Zasada zachowania pędu
Fizyka I (B+C)
Wykład XIII:
" Zasada zachowania pędu
" Zasada zachowania momentu pędu
" Ruch ciał o zmiennej masie
Zasada zachowania pędu
Układ izolowany III zasada dynamiki
Każde ciało może w dowolny sposób Siły z którymi działają na siebie ciała i i j:
oddziaływać z innymi elementami układu.
Fij = -Fji
1 3
Suma sił działających ciało i:
F
21
FiŁ = Fji
j
2 Suma sił działających na układ:
F
12
Ftot = FiŁ = Fji
i i j
4
= -Fij = -Ftot
j i
Brak oddziaływań ze światem zewnętrznym
�! Ftot = 0
A.F.Żarnecki Wykład XIII 1
Zasada zachowania pędu
II zasada dynamiki Pęd układu
Prawo ruchu układu:
dpi
= FiŁ
dpi
dt
Ftot = FiŁ =
dt
i i
d
= pi
1 3 dt
dp3
i
dp1
Ftot = 0 �! pi =


i
2
Dla dowolnego układu izolowanego,
dp2
suma pędów wszystkich elementów
układu pozostaje stała.
4
dp4
izolowany układ inercjalny
A.F.Żarnecki Wykład XIII 2
Zasada zachowania pędu
Układ  rozpada się pod wpływem
Oddziaływanie dwóch ciał
sił wewnętrznych.
Jeśli na początku wszystkie obiekty
spoczywają
M M
pi = 0
1 2
i
to i po  rozpadzie suma pędów
M1 < M2
musi być równa 0.
Dwa ciała: (vi c)
m1v1 + m2v2 = 0
m1
�! v2 = - � v1
m2
v2 m1
V 1 V 2
�! =
v1 m2
A.F.Żarnecki Wykład XIII 3
Zasada zachowania pędu
Oddziaływanie dwóch ciał
Zderzenie całkowicie niesprężyste
(po zderzeniu ciała trwale złączone)
Pęd początkowy: pi = m1v1
M M1
2
Pęd końcowy: pf = (m1 +m2)�v2
V=0 V1
Zasada zachowania pędu:
pi = pf
m1
�! v2 = � v1
M2 M1
m1 + m2
V2
A.F.Żarnecki Wykład XIII 4
Zasada zachowania momentu pędu
Siły centralne
Jeśli układ ciał (lub pojedyńcze ciało) działa jakaś siła zewnętrzna Ftot = 0

to pęd układu musi się zmieniać: pi = const.

Siły które działają na układ często są
siłami centralnymi - działają w kierunku ustalonego z
ródła siły.
Jeśli położenie z
ródła przyjmiemy za środek układu �! Ftot = F (r, . . .) � ir
Przykład:
m2
" siła grawitacyjna F (r) = -Gm12
r
Q1Q2
" siła kulombowska F (r) =
4Ą r2
ć%
" siła spężysta F (r) = -k � r
Czy można coś  uratować z zasady zachowania pędu ?...
A.F.Żarnecki Wykład XIII 5
Zasada zachowania momentu pędu
Moment pędu
Zdefiniujmy dla punktu materialnego:
L = r � p �! moment pędu względem O
zależy od wyboru początku układu
Dla v c
L = m r � v
L = m r v sin �
A.F.Żarnecki Wykład XIII 6
Zasada zachowania momentu pędu
Moment pędu
Ruch po płaszczyz
nie:
L = m r � (vr + v�)
L = m r v�
d�
�! L = m r2 = m r2 �
Przypadek szczególny:
dt
ruch po okręgu - r=const
Moment bezwładności
I = m r2
�! moment pędu możemy przedstawić
w ogólnej postaci
L = I �
A.F.Żarnecki Wykład XIII 7
Zasada zachowania momentu pędu
Moment siły
M = r � F �! moment siły względem O
Równanie ruchu
dL d(r � p)
=
dt dt
dr dp
= � p + r �
dt dt
= v � p + r � F
= 0 + M
M = 0 �! L =


A.F.Żarnecki Wykład XIII 8
Zasada zachowania momentu pędu
Cząstka swobodna Siła centralna
Moment siły: (względem z
ródła)
M = r � F
= r � ir � F (r, . . .) = 0
L = const
Moment pędu względem dowolnego
Moment pędu, liczony względem z
ródła
punktu 0 pozostaje stały:
siły centralnej pozostaje stały.
L = m v r sin � = m v b =


b - parametr zderzenia
odległość najmniejszego zbliżenia do O
A.F.Żarnecki Wykład XIII 9
Zasada zachowania momentu pędu
Prędkość polowa II prawo Keplera
Pole jakie wektor wodzący punktu zakreśla w
dS 1 L
= |r � v| = =

dS
jednostce czasu:
dt 2 2 m
dt
W ruchu pod działaniem sił centralnych
prędkość polowa jest stała.
1 1 1
dSOAB = r rd� = |r � dr| = |r � v| dt
2 2 2
A.F.Żarnecki Wykład XIII 10
Ruch ciał o zmiennej masie
Rozważmy ruch ciała o zmiennej masie. W ogólnym przypadku: m = m(r, v, t)
Od ciała o masie m-dm poruszającego się
m
-dm
z prędkością v odłącza się element
v+dv
-dm > 0 poruszający się z prędkością w
w
(dm < 0 bo masa ciała maleje)
Z zasady zachowania pędu:
(m - dm) v = m (v + dv) - dm w
�! dp = m dv = (m - dm) v - m v + dm w
= dm (w - v) a" dm vodrz
Siła odrzutu (siła ciągu rakiety):
dp dm dm
Fodrz = = vodrz < 0
dt dt dt
A.F.Żarnecki Wykład XIII 11
Ruch ciał o zmiennej masie
Równanie ruchu
Ruch ciała pod wpływem siły odrzutu:
dp dv dm
= m = Fzewn + vodrz
dt dt dt
Zaniedbując wpływ sił zewnętrznych Całkując stronami:
(np. pola grawitacyjnego):
vk mk
dv dm
=
dv dm
vodrz m
m = vodrz
vć% mć%
dt dt
dv dm dm mk
�! vk = vć% + vodrz � ln
m � = vodrz
dm dt dt mć%
wzór Ciołkowskiego
dv
m = vodrz
dm
A.F.Żarnecki Wykład XIII 12
Ruch ciał o zmiennej masie
Rakieta jednostopniowa
Rakieta o masie mR ma wynieść satelitę o
masie mS, zużywając paliwo o masie mP :
mR
mS
Aby uzyskać II prędkość kosmiczną
mP
vk H" 11 km/s (np. lot na Księżyc)
v
przy silniku rakietowym o vć% = 3 km/s
odrz
Możliwa do uzyskania prędkość końcowa:
vk
f = exp - 1 H" 38
mS + mR + mP
vć%
vk = vodrz � ln
mS + mR
H" vodrz � ln(1 + f)
Teoretycznie możliwe,
praktycznie niewykonalne (?)...
mP

f =
ms mR

i nieopłacalne !...
mR
stosunek masy paliwa do masy rakiety
A.F.Żarnecki Wykład XIII 13
Ruch ciał o zmiennej masie
Rakieta dwustopniowa
Rakietę dzielimy na dwa człony o masach m R i m R, m R + m R = mR
w których znajduje się paliwo o masie m P i m P : m P + m P = mP
mR

m"
R
mS
mP

v
odrz
Prędkość końcowa:
mP
"
mS + m R + m P
mS + mR + mP
vk = vodrz � ln + ln
mS + mR + m P mS + m R
W przybliżeniu mS m R m R: vk H" vodrz � 2 ln(1 + f)
Aby uzyskać II prędkość kosmiczną vk H" 11 km/s przy o vć% = 3 km/s:
vk
f = exp - 1 H" 5.3
2 vć%
Dla f H" 10 (dla obu członów) można wystrzelić w kosmos mS H" 0.6% (mR + mP )
przy optymalnym wyborze m R H" 7% mR
A.F.Żarnecki Wykład XIII 14
Ruch ciał o zmiennej masie
Rakieta wielostopniowa
Rakieta składa się z wielu członów. Aby uzyskać II prędkość kosmiczną dla
W każdym z nich stosunek masy paliwa mS H" 100 kg przy rakiecie o f = 10:
do  obudowy wynosi f
mS vk (1 + f)
mR = � exp - 1
1 + f vć% f
v
odrz
W granicy wielu bardzo małych członów:
mR H" 500 kg
f
mP H" 5000 kg
m dv = dm vodrz �
f + 1
Przy rakiecie jednoczłonowej, przy tych samych
Co sprowadza się do:
mS i mR potrzebaby 228 000 kg paliwa !!!
Dla rakiety dwuczłonowej:
f mR
vk = vodrz � � ln 1 + (1 + f)
mR H" 1600 kg, mP H" 16 000 kg
f + 1 mS
A.F.Żarnecki Wykład XIII 15