Fizyka 1 (2005/2006) Wykład IV 1/4
Fizyka I sem
Informatyka
Wykład nr 4
18 10 2005
PRACA
W =Fx­Ä… x
W =F cos ·Ä… ­Ä… x
Śą
W = FÅ"d s
Śą
Praca przy zmiennej sile:
W = lim Fxi­Ä… xi
"
­Ä… xi Śą0
i
x2
W = dx
+"F
x
x1
Przykład: Sprężyna (Nasza praca przy rozciąganiu sprężyny)
x2 x2
1 1
Śą
W śąx1 , x2źą = F śąxźąÅ"d x = kx dx = k śąx2źą2 - k śąx1źą2
Śą
+" +"
2 2
x1 x1
Ostateczny zapis pracy
s2
Śą
W =
Śą
+"FÅ"d s
s1
Jeśli działa więcej sił na ciało:
Śą Śą Śą
dW =F1 Å"d sƒÄ…F2 Å"d sƒÄ…... = Fi Å"d s
Śą Śą Śą
śą" źą
i
Energia potencjalna
Jeśli W jest pracą sił pola na drodze AB to zachodzi zależność
p AB
EB =EA - W Dlaczego minus?
pśą ABźą
Jeśli wyobrazimy sobie, że to my przemieszczamy ciało ze stałą prędkością z punktu A do B to
musimy cały czas działać siłą równą co do wartości sile jaką działa pole w każdym punkcie toru na
W
ciało. Nasza siła musi być jednak przeciwnie skierowana. Można więc napisać dla pracy
zśą ABźą
wykonanej przeciwko siłom pola
EB =EA ƒÄ… W Dlaczego teraz plus?
zśą ABźą
W polu zachowawczym praca sił pola (a także przeciwko siłom pola) na drodze z A do B jest
zawsze taka sama
W = - W
pśą ABźą zśą ABźą
© M. KrasiÅ„ski 2005
Fizyka 1 (2005/2006) Wykład IV 2/4
W = W ' na każdej drodze
pśą ABźą pśą ABźą
Można więc wprowadzić jednoznaczną funkcję zależną TYLKO od położenia,
Eśą x , y , zźą
charakteryzujÄ…cÄ… pole, definiowanÄ… jako:
Eśąx , y , zźą=E0 śąx0 , y0 , z0źą- W [śą x0 , y0 , z0źąŚąśą x , y , zźą]
p
^ To jest definicja energii potencjalnej ^
Tę samą definicje można zapisać używając sił zewnętrznych (przeciwko siłom pola) jako:
Eśąx , y , zźą=E0 śąx0 , y0 , z0źąƒÄ…W [śą x0 , y0 , z0źąŚąśą x , y , zźą]
z
Ta definicja ma sens jedynie wtedy gdy W [śą x0 , y0 , z0źąŚąśą x , y , zźą] (a więc także
z
W [śą x0 , y0 , z0źąŚąśą x , y , zźą] ) nie zależy od drogi po której wykonujemy (lub pole wykonuje)
p
pracÄ™.
W każdym innym przypadku, startując z punktu początkowego gdzie energia wynosi E0
otrzymamy bardzo wiele wartości na energię końcową E w zależności od drogi. Taka funkcja
byłaby zupełnie bezwartościowa.
Energię potencjalną można więc wprowadzić wyłącznie w polach zachowawczych (zwanych
inaczej potencjalnymi). SkÄ…d ta nazwa?
E0
Problem wyboru
Ponieważ przedstawiona definicja pozwala określić energię potencjalną pola w każdym punkcie z
wyjątkiem jednego (tego od którego zaczęliśmy) to wartość dla punktu początkowego jest w
zasadzie dowolna! Kierujemy się głównie wygodą rachunkową i pewną dozą zdrowego rozsądku.
Przykład pola grawitacyjnego
Problem nieskończoności
E"=EAƒÄ…W
zśą A"źą
Sensownie jest założyć, iż energia w nieskończoności jest zero gdyż tam już nie ma oddziaływań
E"=0 to 0 =EAƒÄ…W to EA =- W
zśą A"źą zśą A"źą
Ponieważ praca W ą 0 bo siła zewnętrzna działa zgodnie z przesunięciem (praca
zśą A"źą
przeciwko sile grawitacji) więc
EA"Ä…0
Wyliczenie energii potencjalnej pola grawitacyjnego
M m r
Śą
Śą
F = -G
siła grawitacji Uwaga! Dlaczego piszemy znak minus?
r2 r
M m r
Śą
Śą
F = G
siła przeciwna
r2 r
w takim razie korzystajÄ…c zależnoÅ›ci E"=EAƒÄ…W mamy praca 0 =EAƒÄ…W
zśą A"źą zśą A"źą
czyli EA =-W
zśą A"źą
© M. KrasiÅ„ski 2005
Fizyka 1 (2005/2006) Wykład IV 3/4
W takim razie energia potencjalna w punkcie A wynosi
" " "
M m 1
Śą
EA =-W = - F d r = - G rÅ"d r = -G M m dr
Śą Śą Śą
+" +" +"
zśą A"źą
r3 r2
rA rA rA
-1 -1 M m
EA = -G M m - = -G
śą źą
śą źą
r" rA rA
[ ]
Siła jako gradient energii potencjalnej
"Ep " Ep "Ep
Fx =- F =- F = -
y z
" x " y "z
albo bardziej formalnie
Śą
Śą
F = - grad Ep = -" Ep
" " "
Śą
Śą
Śą Śą
gdzie operator nabla " = i ƒÄ… j ƒÄ… k
" x " y "z
a więc ostatecznie
"Ep "Ep "Ep Śą
Śą
Śą Śą Śą
F = -" Ep =- iƒÄ… jƒÄ… k
śą źą
" x " y " z
ZAPAMI
TAJ!
" Energia potencjalna ? Ale czego ? Pamiętaj zawsze o podaniu jakich oddziaływań dotyczy ta
energia!
" NIE KAŻDA ENERGIA POTENCJALNA WYNOSI E=mgh !!!!
Śą Epot=0
" Jeśli w jakimś punkcie F=0 to nie znaczy, że
Energia na wykresie
" Analogia grawitacyjna dla dowolnej energii
" Jak czytać wykresy energetyczne?
" zobacz animacjÄ™
© M. KrasiÅ„ski 2005
Fizyka 1 (2005/2006) Wykład IV 4/4
Dla wykresu powyżej przyjmijmy, że a = 1 m oraz m =1 kg:
" Siła działająca na obiekt w punkcie x = 3,9 m wynosi........... Ciała nigdy nie ma w tym
punkcie!
" Siła działająca na obiekt w punkcie x = 3,2 m wynosi:
"Ep E2 -E1 6 [J]-0 [J]
Fx =- = - = - =- 6 N i działa w lewo (znak minus)
" x x2 -x1 4 m-3 m
" Siła działająca na obiekt w punkcie x = 1,8 m wynosi:
"Ep E2 -E1 0 [J]-4 [J]
Fx =- = - = - = 4 N i działa w prawo (znak plus)
" x x2 -x1 2 m-1 m
" Prędkość ciała w x = 2,5 m wynosi
2 Ekin 2 śąEC-Epotźą
2 śą3 J-2 J źą m
v= = = = 2
ćą
m m 1 kg
ćą ćą ćą s2
Pochodzenie zasad zachowania
zachowanie energii - jednorodność czasu
zachowanie pędu - jednorodność przestrzeni
zachowanie momentu pędu - izotropowość przestrzeni
© M. KrasiÅ„ski 2005