Różniczkując równanie prędkości mamy:
Z tego wynika, że jeśli S jest inercjalnym układem odniesienia to S również.
We wszystkich przekształceniach przyjęliśmy dodatkowe założenie absolutnego czasu t =t.
Praca i energia
1. Policz pracę wykonaną przez siłę sprężystości przy przesunięciu ciała z położenia xi do położenia xf.
Siła sprężystości jest określona przez prawo Hooke a. Jeśli sprężyna jest ściśnięta lub rozciągnięta o małą długośd x
względem swojego stanu równowagi (x=0), to wywiera ona siłę gdzie k jest dodatnią stałą materiałową
nazywaną stałą sprężystości.
Przesuwając ciało z położenia xi do xf siła sprężystości wykona pracę:
Jeśli xi = xf to W = 0.
2. Policzyd pracę jaką należy wykonad przyspieszając do prędkości v spoczywającą swobodną cząstkę o masie m,
czyli wyprowadzid wzór na nierelatywistyczną energię kinetyczną.
Dla vp = 0 i vk = v mamy:
3. Podaj trzy równoważne definicje siły potencjalnej.
Siła jest siłą potencjalną jeśli istnieje funkcja (skalarna) taka, że:
Gdzie:
Funkcję U nazywamy energią potencjalną siły .
Ponieważ przesunięcia odbywają się w jakimś czasie, więc
Siła potencjalna jest wtedy i tylko wtedy gdy praca wykonana przez między dwoma dowolnymi punktami nie zależy
od drogi wykonanej między tymi punktami (łączącej te punkty) a jedynie od położeo tych punktów (początkowego i
koocowego).
Siła jest potencjalna wtedy i tylko wtedy gdy praca tej siły na dowolnej drodze zamkniętej jest równa zeru.
4. Napisz równanie wiążące siłę z energią potencjalną.
Siła musi byd jednoznacznie określona w przestrzeni X,Y,Z
Gdzie:
Funkcję U nazywamy energią potencjalną siły .
Ponieważ przesunięcia odbywają się w jakimś czasie, więc
5. Pokaż, że siła tarcia nie jest siłą potencjalną.
Chod siła tarcia jest całkowalna:
To nie jest jednoznacznie określona w przestrzeni X:
x
x0
x
x0
zależy od prędkości w x0 i nie ma takiej funkcji U(x), że .
Wszystkie siły zależne od prędkości nie są siłami potencjalnymi.
6. Znajdz
energię potencjalną jednorodnego pola grawitacyjnego.
Siła działająca na masę m:
z
y
x
Energia potencjalna:
Najlepiej przyjąd z0 = 0 i . Mamy wtedy:
7. Znajdz
energię potencjalną siły sprężystości.
Siła sprężystości jest siłą centralną:
Gdzie jest wektorem odchylenia z położenia równowagi, , a k jest współczynnikiem sprężystości (stałą
materiałową).
Energia potencjalna:
Fizycznie naturalne określenie i to = 0 i - układ jest w stanie równowagi, nie jest odkształcony,
więc nie działa siła sprężystości i nie ma związanej z nią energii potencjalnej. Wtedy:
8. Pokazad, że siła grawitacji jest siłą potencjalną i znalez
d grawitacyjną energię potencjalną układu dwóch mas
m1, m2 znajdujących się w odległości r.
Siła grawitacji:
Uniwersalna stał grawitacji:
Energia potencjalna układu dwóch mas m1, m2:
Praca wykonana przez między dwoma dowolnymi punktami nie zależy od drogi wykonanej między tymi punktami
(łączącej te punkty) a jedynie od położeo tych punktów (początkowego i koocowego) zatem siła grawitacji jest siłą
potencjalną.
Jako punkt odniesienia przyjmujemy bo tam siła grawitacji zanika: wtedy:
9. Zasada zachowania energii mechanicznej.
Energia mechaniczna = energia kinetyczna + energia potencjalna
Praca wykonana przez siłę zachowawczą przy przesunięciu cząstki z położenia do położenia .
A z twierdzenia o pracy i energii
Więc:
Czyli:
Energia mechaniczna cząstki w polu sił potencjalnych jest stała.
10. Zasada zachowania energii mechanicznej układu dwóch mas m, M oddziałujących grawitacyjnie. Rozważyd
przypadek M>>m.
Z zasady zachowania energii mechanicznej:
Jeśli a na układ mas nie działają siły zewnętrzne mamy =>
Całkowity pęd układu:
Więc możemy przyjąd :
A wtedy:
11. Planeta o masie m krąży wokół gwiazdy o masie M (M>>m) po orbicie kołowej o promieniu r. Znalez
d
całkowitą energię mechaniczną tego układu mas
Z zasady zachowania energii mechanicznej z uwzględnieniem :
Skoro planeta porusza się po orbicie kołowej, to siła grawitacji pełni rolę siły dośrodkowej i jest równa:
I wtedy:
Zasada zachowania pędu
1. Pokazad, że pęd izolowanego układu dwóch cząstek, które oddziałują ze sobą siłami wewnętrznymi jest
zachowany.
Całkowity pęd układu cząstek to suma (wektorowa) pędów poszczególnych cząstek:
I zmiana w czasie:
A z trzeciej zasady dynamiki mamy , zatem , a w takim razie:
2. Dwie cząstki o masach m1, m2 i prędkościach v1, v2 zderzają się doskonale niesprężyście. Znalez
d prędkośd
cząstek po zderzeniu.
Przed zderzeniem Po zderzeniu
Pęd przed zderzeniem:
Pęd po zderzeniu:
Pęd jest zachowany:
Prędkośd cząstek po zderzeniu.
3. Dwie cząstki o masach m1, m2 i prędkościach v1, v2 zderzają się centralnie doskonale sprężyście. Znalez
d
prędkości cząstek po zderzeniu, a następnie rozważyd przypadek m1=m2.
Po zderzeniu
Przed zderzeniem
Pęd przed zderzeniem:
Pęd po zderzeniu:
Pęd jest zachowany:
Energia kinetyczna przed zderzeniem:
Energia kinetyczna po zderzeniu:
Energia kinetyczna jest zachowana:
Otrzymujemy układ równao:
A ponieważ ruch jest jednowymiarowy wektory redukują się do skalarów (dodatnich lub ujemnych) i otrzymujemy
układ dwóch równao skalarnych:
Dla :