9 Ruch drgajacy A


Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
Wykład FIZYKA I
9. Ruch drgający swobodny
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej
http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
RUCH DRGAJCY
Drganie (ruch drgający)  ruch (lub zmiana stanu), który
charakteryzuje się powtarzalnością w czasie wielkości fizycznych,
określających ten ruch lub stan (np. położenie, prędkość).
Drganie okresowe (periodyczne)  powtarzanie zachodzi zawsze
po tym samym czasie T, zwanym okresem.
Drganie okresowe harmoniczne  położenie ciała opisuje funkcja
sinus (bądz kosinus):
x(t) = Asin(wt +j)
W ruchu harmonicznym:
v(t) = Aw cos(wt +j)
Prędkość:
Przyspieszenie:
a(t) = -Aw2 sin(wt +j) = -w2x(t)
są również funkcjami harmonicznymi!
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
DRGANIA HARMONICZNE
2
Przypomnienie:
d x F
a =
Druga zasada dynamiki Newtona:
dt2 m
r
r
Ruch harmoniczny to taki, dla którego:
F = -kx
Siła jest proporcjonalna do wychylenia i przeciwnie do niego
skierowana (prawo Hooke a). (F - siła harmoniczna)
Ogólne równanie różniczkowe drgań harmonicznych:
2
d x(t)
2
x(t) = -w x(t)
&&
dt2
Wykładniczy sposób zapisu drgań harmonicznych:
x(t) = Aexp[i(wt +j)]
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
DRGANIA HARMONICZNE
Wielkości opisujące ruch harmoniczny prosty (drgania
harmoniczne):
x(t) = Asin(wt +j)
- jest amplitudą drgań (maksymalną zmianą względem
A
położenia równowagi);
- (wt +j)
to faza drgań (mierzona w radianach bądz stopniach);
2p
w =
- to częstość kołowa (pulsacja) (w radianach na sekundę);
T
- j to faza początkowa.
1 w
f =
- Częstotliwość drgań: (Hz  herc)
T 2p
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
DRGANIA HARMONICZNE - PRZYKAADY
Wahadło matematyczne:
Punkt materialny, zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici;
gt = -g sin j
s = lj
2 2
d s d j
= l = -g sin j -gj
dt2 dt2
l
T = 2p
Okres drgań:
g
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
DRGANIA HARMONICZNE - PRZYKAADY
Wahadło fizyczne:
Ciało doskonale sztywne, które pod działaniem własnego ciężaru
waha się dookoła osi poziomej, nie przechodzącej przez środek
ciężkości ciała;
Okres drgań:
I
T = 2p
mgL
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
DRGANIA HARMONICZNE - PRZYKAADY
r
x
Sprężyna:
r
F
r
r
Prawo Hooke a:
F = -kx
2
d x k
Równanie ruchu:
= - x(t)
dt2 m
k
Okres drgań:
T = 2p
m
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
DRGANIA HARMONICZNE - PRZYKAADY
Obwód LC:
dq
q dI
UC +UL = 0
+ L = 0
I =
C dt
dt
2
d q 1
+ q = 0
dt2 LC
Okres drgań:
T = 2p LC
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
SKAADANIE DRGAC HARMONICZNYCH
Zasada superpozycji: Jeżeli ciało podlega jednocześnie dwóm
drganiom, to jego wychylenie jest sumą wychyleń, wynikających z
każdego ruchu.
Składanie drgań harmonicznych, odbywających się wzdłuż jednej
prostej:
1) przypadek dwóch ruchów harmonicznych, odbywających się z
jednakową częstością :
w
x1 = A1 cos(wt +j1) x2 = A2 cos(wt +j2)
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
SKAADANIE DRGAC HARMONICZNYCH
Wypadkowa jest drganiem z tą samą częstością!
xw = x1 + x2 = Aw cos(wt +jw)
gdzie:
2 2 2
Aw = A1 + A2 + 2A1A2 cos(j2 -j1)
amplituda
A1 sinj1 + A2 sinj2
tgjw = faza
A1 cosj1 + A2 cosj2
Amplituda drgania wypadkowego zależy od różnicy początkowych
faz drgań składowych. Jeśli ta różnica nie zmienia się z
(j2 -j1)
upływem czasu, to takie drgania synchroniczne nazywamy
koherentnymi.
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
SKAADANIE DRGAC HARMONICZNYCH
2 2 2
Aw = A1 + A2 + 2A1A2 cos(j2 -j1)
Przypadki szczególne:
" Różnica faz drgań składowych równa się zeru albo całkowitej
wielokrotności 2p:
j2 -j1 = k 2p
k = 0,1,2,...
Maksymalna amplituda drgań jest
sumą amplitud drgań składowych.
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
SKAADANIE DRGAC HARMONICZNYCH
2 2 2
Aw = A1 + A2 + 2A1A2 cos(j2 -j1)
Przypadki szczególne:
" Różnica faz drgań składowych równa się nieparzystej
wielokrotności p:
j2 -j1 = k (2p +1)
k = 0,1,2,...
Maksymalna amplituda drgań jest
różnicą amplitud drgań
składowych.
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
SKAADANIE DRGAC HARMONICZNYCH
Przypadek dwóch ruchów harmonicznych, odbywających się z różną
częstotliwością: wypadkowa jest prostym drganiem harmonicznym
tylko wtedy, gdy stosunek obu częstotliwości można wyrazić liczbą
wymierną.
Przypadek dwóch ruchów harmonicznych (o jednakowej
amplitudzie), których częstości różnią się nieznacznie: dudnienia:
xw = Acos(wt)+ Acos((w + Dw)t)
Dw
cos
2Acosć t (wt)

2
Ł ł
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
SKAADANIE DRGAC HARMONICZNYCH
(j2(t)-j1(t))
Jeśli różnica faz drgań składowych zmienia się z
upływem czasu w sposób dowolny, to amplituda drgań wypadkowych
zmienia się z upływem czasu i nie ma sensu w ogóle mówić o
składaniu amplitud. Jest to tzw. niekoherentne składanie drgań.
Drgania typu:
x(t) = A(t)cos[wt +j(t)]
nazywamy modulowanymi.
j(t)
A = const
1) modulowana faza (częstość)  FM:
j = const
2) modulowana amplituda  AM:
dA dt << wAmax
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
ANALIZA HARMONICZNA
Analiza harmoniczna  to sposób na przedstawienie złożonych
drgań modulowanych w postaci szeregu prostych drgań
harmonicznych.
G. Fourier: dowolne drganie złożone można przedstawić jako sumę
prostych drgań harmonicznych o wielokrotnościach pewnej
podstawowej częstości kątowej :
w
N
x(t) = An sin(n wt +jn)

n=0
W ogólnym przypadku, liczba wyrazów w szeregu Fouriera jest
nieskończona (możemy wtedy przejść do całek zamiast sum), ale
istnieją takie drgania, dla których szeregi Fouriera nie zawierają
pewnych wyrazów.
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
SKAADANIE PROSTOPADAYCH
DRGAC HARMONICZNYCH
Załóżmy, że punkt materialny uczestniczy jednocześnie w dwóch
drganiach harmonicznych, odbywających się z jednakowymi
w
częstościami w dwóch kierunkach wzajemnie prostopadłych:
x(t) = Ax sin(wt +jx)
(
y(t) = Ay sin wt +jy )
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
SKAADANIE PROSTOPADAYCH
DRGAC HARMONICZNYCH
(
y(t) = Ay sin wt +jy )
x(t) = Ax sin(wt +jx)
1) Początkowe fazy obu drgań są jednakowe:
Można tak ustawić odczyt czasu, żeby były równe zeru:
jx = jy = 0
Ay
Dzieląc stronami: y(x) = x - linia prosta
Ax
p Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
SKAADANIE PROSTOPADAYCH
DRGAC HARMONICZNYCH
(
y(t) = Ay sin wt +jy )
x(t) = Ax sin(wt +jx)
p
2) Początkowa różnica faz obu drgań jest równa :
jx -jy = p
Ay
Dzieląc stronami: - linia prosta
y(x) = - x
Ax
p Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
SKAADANIE PROSTOPADAYCH
DRGAC HARMONICZNYCH
(
y(t) = Ay sin wt +jy )
x(t) = Ax sin(wt +jx)
3) Początkowa różnica faz obu drgań jest równap 2 :
Wtedy: x(t) = Ax cos(wt)
y(t) = Ay sin(wt)
x2 y2
I ostatecznie: - elipsa
+ = 1
2 2
Ax Ay
Punkt porusza się po tej elipsie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara;
p Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
SKAADANIE PROSTOPADAYCH
DRGAC HARMONICZNYCH
(
y(t) = Ay sin wt +jy )
x(t) = Ax sin(wt +jx)
3p 2
4) Początkowa różnica faz obu drgań jest równa :
y(t) = Ay sin(wt)
x(t)= -Ax cos(wt)
Wtedy:
x2 y2
I ostatecznie: - elipsa
+ = 1
2 2
Ax Ay
 również elipsa, ale o obiegu zgodnym z ruchem wskazówek zegara;
Dr hab. inż. Władysław Artur Wozniak
SKAADANIE PROSTOPADAYCH
DRGAC HARMONICZNYCH
Inne różnice faz
 również elipsy, ale o osiach nie pokrywających się z osiami układu
współrzędnych.
W przypadku ogólnym  dowolne częstości, amplitudy, fazy  mamy
do czynienia z tzw. figurami Lissajous.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Fizyka wykł 7,8 Ruch drgający (M Krasiński)
13 Ruch drgajacy (4)
Ruch drgający Energia
10 Ruch drgajacy Bid089
ruch drgajacy i?lowy
zadania zestaw 8 ruch drgajacy
Ruch drgający Amplituda, okres, faza
Ruch drgajacy

więcej podobnych podstron