus przy fazie) i
pisząc rozwiązanie w postaci funkcji harmonicznej:
x(�t)� =� A0 exp(�-� b�t)�sin(�w�t +�j�0)�
A(�t)� =� A0 exp(�-� b�t)� nazywamy amplitudą drgań gasnących;
r
b� =�
to współczynnik tłumienia;
2m
2 2
to częstość własna drgań układu tłumionego;
w� =� w�0 -� b�
k
w�0 =� to częstość drgań swobodnych układu;
m
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
DRGANIA TA
UMIONE (GASN
CE)
x(�t)� =� A0 exp(�-� b�t)�sin(�w�t +�j�0)�
�� Drgania gasnące są drganiami nieokreślonymi  nigdy nie powtarzają się
największe wartości wychylenia, prędkości, przyspieszenia. Dlatego tylko
umownie można nazwać częstością kątową  w tym sensie, że wskazuje
w�
p�
ona, ile razy w ciągu sekund drgający układ przechodzi przez położenie
równowagi!
2p� 2p�
T =� =�
�� Podobnie:
2 2
w�
w�0 -� b�
nazwiemy umownym okresem drgań gasnących.
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
DRGANIA TA
UMIONE (GASN
CE)
r
�� Współczynnik tłumienia b� =� : mówi nam o stosunku kolejnych
2m
amplitud drgań gasnących:
An
=� exp(�b�T )�
An+�1
�� Logarytm naturalny stosunku amplitud dwóch kolejnych wychyleń,
T
następujących po sobie w odstępie czasu (umownego okresu)
d�
nazywamy logarytmicznym dekrementem tłumienia :
An
d� =� ln =� b�T
An+�1
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
DRGANIA TA
UMIONE (GASN
CE)
�� Oznaczmy przez t� odstęp czasu, w ciągu którego amplituda drgań
e
zmniejszy się -krotnie. Wtedy:
albo:
b� =�1 t�
b�t� =�1
czyli: współczynnik tłumienia jest wielkością fizyczną równą
b�
t�
odwrotności odstępu czasu , w ciągu którego amplituda zmniejsza
e t�
się -razy. Czas nazywamy czasem relaksacji.
�� Podobnie: gdy przez oznaczymy liczbę drgań, po wykonaniu
N
których amplituda zmaleje e -razy, okaże się, że:
1
d� =�
N
czyli: dekrement logarytmiczny tłumienia jest wielkością równą
d�
odwrotności liczby drgań, po upływie których amplituda zmniejszy
e
się -razy.
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
DRGANIA WYMUSZONE
�� Oprócz siły sprężystej i siły oporu, działamy na układ dodatkową siłą
F
 okresową siłą wymuszającą :
F(�t)� =� F0 cos(�w�t)�
�� Ogólne równanie ruchu oscylatora mechanicznego przybiera
wtedy postać:
2
d x dx
m +� r +� kx =� F0 cos(�w�t)�
dt2 dt
Jest to równanie różniczkowe niejednorodne.
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
DRGANIA WYMUSZONE
2
d x dx
m +� r +� kx =� F0 cos(�w�t)�
dt2 dt
�� Spodziewamy się rozwiązania powyższego równania różniczkowego
w�
w postaci drgania harmonicznego z częstością , równą częstości
siły wymuszającej , ale amplituda tych drgań powinna  zawierać
F
informacje o masie m, tłumieniub� i wielkości siły wymuszającej a
F0
także częstości własnej układu :
w�0
x(�t)� =� Asin(�w�t +�j�0)�
b� ?
w�0
m
b�
F0
w�0 ?
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
DRGANIA WYMUSZONE
F0
�� Można pokazać, że:
A =�
2
2 2
m (�w�0 -�w�2)� +� 4b� w�2
Amplituda A ustalonych drgań wymuszonych jest wprost
proporcjonalna do amplitudy siły wymuszającej F0 i odwrotnie
proporcjonalna do masy m układu oraz zmniejsza się wraz ze
wzrostem współczynnika tłumienia b� .
��  Faza początkowa ma teraz sens różnicy faz między amplitudą
drgań wymuszonych A i amplitudą siły wymuszającej F0 (ściślej:
ponieważ użyliśmy funkcji  cosinus do opisu siły wymuszającej i
funkcji  sinus do opisu drgania x(t), to szukaną różnicą faz będzie:
2b�w�
a� =� j�0 -�p� 2
tana� =� -�
2
w�0 -�w�2
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
DRGANIA WYMUSZONE
�� Analizując wyrażenie na amplitudę drgań wymuszonych:
F0
A =�
2
2 2
m (�w�0 -�w�2)� +� 4b� w�2
możemy zauważyć, że w przypadku braku tłumienia (b�=0), gdy
częstość w� siły wymuszającej F równa jest częstości drgań
własnych układu w�0, amplituda ta rośnie do nieskończoności!
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
DRGANIA WYMUSZONE
�� Natomiast w obecności tłumienia b� ą� 0 , maksimum wyrażenia na
amplitudę A uzyskamy dla:
2 2
w� =� w�0 -� 2b�
Zjawisko to nazywamy
rezonansem.
Ale co to jest rezonans?
Niedobry wykładowca nie podał
definicji, żeby ją na ściądze
zapisać&
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
DRGANIA WYMUSZONE
�� Przykład obwodu elektrycznego: siła elektromotoryczna,
wymuszająca drgania, jest równa:
E(�t)� =� E�0 exp(�iw�t)�
Wtedy: równanie opisujące ruch ładunku elektrycznego w obwodzie
(= prąd elektryczny!):
2
d q dq q
L +� R +� =� E�0 exp(�iw�t)�
dt2 dt C
Rozwiązanie ogólne w postaci:
q =� q0 exp[�i(�w�t +�j�)�]�
gdzie:
E�0
q0 =�
w�R / L
2
tgj� =� -�
2
2 2
ć�w� R ��
2
w�0 -�w�
L (�w�0 -�w�2)� +�
�� ��
L
Ł� ł�