Ruch drgajacy

RUCH DRGAJCY
1
Przykłady ruchu drgającego
ruch huśtawki drgania strun w instrumentach muzycznych ruch wahadła zegara mechanicznego
Układ wejściowy anteny radiowej AM
drgania szyb okiennych przy hałaśliwej ulicy drgania napięcia w obwodach prądu zmiennego ruch ciężarka wiszącego na sprężynie
2
OSCYLATOR HARMONICZNY
" Siła wprawiająca ciało w ruch drgający (siła quasi-sprężysta) i równanie ruchu
0
2
d x
k współczynnik sprężystości;
m = -kx
2
F = -kx(t)
dt2 d x k
+ x = 0
2
d x
0 F = ma dt2 m m masa oscylatora;
m + kx = 0
x
dt2
m
a przyspieszenie
x
" Równanie ruchu oscylatora harmonicznego prostego jest równaniem
Oscylator harmoniczny prosty
różniczkowym drugiego rzędu. Odgadnięte rozwiązanie równania posiada
x = A sin(�0t + �)
postać:
" Częstość drgań nie zależy
od amplitudy.
Oznaczenia:
" Zmiany stanu oscylatora
A amplituda drgań, �0 częstość kołowa drgań własnych oscylatora, � - faza początkowa
podlegają zasadzie
drgań, t dowolnie wybrana chwila czasu , T okres drgań
superpozycji.
2Ą
T =
�0
Rozwiązaniem równania może być również funkcja cosinus oraz kombinacja liniowa obydwu tych funkcji.
3
dx
= v = A�0 cos(�0t + �)
" Prędkość oscylatora
dt
2
d x
= a = -A�0 2 sin(�0t +�)
" Przyspieszenie oscylatora
dt2
" Z równania ruchu, do którego podstawiamy wzory na x i przyspieszenie można wyznaczyć związek
pomiędzy częstością kołową drgań własnych oscylatora a jego własnościami fizycznymi (masa,
współczynnik sprężystości)
k 2Ą
�0 = = = 2Ą�0
�0 zwykła częstość drgań (liczba powtórzeń tego
m T
samego położenia ciała w jednostce czasu).
1
�0 =
T
Zależność położenia, prędkości i
przyspieszenia w ruchu harmo-
nicznym od czasu. W momentach,
gdy wychylenie z położenia równo-
wagi jest maksymalne ,
prędkość jest równa zeru, natomiast
przyspieszenie ma wartość maksy-
malną, a znak przeciwny do wychy-
lenia.
4
ŚREDNIA ENERGIA KINETYCZNA I POTENCJALNA OSCYLATORA HARMONICZNEGO PROSTEGO
T
1
+"
" Definicja wartości średniej wielkości okresowo zmiennej q(t): < q >= q(t)dt , q(t) wartość chwilowa
T
0
Energia potencjalna
Energia kinetyczna
(praca siły sprężystości)
x
Chwilowa wartość 1 1
1
Ek (t) = mv2 = m(�0 Acos�0t)2 � = 0
, Ep = L =
+"kxdx = kx2
2 2
2
0
T T
Średnia wartość
1 1 1
1
< Ep >= Ep (t)dt = kx2 = m�0 2 A2
< Ek >= Ek (t)dt
+"
+"
T 4 4
T
0
0
Podstawiając z = �0t wykonujemy całkowanie
2Ą
1 1 1
2
2
< Ek >= m�0 2 A2
+"cos zdz = m�0 A2
2 2Ą 4
0
Średnia wartość energii kinetycznej oscylatora harmonicznego prostego jest równa
< Ek >=< Ep >
średniej wartości jego energii potencjalnej
1
E =< Ek > + < E >= m�0 2 A2 = const
Energia całkowita oscylatora i prawo zachowania energii
p
2
5
OSCYLATOR HARMONICZNY TAUMIONY (DRGANIA SWOBODNE TAUMIONE)
" Oprócz siły quasi-sprężystej na oscylator harmoniczny działa siła tarcia proporcjonalna w każdej chwili
do prędkości ciała i przeciwnie do niej skierowana
r
r
T ~ v(t)
dx
T = - fv = - f
dt
" Równanie ruchu
2 2
d x dx d x f dx k
m = -kx - f + + x = 0
Równanie różniczkowe drugiego rzędu jak rozwiązać?
2
dt dt2 m dt m
dt
Pierwszy etap rozwiązania
2
d x f dx
+ = 0
Na cząstkę działa tylko siła tarcia. Postać równania ruchu:
2
dt m dt
m
Czas relaksacji: � =
f
1
� =
Współczynnik tłumienia:
�
6
Inny sposób zapisu równania ruchu:
dx dv 1 dv dt
= v + v = 0 = -
dt dt � v �
Całkujemy równanie obustronnie dla warunków początkowych: v=v0 dla t=0
t
v t
-
dv 1
t
�
= - dt
ln v - ln v0 = -
v = v0e
Prędkość tłumiona jest ze stałą czasową �.
+" +"
v �
�
v0 0
(e = 2.7 podstawa logarytmów naturalnych)
v
vo
vo / e
0
t
�
Zmiana prędkości ciała, na które działa siła
tarcia, w funkcji czasu.
7
SPADANIE CIAAA W CIECZY LEPKIEJ
Na ciało działa siła ciężkości (mg), siła wyporu (W) i siła tarcia (T=-fv)
F = mg - W = const
W
dv f F
�łv �ł
T
= - �ł - �ł
Równanie ruchu ciała:
dt m m
�ł łł
mg
Rozwiązanie równania ruchu dla warunków początkowych: t=0, v=v0
x
t "
F �ł F �ł t
�ł
m
v = + �łv0 - �ł exp�ł -
�ł �ł � = F
�ł �ł
v vgr =
f f �
f
�ł łł
�ł łł
f
v
Ciało osiąga tę samą wartość prędkości granicznej przy dwóch różnych
vo `" 0
wartościach prędkości początkowej. Po osiągnięciu prędkości granicznej,
ciało porusza się praktycznie ruchem jednostajnym z prędkością vgr.
vgr
Energia kinetyczna ciała tłumiona jest ze stałą czasową �.
2t
vo = 0 t
(- )
t
1
(- )
1
0
�
�
Ek = mv2 = Ek 0e
Ek 0 = mv0 2
v = v0e
2 2
Inaczej z działaniem na ciało siły tarcia związane jest rozpraszanie energii ciała.
8
Drugi etap rozwiązania
2
d x 1 dx
+ + �0 2 x = 0
Na oscylator harmoniczny działa siła tarcia. Równanie ruchu ma postać:
2
dt � dt
2
Częstotliwość drgań własnych: �0 = k / m
m 1
2� = =
Stała czasowa:
f �
x = A0e-�t sin �1t
Rozwiązanie równania ruchu ( odgadnięte ):
2
dx d x
Obliczamy , podstawiamy do równania ruchu i wyznaczamy �1
dt dt2
�0 2 > �2
ruch periodyczny oscylatora tłumionego
�0 2 = �2
ruch krytyczny (oscylator nie wykonuje drgań)
�0 2 < �2 ruch aperiodyczny (nieokresowy)
9
OSCYLATOR PERIODYCZNY TAUMIONY ENERGIA UKAADU DRGAJCEGO TAUMIONEGO
Rozwiązanie równania ruchu: Energia całkowita
t
(- )
2�
t
x = A0e sin(�1t + �)
E =< Ek > + < Ep >= E0 exp(- )
�
1 2Ą
1
2
�1 = �0 2 - ( )2 = �0 2 - � T1 =
E0 = m�0 2A0 2
2� �1
2
�1 częstość drgań tłumionych
Straty energii
x
Szybkość strat energii jest równa stracie mocy
Ao
� = 0
A (t) = Ao e t/2�
dE(t) E
P(t) = - = -
układu P(t):
t
dt �
0
Współczynnik dobroci (dobroć układu)
Zmiana amplitudy oscylatora
E E E
Q = 2Ą Q = = �1 = �1�
harmonicznego tłumionego
PT1 P / �1 P
Ao
w funkcji czasu.
T1 = 2 Ą/�1
Logarytmiczny dekrement tłumienia
(do porównywania własności układów drgających tłumionych)
An A0 exp(-t / 2�) T1
� = ln = ln = = �T1
An+1 A0 exp(-t + T1) / 2� 2�
10
DRGANIA WYMUSZONE OSCYLATORA HARMONICZNEGO
F = F0 sin�t
" Na układ drgający tłumiony działa zewnętrzna siła harmoniczna:
.. .
Fo
1
k 1 f
x+ x+ �o x = sin�t
" Równanie ruchu ma postać: , (� 2 = ; = = 2� )
o
� m m � m
x = Asin(�t + �) & &&
" Szukamy rozwiązania w postaci x = ... x = ...
.
Podstawiamy do równania ruchu i otrzymujemy układ równań na A i Ć.
A
Ć - przesunięcie fazowe prędkości A - amplituda
1
Fo
względem siły wymuszającej
�
m
A =
� � 2
2
tg� =
(�o - �2 )2 + ( )2
2 2
�o - �
�
3
0
pierwiastek równania (*)
� /�o
" Rezonans (� H" �o )
�r
�r H" �o
dla
Gdy �ę!`"0, Aę! i Ć ę!
�1 < �2 < �3
2 2 2
Warunek na maksimum amplitudy: dA/d�=0 �r = �o - � �o - (1/ 2� )2 �
=
Ą
dA d Fo / m 1
� = �r
dla
2
= ( ) = 0
d� d�
�
2
3
(�o - �2 )2 + ( )2
(Fo�) / m
�
A(�r ) = Ą/2
2
�o - (1/ 2�)2
d �
2 2
[(�o - � )2 + ( )2 ] = 0
(*)
d� �
tg�=2�r�
� /�o
0 1 11
Dla małego tłumienia (�>>1/�)
" Średnia moc absorbowana przez układ (średnia " Dobroć
praca siły wymuszającej w jednostce czasu)
�o
1
Q = �o� =
"�1/ 2 = = 2�
; ;
T
"�1/ 2
�
1
< P >= F�dt
+"
T
0
"�1/ 2 - szerokość połówkowa krzywej rezonansowej
krzywa rezonansowa Lorentza
2
Fo T Fo �2 / �
< P >= �Ao +"sin�t �"cos(�t + �)dt =
Dla obwodu drgającego LC
�
T 2m
0 2
(�o -�2)2 +( )2
�
L- indukcyjność cewki
C- pojemność kondensatora

" ��
�

�o
�
Krzywa rezonansowa Lorentza
12

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Fizyka wykł 7,8 Ruch drgający (M Krasiński)
13 Ruch drgajacy (4)
Ruch drgający Energia
10 Ruch drgajacy Bid089
ruch drgajacy i?lowy
zadania zestaw 8 ruch drgajacy
Ruch drgający Amplituda, okres, faza
9 Ruch drgajacy A

więcej podobnych podstron