Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
Wykład FIZYKA I
6. Zasada zachowania pędu
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej
http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
P
D CIAA
A
·ð SiÅ‚a to wielkość wektorowa, która jest miarÄ… oddziaÅ‚ywania
mechanicznego innych ciał na dane ciało.
·ð Energia to skalarna wielkość opisujÄ…ca ruch  zalety i wady opisu
skalarnego
DEFINICJA:
·ð PÄ™d to iloczyn masy ciaÅ‚a i jego prÄ™dkoÅ›ci wektorowej:
rð rð
p ºð mv
·ð SiÅ‚a może być teraz zdefiniowana jako zmiana pÄ™du w czasie:
rð
rð
dp
F ºð
dt
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
Zasady dynamiki Newtona
II. Zasada:
Tempo zmiany pędu ciała jest równe sile wypadkowej działającej
na to ciało;
rð
rð
dp
Fwyp =ð
dt
rð rð rð
dp d(ðmv)ð dv
rð
Dla ciał o stałej masie:
=ð =ð m =ð ma
dt dt dt
a stÄ…d:
rð
Fwyp
rð
a =ð
m
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
ZASADA ZACHOWANIA P
DU
·ð Historycznie: zasadÄ™ zachowania pÄ™du można wyprowadzić z II i III zasady
dynamiki Newtona (podobnie jak zasadÄ™ zachowania energii)  jakkolwiek
można postąpić dokładnie odwrotnie&
·ð W rzeczywistoÅ›ci można wyprowadzić zarówno zasady Newtona jak i
zasady zachowania energii i pędu z praw jednorodności przestrzeni i
czasu.
·ð Prawo jednorodnoÅ›ci przestrzeni mówi, że wszystkie prawa fizyki sÄ…
takie same we wszystkich położeniach w przestrzeni.
·ð Prawo jednorodnoÅ›ci czasu znaczy, że prawa fizyki nie zmieniajÄ… siÄ™ w
czasie (a w konsekwencji: żadna stała fizyczna nie zmienia swej wartości w
czasie).
·ð PojÄ™cie ukÅ‚adu odosobnionego (zamkniÄ™tego, izolowanego): jest to
układ, na który nie działają żadne siły zewnętrzne (z
ródła wszystkich sił
znajdują się w obrębie samego układu; są to siły oddziaływania między
ciałami układu).
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
ZASADA ZACHOWANIA P
DU
·ð Rozpatrzmy ukÅ‚ad odosobniony zÅ‚ożony z n ciaÅ‚ o masach m1,
m2,...,mn. Ciała te mają prędkości v1,v2,...,vn. Oznaczmy siły
(wewnętrzne!) jakimi ciała działają na siebie jako: Fik  siła, jaką ciało k-te
działa na ciało i-te.
rð rð rð
d
rð
Z II zasady dynamiki Newtona:
(ðm1v1)ð =ð F12 +ð F13 +ð ...+ð F1n
dt
rð rð rð
d
rð
(ðm2v2)ð =ð F21 +ð F23 +ð ...+ð F2n
dt
rð rð rð
d rð
(ðmnvn)ð=ð Fn1 +ð Fn2 +ð...+ð Fn(n-ð1)
dt
Dodając stronami powyższe równania:
n
rð rð rð rð
d
rð
åðdt (ðmivi )ð =ð (ðF12 +ð F21)ð+ð ...+ð(ðF(ðn-ð1)ðn +ð Fn(ðn-ð1)ð)ð
i=ð1
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
ZASADA ZACHOWANIA P
DU
rð rð
·ð Z III zasady dynamiki Newtona mamy:
Fik =ð -ðFki
·ð PodstawiajÄ…c ten warunek do poprzedniego równania,
otrzymujemy:
n n
d d
rð rð
åðdt (ðmivi )ð =ð dt åð(ðm vi )ð =ð 0
i
i=ð1 i=ð1
·ð PÄ™d ukÅ‚adu równy jest sumie pÄ™dów poszczególnych elementów:
n n
rð rð rð
p =ð
åð(ðp )ð =ð åð(ðm vi )ð
i i
i=ð1 i=ð1
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
ZASADA ZACHOWANIA P
DU
rð
dp
·ð Ostatecznie, otrzymujemy:
=ð 0
dt
rð
czyli:
p =ð const
Zasada zachowania pędu:
Pęd zamkniętego układu ciał nie zmienia się z
upływem czasu.
ZA MAA
O!
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
ZASADA ZACHOWANIA P
DU
·ð Podobny rezultat osiÄ…gniemy, gdy rozważymy dziaÅ‚anie siÅ‚y
zewnętrznej a dokładniej: układ sił zewnętrznych, których
rð
wypadkowÄ… jest .
Fwyp,zewn
rð
rð
Wtedy
dp
=ð Fwyp,zewn
dt
Zmiana pędu układu jest równa wypadkowej
sił zewnętrznych, działających na układ.
·ð Inna postać sformuÅ‚owania zasady zachowania pÄ™du:
Suma pędów wszystkich ciał układu w momencie początkowym równa
się sumie pędów tych ciał w dowolnym momencie póz
niejszym.
(Najczęściej stosowana do zagadnienia zderzeń).
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
UKA
AD O ZMIENNEJ MASIE
·ð Rakieta kosmiczna: masa paliwa to wiÄ™kszość masy caÅ‚ej
rakiety, stąd konieczność uwzględnienia zmiany masy ciała w
czasie ruchu!
·ð Zastosujmy zasadÄ™ zachowania pÄ™du do ukÅ‚adu rakieta-
spalane paliwo:
muv =ð -ðdmuu +ð (ðmu +ð dmu)ð(ðv +ð dv)ð
pęd rakiety  przed = pęd gazów  po + pęd rakiety  po
UWAGA: dmu jest ujemne&
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
UKA
AD O ZMIENNEJ MASIE
·ð Wprowadz
my prędkość względną rakiety i spalin vwzgl:
(ðv +ð dv)ð=ð vwzgl +ð u
·ð Wtedy:
-ð dmuvwzgl =ð mudv
dmu
R ºð -ð >ð 0
dt
Szybkość
dmu dv
spalania paliwa
-ð vwzgl =ð mu
dt dt
Siła ciągu rakiety = zmiana jej pędu
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
UKA
AD O ZMIENNEJ MASIE
·ð Policzmy prÄ™dkość rakiety (równanie różniczkowe!):
dmu
-ð dmuvwzgl =ð mudv
dv =ð -ðvwzgl
mu
mukonc
vkonc
dmu
òðdv =ð -ðvwzgl òð
mu
vpocz mu pocz
mupocz ·ð Im lepszy stosunek masy
vkonc -ð vpocz =ð vwzgl ln
początkowej do końcowej,
mukonc
tym większa prędkość =
rakiety wielostopniowe.
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
ZDERZENIA
·ð Zderzeniem doskonale sprężystym nazywamy takie zderzenie, w
wyniku którego energia mechaniczna układu zderzających się ciał nie
zamienia siÄ™ w inne rodzaje energii (np. cieplnej).
Podczas rozwiązywania zagadnień zderzeń sprężystych stosujemy
zasadę zachowania energii i zasadę zachowania pędu.
Zderzenie centralne:
wektory prędkości skierowane są wzdłuż jednej prostej.
m2 m2
m1 m1
v1 v2 u1 u2
2 2 2 2
m1v1 m2v2 m1u1 m2u2
+ð =ð +ð
m1v1 +ð m2v2 =ð m1u1 +ð m2u2
2 2 2 2
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
ZDERZENIA SPR
ŻYSTE
·ð RozwiÄ…zanie zagadnienia centralnego zderzenia sprężystego dwóch
ciał:
v1(ðm1 -ð m2)ð+ð 2m2v2 v2(ðm2 -ð m1)ð+ð 2m1v1
u1 =ð u2 =ð
m1 +ð m2 m1 +ð m2
·ð Przypadki szczególne:
- obie kule majÄ… jednakowe masy (m1=m2), wtedy:
u1 =ð v2 u2 =ð v1
(kule  zamieniają się prędkościami);
- druga kula jest nieruchoma i ma wielokrotnie większą masę (v2=0 i m2>>m1),
wtedy:
u1 =ð -ðv1 u2 =ð 0
(pierwsza, mniejsza kula odbija siÄ™ od nieruchomej i porusza siÄ™ w przeciwnym kierunku z tÄ… samÄ…, co
do wartości, prędkością).
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
ZDERZENIA SPR
ŻYSTE
·ð RozwiÄ…zanie zagadnienia centralnego zderzenia sprężystego dwóch
ciał:
v1(ðm1 -ð m2)ð+ð 2m2v2 v2(ðm2 -ð m1)ð+ð 2m1v1
u1 =ð u2 =ð
m1 +ð m2 m1 +ð m2
·ð Przypadki szczególne:
- obie kule majÄ… jednakowe masy (m1=m2), wtedy: u1 =ð v2 u2 =ð v1
(kule  zamieniają się prędkościami);
- druga kula jest nieruchoma i ma wielokrotnie większą masę (v2=0 i
m2>>m1), wtedy:
u1 =ð -ðv1 u2 =ð 0
(pierwsza, mniejsza kula odbija siÄ™ od nieruchomej i porusza siÄ™ w przeciwnym
kierunku z tą samą, co do wartości, prędkością).
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
ZDERZENIA NIESPR
ŻYSTE
·ð UkÅ‚ad rozpraszajÄ…cy (dyssypacyjny) to taki ukÅ‚ad, w którym energia
mechaniczna stopniowo zmniejsza siÄ™ na wskutek jej przemiany w inne
(niemechaniczne) rodzaje energii (np. ciepło).
·ð PrzykÅ‚adem jest ukÅ‚ad ciaÅ‚ podlegajÄ…cy zderzeniu doskonale
niesprężystemu  występuje w nim odkształcenie zderzających się ciał
powodujące, że po zderzeniu poruszają się one razem z tą sama
prędkością.
Podczas rozwiązywania zagadnień zderzeń niesprężystych stosujemy
tylko zasadę zachowania pędu.
m2
m2
m1
m1
v1 v2 u
m1v1 +ð m2v2
RzozwiÄ…zanie:
u =ð
m1v1 +ð m2v2 =ð (ðm1 +ð m2)ðu
m1 +ð m2
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
ZDERZENIA NIESPR
ŻYSTE
·ð Różnica energii obu ciaÅ‚ po i przed zderzeniem:
m1m2
2
DðE =ð E2 -ð E1 =ð -ð (ðv1 -ð v2)ð <ð 0
2(ðm1 +ð m2)ð
Energia została rozproszona  wykonana została jej kosztem praca L,
potrzebna na:
-  złączenie się ciał;
- zmianę ich kształtu (kucie metali!);
- przezwyciężanie oporów (np. wbijanie gwoz
dzi młotkiem, pali kafarem).
W przypadku, gdy drugie ciało przed zderzeniem było w spoczynku (v2=0):
m1m2 m2
L =ð -ðDðE =ð v12 =ð Ek1
2(ðm1 +ð m2)ð m1 +ð m2
StÄ…d:
" zmiana kształtu -> m2 jak największe (duża część energii kinetycznej pierwszego ciała  zużyta na pracę);
"  wbijanie -> m1 jak największe (duża energia kinetyczna układu po zderzeniu).
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
ZDERZENIA
·ð Zderzenia w dwóch wymiarach wymagajÄ… uwzglÄ™dnienia faktu, że
prędkość jest wielkością wektorową:
2 2 2 2
m1v1 m2v2 m1u1 m2u2
rð rð rð rð
+ð =ð +ð
m1v1 +ð m2v2 =ð m1u1 +ð m2u2
2 2 2 2
m1v1 =ð m1u1 cosqð1 +ð m2u2 cosqð2
0 =ð -ðm1u1 sinqð1 +ð m2u2 sinqð2
2 2 2
m1v1 m1u1 m2u2
=ð +ð
2 2 2
v1 =ð v1pocz
u1 =ð v1konc u2 =ð v2konc