Wykład 6"
Fizyka I (Informatyka 2005/06)
15 11 2005
Spis treści
1 Strumień wektora 2
2 Strumień wektora przez powierzchnię zamkniętą 2
2.1 Punktowa masa, powierzchnia sferyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Dowolna powierzchnia, dowolny rozkład mas (materiał uzupełniający) . . . . . . 4
2.2.1 Etap I (dowolna powierzchnia zamknięta) . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2.2 Etap II (wiele mas i dowolna powierzchnia) . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Ogólna postać prawa Gaussa 6
3.1 Interpretacja fizyczna prawa Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.1.1 Co to jest strumień Ś ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.1.2 Co to jest dywergencja? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 Zastosowania prawa Gaussa 8
5 Dodatek - uzasadnienie ogólnej postaci prawa Gaussa. 8
5.1 Etap I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.2 Etap II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
6 Literatura 11
Prawo Gaussa
UWAGA!
Przedstawiony poniżej tekst zawiera niezbędne przekształcenia matematyczne oraz
pewną ilość komentarzy. Dotychczasowa praktyka pokazuje, że komentarze te nie
wystarczą aby zrozumieć ten tekst bez aktywnego wysłuchania wykładu.
"
©Mariusz KrasiÅ„ski 2005
1
1 STRUMIEC
WEKTORA 2
1 Strumień wektora
Punkt wyjścia
1. Pole wektorowe

2. W każdym punkcie określony jest pewien wektor C
3. Dana jest powierzchnia S (właściwie powinniśmy napisać fragment powierzchni)

Strumieniem wektora C przez powierzchnię S nazywamy wyrażenie

Åš = C · S (1)

Zauważ, że powierzchni S został przyporządkowany wektor S, który jest prostopadły do po-
wierzchni S i którego długość odpowiada polu powierzchni S. Nazwa strumień nie jest przy-
padkowa. Wyjaśnienie zostanie przedstawione na wykładzie.
2 Strumień wektora przez powierzchnię zamkniętą
Punkt wyjścia
1. Pole wektorowe

2. W każdym punkcie określony jest pewien wektor C
3. Dana jest zamknięta powierzchnia S
2 STRUMIEC
WEKTORA PRZEZ POWIERZCHNI
ZAMKNI
T
3

Strumień wektora Cprzez element powierzchni dS wynosi

dÅš = C · dS (2)
Aby otrzymać strumień przez całą powierzchnię zamkniętą S należy zsumować po całej po-
wierzchni S strumienie dŚ przez poszczególne elementy dS.


Åš = C · dS (3)
S
2.1 Punktowa masa, powierzchnia sferyczna
Założenia
1. Pojedyncza masa M
2. Powierzchnia S ma kształt sfery, w której środku jest masa M
3. Liczymy strumień natężenia pola grawitacyjnego przez całą powierzchnię S będącą sferą
o promieniu r
Obserwacje
1. Siła grawitacji (a więc i natężenie pola grawitacyjnego) jest skierowana do masy M czyli
do środka sfery
2. Natężenie jest więc skierowane zawsze prostopadle do powierzchni sfery i przeciwnie do
Å‚

wektora powierzchni dS
3. Wartość natężenia ł w każdym punkcie powierzchni sfery ma tę samą wartość (symetria
!!!)
Natężenie pola grawitacyjnego w dowolnym punkcie sfery wynosi
M
= -G
Å‚ r
r3
Strumień wektora natężenia pola grawitacyjnego przez całą powierzchnię sfery Sk jest więc
równy



M M

Åš = · dS = -G · dS = - G · dS (4)
Å‚ r r
r3 r3
Sk Sk Sk
2 STRUMIEC
WEKTORA PRZEZ POWIERZCHNI
ZAMKNI
T
4
ponieważ

· dS = rdS (5)
r
więc po podstawieniu (5) do równania (4) otrzymamy

M M M
Åš = = - G rdS = -G dS = -G (4Ä„r2) = -4Ä„GM (6)
r3 r2 r2
Sk Sk
Przeprowadziliśmy rozumowanie dla bardzo szczególnego przypadku ale okazuje się, że otrzy-
many wynik jest uniwersalny. Możemy się o tym przekonać analizując wyliczenia przedstawione
w punkcie (2.2)
2.2 Dowolna powierzchnia, dowolny rozkład mas (materiał uzupeł-
niajÄ…cy)
2.2.1 Etap I (dowolna powierzchnia zamknięta)



M M

Åš = · dS = -G · dS = - G · dS
Å‚ r r
r3 r3
S S S
teraz jednak

· dS = rdS
r

gdyż wektory i dS tworzą dowolny kąt. Mamy więc
r

· dS = r · dS cos Åš
r
Jeśli przez dS oznaczymy powierzchnię prostopadłą do wektora wodzącego to można zauważyć,
n
że
dS
n
= cos Åš
dS
wprowadzając kąt bryłowy zdefiniowany jako
dS
n
d&! =
r2
otrzymujemy

M M dS cos Åš

Åš = - G · dS = - G rdS cos Åš = -GM
r
r3 r3 r2
S S S
2 STRUMIEC
WEKTORA PRZEZ POWIERZCHNI
ZAMKNI
T
5

dSn
= - GM = -GM d&! = -GM(4Ä„)
r2
S S
a więc ostatecznie dla dowolnej powierzchni zawierającej masę


Åš = · dS = -4Ä„GM (7)
Å‚
S
Mimo, że powierzchnia nie była sferą otrzymaliśmy identyczny wynik jak w równaniu (6)
2.2.2 Etap II (wiele mas i dowolna powierzchnia)
Jeżeli mamy do czynienia z wieloma masami wytwarzającymi pole, to sumaryczne natężenie
pola jest sumą natężeń pochodzących od poszczególnych mas
Strumień przez powierzchnię S wynosi wtedy



n n n n


Åš = ·dS = ·dS = Å‚i · dS = (-4Ä„GMi) = -4Ä„G Mi = -4Ä„GM
Å‚ Å‚i
S S S
i=1 i=1 i=1 i=1
Jeśli pole wytwarzane jest przez ciągły rozkład masy wtedy można zapisać


Åš = · dS = -4Ä„GM = -4Ä„G ÁdV (8)
Å‚
S V
gdzie Á jest gÄ™stoÅ›ciÄ….
Czytaj powyższe rownanie tak:
Strumień Ś natężenia pola grawitacyjnego zsumowany (zcałkowany) dla całej za-
Å‚
mkniętej powierzchni S jest proporcjonalny do masy M zamkniętej wewnątrz tej
powierzchni S. Współczynnik proporcjonalności to oczywiście -4ĄG
2.3 Przykłady
Omówienie na wykładzie
3 OGÓLNA POSTAĆ PRAWA GAUSSA 6
3 Ogólna postać prawa Gaussa

Prawo Gaussa w przypadku dowolnego pola wektorowego, określonego przez wektor C ma
postać


C · dS = " · C dV (9)
S V


Lewa strona równania (9) czyli prawa Gaussa Åš = C · dS oznacza strumieÅ„ wektora C
S
przez zamkniętą powierzchnię S. Po prawej stronie równania (9) mamy sumę (całkę) po całej

objÄ™toÅ›ci V wyrażenia " · C okreÅ›lonego dla każdego elementu dV objÄ™toÅ›ci zamkniÄ™tej przez
powierzchniÄ™ S.
Wyrażenie

"Cx "Cy "Cz
+ + = " · C
"x "y "z

nazywamy dywergencją wektora C. Z poprzednich wykładów wiemy już, że

" " "

" = i + j +
z
"x "y "z
jest tzw. operatorem nabla
3.1 Interpretacja fizyczna prawa Gaussa
3.1.1 Co to jest strumień Ś ?
Rój pszczół przelatuje przez kostkę (ul) jak na rysunku powyżej. Prędkość dowolnej pszczoły
jest
v
Ilość pszczół wlatujących do ula przez jedną ściankę wynosi
" gdyby wszystkie pszczoły leciały prostopadle do ścianki:
3 OGÓLNA POSTAĆ PRAWA GAUSSA 7
dN = nvdtdS
wl 1
gdzie.........
" jeśli prędkości pszczół są dowolne

dN = -n · dS dt
v
wl 1
1. dlaczego iloczyn skalarny?.......
2. dlaczego minus?...........
Ilość pszczół wlatujących do ula w jednostce czasu wynosi więc
dN
wl

= -n · dS
v
1
dt
a ilość pszczół wlatujących do ula w jednostce czasu przez wszystkie ścianki kostki

dN
wl

= - n · dS = -nÅš (10)
v
dt
S
Tak więc strumień Ś  mówi nam o ilości pszczół uciekających w jednostce czasu z objętości
zamkniętej powierzchnią S. Strumień zero oznacza, że tyle samo
dNpszczół wlatuje co wylatuje.

wl
Dodatni strumień oznacza, że ilość pszczół w objętości maleje < 0 .
dt
Dla pola grawitacyjnego strumień ma bardziej abstrakcyjną interpretację ale w pewnym stopniu
może być utożsamiany z ubytkiem lub przyrostem pola grawitacyjego (UWAGA! To jest bardzo
nieścisła, nieoficjalna definicja)
3.1.2 Co to jest dywergencja?
Powróćmy do ogólnej postaci prawa Gaussa


C · dS = " · C dV (11)
S V
Biorąc pod uwagę równania (10) i (11) otrzymujemy

dN
wl

= - n · dS = -n " · dV
v v
dt
S V
4 ZASTOSOWANIA PRAWA GAUSSA 8
czyli

1 dN
wl

" · dV = - (12)
v
n dt
V

Wyrażenie po lewej stronie oznacza sumÄ™ wyrażeÅ„ " · dV dla wszystkich kostek, z których
v
zbudowana jest objętość V . Jeśli ul jest nieskończenie mały to znaczy, że składa się z jednej
kostki i równanie (12) można zapisać jako
1 dN
wl

" · dV = - (13)
v
n dt
Ponieważ
n dV = Nkostka
gdzie Nkostka oznacza ilość pszczół w objętości dV to możemy zapisać równanie (13) jako
1 dN
wl

" · = - (14)
v
Nkostka dt
tempo wlatywania pszczół do ula

" · = -
v
aktualna ilość pszczół

JeÅ›li dywergencja " · jest dodatnia to na podstawie równania (14) możemy stwierdzić, że
v
dN
wl
< 0
dt
czyli ilość pszczół (netto) wlatujących w jednostce czasu do ula jest ujemna (więcej wylatuje
niż wlatuje). Oznacza to, że w ulu coś  produkuje pszczoły.
Jeśli natomiast dywergencja jest ujemna to znaczy, że więcej pszczół wlatuje do ula niż wylatuje
(gdzieś giną w ulu). Dywergencję nazywamy więc często miarą wydajności żródeł.


Ostateczna interpretacja wyrażenia " · dV czyli dywergencji natężenia pola
Å‚
V
grawitacyjnego zostanie podana na wykładzie
4 Zastosowania prawa Gaussa
Mimo, że prawo Gaussa jest zawsze prawdziwe to w praktyce bywa szczególnie użyteczne do
opisu pól o wysokiej symetrii. Przykłady takich zastosowań zostaną podane na wykładzie oraz
ćwiczeniach rachunkowych.
5 Dodatek - uzasadnienie ogólnej postaci prawa Gaussa.
Założenia

1. W każdym punkcie pola wektorowego określony jest pewien wektor C


2. Chcemy obliczyć strumieÅ„ Åš = C·dS przez pewnÄ… zamkniÄ™tÄ… powierzchniÄ™ umieszczonÄ…
S
w tym polu wektorowym
5 DODATEK - UZASADNIENIE OGÓLNEJ POSTACI PRAWA GAUSSA. 9
5.1 Etap I
Liczymy strumień wektorowej wielkości przez ścianki zamkniętej kostki prostopadłościennej.

Zakładamy, że kostka jest na tyle mała, że możemy założyć stałość wektora C na każdej ze
ścianek sześcianu (Ale na różnych ściankach wektor może być różny)

Strumień przez ściankę 1 jest iloczynem powierzchni ścianki lewej Sx i składowej x wektora C
na ściance lewej

Åš1 = C(1) · Sx = -Cx(1)"y"z
Możemy więc zapisać dla obu ścianek: lewej i prawej (uwaga na znaki!), że
Åš1 = -Cx(1)"y"z (15)
oraz
Åš2 = Cx(2)"y"z (16)

Wektor Cx w punktach 1 i 2 jest różny. Jeśli kostka jest wystarczająco mała to długość wektora

Cx można zapisać jako (dlaczego tak? )
"Cx
Cx(2) = Cx(1) + "x (17)
"x
Strumień Ś2 przez powierzchnię 2 można więc (na podstawie (16) oraz (17)) zapisać jako

"Cx
Åš2 = Cx(1) + "x "y"z (18)
"x
a strumień przez obie powierzchnie (1 i 2), na podstawie (15) i (18) wynosi

"Cx "Cx
Åš1 + Åš2 = -Cx(1)"y"z + Cx(1) + "x "y"z = "x"y"z (19)
"x "x
Analogicznie dla górnej i dolnej ścianki
"Cy
Åš3 + Åš4 = "x"y"z (20)
"y
oraz przedniej i tylnej
5 DODATEK - UZASADNIENIE OGÓLNEJ POSTACI PRAWA GAUSSA. 10
"Cz
Åš5 + Åš6 = "x"y"z (21)
"z
Wykorzystując (19), (20) oraz (21) możemy pokazać, że całkowity strumień przez wszystkie
ściany kostki wynosi

"Cx "Cy "Cz
Åšc = Åš1 + Åš2 + Åš3 + Åš4 + Åš5 + Åš6 = + + "x"y"z (22)
"x "y "z
KorzystajÄ…c z definicji operatora nabla

" " "

" = i + j +
z
"x "y "z
równanie (22) możemy zapisać (patrz własności iloczynu skalarnego) w prostszej postaci

"Cx "Cy "Cz

Åšc = + + "x"y"z = " · C "V
"x "y "z
gdzie
"x"y"z = "V
Ostatecznie więc strumień przez powierzchnię kostki wynosi

Åšc = " · C "V (23)
5.2 Etap II
Kostka jest szczególną powierzchnią. Liczymy teraz strumień przez dowolną powierzchnię S
Obserwacja 1
Rysunek pokazuje (w dwuwymiarowym przypadku), że strumień przez brzegi sześcianua jest
równy sumie strumieni dla każdego z dwóch składowych sześcianów. Strumienie przez wspólną
ścianę mają przeciwne znaki więc się wzajemnie zerują.
W takim razie można przedstawić obszar zamknięty powierzchnią S jako zbiór małych kostek
(klocki Lego? ) i wtedy strumień przez powierzchnię S będzie równy sumie strumieni przez
ścianki wszystkich kostek (strumienie na wspólnych bokach wyzerują się wzajemnie i zostaną
tylko strumienie przez ścianki zewnętrzne czyli te należące do powierzchni S).
6 LITERATURA 11
Oznaczając dŚ strumień przez ścianki pojedynczej kostki i pamiętając, że całka może być
traktowana jako suma oraz, że zgodnie z równaniem (23)

dÅš = " · C dV
otrzymamy


Åš = dÅš = " · C dV (24)
V V
Wykorzystując (24) oraz definicję strumienia Ś otrzymujemy więc ostatecznie równość


C · dS = " · C dV (25)
S V
Lewa strona to właśnie definicja strumienia. Prawa to wynik naszych obliczeń. To jest właśnie
prawo Gaussa w ogólnej postaci.
Powróćmy do przypadku pola grawitacyjnego. Zapisując wzór (25) dla natężenia pola grawi-
tacyjnego otrzymamy:
Å‚


· dS = " · "V (26)
Å‚ Å‚
S V
Pamiętamy również, że zgodnie z równaniem (8)


Åš = · dS = -4Ä„GM (27)
Å‚
S
Korzystając z (26) oraz (27) można więc zauważyć, że


" · dV = -4Ä„GM
Å‚
V
Ponieważ dywergencję traktujemy jako wydajność z
ródła oznacza to, że masę możemy trakto-
wać jako z
ródło pola grawitacyjnego.
6 Literatura
1. R.P. Feynman, R.B. Leighton, M. Sands; Feynmana wykłady z fizyki (PWN Warszawa
2003) Tom II, część 1, rozdz. 3-3.
6 LITERATURA 12
2. A.K. Wróblewski, J.A. Zakrzewski; Wstęp do Fizyki (PWN Warszawa 1991) Tom 2, część
druga, rozdz. III.
3. D. Halliday, R. Resnick, J. Walker; Podstawy Fizyki (PWN Warszawa 2003) Tom III,
´
rozdział 24 (Prawo Gaussa dla pola elektrycznego).