Wykład 4
Zasada zachowania energii
Siły zachowawcze i niezachowawcze
Wszystkie istniejące siły możemy podzielić na siły zachowawcze i siły nie
zachowawcze. Siła jest zachowawcza, jeżeli praca, którą wykonuję ta siła nad punktem
materialnym poruszającym się po zamkniętemu toru równa się zeru. Udowodnimy, że siła
grawitacyjna jest siłą zachowawczą.
Obliczmy najpierw pracę siły grawitacyjnej po przemieszczeniu punktu materialnego o
m
h1 h2
masie z wysokości do wysokości wzdłuż prostej (rys. IV.1). Podzielmy odcinek
AB
n
prostej AB na małych odcinków. W każdym punkcie prostej AB na punkt materialny
działa stała skierowana w dół siła
rð
rð
F = mg . (IV.1)
i
A zatem praca, którą wykonuje siła grawitacyjna na - tym odcinku prostej wynosi
AB
rð
rð
Ai = F Å" dsi = mg Å" dsi Å" cosÄ… , (IV.2)
rð
gdzie ą jest katem między siła i
F
rð
wektorem dsi = AB / n .
Całkowita praca siły grawitacyjnej będzie
równa sumie prac (IV.2), czyli
n
AAB = Ai = mg Å" AB Å" cosÄ… . (IV.3)
"
i= 1
Rys.IV.1. Obliczanie pracy siły grawitacyjnej
Ponieważ
AB Å" cosÄ… = (h1 - h2 )
, (IV.4)
ze wzoru (IV.3) otrzymujemy
AAB = mg(h1 - h2 )
. (IV.5)
34
Ze wzoru (IV.4) wynika, że praca siły grawitacyjnej zależy tylko od różnicy wysokości, a
zatem praca siły grawitacyjnej wzdłuż prostej AC (rys.IV.1) będzie taką samą, jak praca
wzdłuż prostej .
AB
h2 h1
Gdy rozważamy odwrotny ruch punktu materialnego z wysokości do wysokości
wzdłuż prostej praca siły grawitacyjnej wynosi:
BA
rð
ABA = F Å" BA = mg Å" BA Å" cos(1800 - Ä… ) = - mg Å" BA Å" cosÄ… . (IV.6)
Tu skorzystaliÅ›my ze wzoru cos(1800 - Ä… ) = cos(1800 ) Å" cosÄ… + sin(1800 ) Å" sinÄ… = - cosÄ… .
Uwzględniając wzór (IV.4) otrzymujemy
ABA = - mg(h1 - h2 ) = - AAB
. (IV.7)
A zatem, jak widać ze wzoru (IV.7) praca
wykonana przez siłę grawitacyjną nad ciałem
poruszajÄ…cym siÄ™ od punktu , znajdujÄ…cym
A
h2
się na wysokości , do punktu ,
B
h1
znajdującym się na wysokości , nie zależy
w ogóle od drogi łączącej te punkty i jest
równa prace wykonanej przy przejściu od
B
do A , lecz ze znakiem minus.
Jeżeli rozważmy teraz zamkniętą krzywą o dowolnym kształcie zawierającym punkty
A i B , to zgodnie z (IV.7) praca, którą wykonuję siła grawitacyjna nad punktem
materialnym poruszającym się po zamkniętemu toru równa się zeru
A = AAB + ABA = AAB - AAB = 0
. (IV.8)
A zatem udowodniliśmy, że siła grawitacyjna jest siłą zachowawczą. Powtórzmy, że dla siły
zachowawczej praca, którą wykonuje ta siła nad ciałem poruszającym się pomiędzy dwoma
punktami zależy tylko od położenia tych punktów i nie zależy od kształtu drogi łączącej te
punkty.
Przykładem siły zachowawczej jest również siła Coulomba, określająca oddziaływanie
dwóch ładunków elektrycznych.
Dla sił niezachowawczych praca nad punktem materialnym poruszającym się wzdłuż
zamkniętego toru nie jest równa zeru. Przykładem siły nie zachowawczej jest siła tarcia. W
35
przypadku siły niezachowawczej praca, którą wykonuje ta siła nad ciałem poruszającym się
pomiędzy dwoma punktami zależy od kształtu drogi łączącej te punkty.
Siły potencjalne. Energia potencjalna. Prawo zachowania energii.
Ze wzoru (IV.7) wynika, że dla tego żeby obliczyć pracę, którą wykonuje siła
grawitacyjna wystarczy wiedzieć skalarną funkcję
U (h) = mgh
. (IV.9)
Wtedy praca siły grawitacyjnej nad punktem materialnym poruszającym się od punktu do
A
punktu B wynosi
AAB = U (h1) - U (h2 )
. (IV.10)
U (x, y, z)
Siły, dla których możemy wprowadzić skalarną funkcję nazywamy siłami
U (x, y, z)
potencjalnymi. Skalarna funkcja nosi nazwÄ™ energii potencjalnej.
Wybierając kartezjański układ współrzędnych tak, aby kierunek osi Oz był przeciwny
rð rð
g =
do kierunku wektora przyspieszenia - g Å" ez (z)
i zamieniajÄ…c w (IV.9) h przez Å‚atwo
widzieć, że
rð
dU rð d(mgz) rð rð
F = - ez = - ez = - mg Å" eZ
. (IV.11)
dz dz
W ogólnym przypadku energia potencjalna jest związana z siłą potencjalną wzorem
rð
" U (x, y, z) rð " U (x, y, z) rð " U (x, y, z) rð
F = - [ ex + ey + ez ]
, (IV.12)
" x " y " z
" U (x, y, z) / " x " U (x, y, z) / " y " U (x, y, z) / " z
We wzorze (IV.12) wielkości , , noszą nazwę
U (x, y, z)
cząstkowych pochodnych funkcji (energii) potencjalnej względem, odpowiednio,
x, y, z
U (x, y, z) x
. CzÄ…stkowÄ… pochodnÄ… funkcji
względem, na przykład, zmiennej określa
wzór
" U (x, y, z) U (x + " x, y, z) - U (x, y, z)
= lim0
. (IV.13)
" x
" x " x
Zadanie 1. Na ciało poruszające się wzdłuż osi Ox działa siła F = - kx , powodując
U (x)
jego ruch. Znajdziemy funkcjÄ™ energii potencjalnej dla tego ruchu.
RozwiÄ…zanie. Zgodnie z (IV.12)
dU
F = - kx = - .
dx
36
SkÄ…d otrzymujemy
dU = kxdx .
KorzystajÄ…c ze wzoru xdx = d(x2 ) / 2 , znajdujemy
1
dU = d( kx2 )
.
2
A zatem
1
U (x) = kx2
.
2
Dla sił potencjalnych (patrz wzór (IV.10)) praca, którą wykonuje siła potencjalna nad
ciałem poruszającym się pomiędzy dwoma punktami i nie zależy od kształtu drogi
A B
łączącej te punkty a zależy jedynie od wartości energii potencjalnej w tych punktach
AAB = U - U
, (IV.14)
A B
Zgodnie z tym wzorem praca, którą wykonuje siła potencjalna nad punktem materialnym
poruszajÄ…cym siÄ™ od punktu do punktu wynosi
B A
ABA = U - U
, (IV.15)
B A
A zatem siła potencjalna zawsze jest siłą zachowawczą, ponieważ praca tej siły nad punktem
materialnym poruszającym się po zamkniętemu toru równa się zeru
A = AAB + ABA = U - U + U - U = 0
. (IV.16)
A B B A
Należy zwrócić uwagę, że przy określaniu energii potencjalnej istnieje pewna
dowolność, związana z tym, że sens fizyczny ma tylko różnica energii potencjalnej. Istotnie
zamiast energii potencjalnej (IV.9) możemy rozważać potencjalną energię
U (h) = mgh + C
, (IV.17)
gdzie C jest dowolna stała. Wybór energii potencjalnej siły grawitacyjnej w postaci (IV.17)
nie zmienia ani pracy (IV.10), ani siły (IV.11). A zatem wartość bezwzględna energii
potencjalnej jest zawsze określona z dokładnością do dowolnej stałej.
Tą niepewność w energii potencjalnej możemy wyeliminować, jeżeli wybierzemy jakiś
punkt odniesienia. W przypadku energii potencjalnej (IV.17) dogodniej jest wybrać jako punkt
odniesienia potencjalną energię na powierzchni Ziemi i założyć, że
U (h = 0) = C = 0
.
37
Na wykładzie 3 otrzymaliśmy, że praca dowolnej siły (potencjalnej albo
niepotencjalnej) nad punktem materialnym poruszającym się pomiędzy dwoma punktami i
A
B określa wzór
AAB = TB - TA
. (IV.18)
2 2
Tu TB = mŠ/ 2 i TA = mŠ/ 2 są, odpowiednio, energie kinetyczne ciała w punkcie B i
B A
punkcie .
A
Z porównania (IV.14) i (IV.18) otrzymujemy
TB - TA = U - U
. (IV.19)
A B
SkÄ…d mamy
E = TA + U = TB + U = const
. (IV.20)
A B
Wzór (IV.20) wyraża jedno z podstawowych praw w fizyce - prawo zachowania całkowitej
energii punktu materialnego.
Wyżej omówiliśmy pewną dowolność w wyborze punktu odniesienia energii
potencjalnej. Wartość energii kinetycznej określa prędkość ciała, która w różnych układach
odniesienia będzie miała różną wartość. A zatem warto pamiętać, że zawsze istnieje pewna
niejednoznaczność przy określaniu wartości bezwzględnej energii mechanicznej , która jest
E
sumą energii kinetycznej i potencjalnej. Ale warto też pamiętać, że nie jest rzeczą ważna
wartość bezwzględna energii . Rzeczą ważną jest fakt, że jeżeli siły są siłami
E
zachowawczymi, to wartość bezwzględna energii nie zmienia się podczas ruchu dla
E
żadnego obserwatora.
Prawo zachowania energii umożliwia w niektórych przypadkach sił potencjalnych nie
rozwiązując równań ruchu znalez
ć odpowiedzi na niektóre zagadnienia, związane z ruchem
punktu materialnego. Rozważmy przykład takiego zagadnienia.
Zadanie 2. Wahadło utworzone z lekkiego sztywnego pręta o długości l i z ciała o
m ¸
masie przymocowanego do końca tego pręta, ustawiono tak, aby pręt tworzył kąt z
0
pionem, po czym je puszczono. Obliczmy prędkość ciała w chwili, gdy znajduje się ono w
najniższym położeniu.
¸
Rozwiązanie. W chwili t = 0 , kiedy pręt tworzył kąt z pionem, prędkość ciała była
0
równa zero, a zatem całkowita energia składała się tylko z energii potencjalnej ciała
38
E(¸ = ¸ ) = U (¸ = 0) + mg(l - l Å" cos¸ )
.
0 0
U (¸ = 0) - energia potencjalna ciaÅ‚a w
Tu
chwili, gdy znajduje się ono w najniższym
położeniu.
W chwili, gdy ciało znajduje się w najniższym
położeniu całkowita energia ciała wynosi
2
mÅ
E(¸ = 0) = U (¸ = 0) + .
2
E(¸ = ¸ ) E(¸ = 0)
Z zasady zachowania energii wynika, że energia musi być równa energii ,
0
a więc
2
mÅ
.
U (¸ = 0) + mg(l - l Å" cos¸ ) =
U (¸ = 0) +
0
2
Ze tego wzoru znajdujemy
2
mÅ
. (IV.21)
mg(l - l Å" cos¸ ) =
0
2
Z lewej strony równania (IV.21) mamy energię mechaniczną wahadła w chwili t = 0 , która
składa się tylko z energii potencjalnej. Natomiast z prawej strony mamy tylko energię
kinetyczną wahadła w chwili, kiedy wahadło zajmowało pionowe położenie. A zatem z zasady
zachowania energii wynika, że energia może być przekształcona z jednej formy w inna
(energia potencjalna w energię kinetyczną i na odwrót), ale nie może być wytwarzana, ani
niszczona.
Ze wzoru (IV.21) znajdujemy ostateczny wynik
Å = 2gl Å" (1- cos¸ )
.
0
SkÄ…d otrzymujemy, że prÄ™dkość ciaÅ‚a bÄ™dzie miaÅ‚a maksymalnÄ… możliwÄ… wartość Å = 2 gl ,
¸ = 1800
gdy .
0
Wyżej mówiliśmy, że nie wszystkie siły są siłami potencjalnymi, a zatem nie dla
wszystkich sił możemy wprowadzić pojęcie energii potencjalnej. Przykładem siły
niepotencjalnej jest siła tarcia. W przypadku istnienia sił niepotencjalnych prawo zachowania
energii mechanicznej ciała nie jest słuszne i związane jest to z tym, że siły niepotencjalne,
wykonując pracę nad ciałem zmniejszają całkowitą energię mechaniczną ciała. Może powstać
pytanie: co się stało z tą  straconą energią mechaniczną? Odpowiedz
na to pytanie Å‚atwo
znalez
ć rozważając na przykład nagle hamujący samochód. W tym przypadku siła tarcia
39
wykonuje pracę (hamuje samochód), wskutek czego samochód całkowicie traci swoją energię
kinetyczną. Ta  stracona energia kinetyczna samochodu objawia się we wzroście temperatury
i w częściowym zniszczeniu opon samochodu oraz pokrycia drogi. A zatem  stracona energia
zostaje przekształcona na inne formy energii (energię wewnętrzną (albo cieplną) opon i
drogi), a część energii zostaje zużyta na częściowe zniszczenie opon samochodu oraz pokrycia
drogi.
Siły centralne
Potencjalne a więc zachowawcze są, tak zwane, siły centralne. Siła centralna jest to
siła działająca wzdłuż prostej łączącej punkt materialny i pewien nieruchomy punkt, zwany
centrum siły:
rð
rð
F = f (x, y, z) Å" r , (IV.22)
f (x, y, z)
gdzie jest skalarną funkcją współrzędnych punktu.
Z siłą postaci (IV.22) często spotykamy się w fizyce. Przykładami takiej siły są siła
grawitacji oraz siła Coulomba, które możemy zapisać w postaci:
rð
k rð
F = Å" r
, (IV.23)
r3
Dla siły grawitacyjnej:
k = Gm1m2
. (IV.24)
Dla siły Coulomba:
1
k = q1q2 .
(IV.25)
4Ä„ µ
0
Można udowodnić, że siła centralna jest siłą potencjalną i energia potencjalna tej siły
określa wzór
k k
U (x, y, z) = a"
. (IV.26)
r
x2 + y2 + z2
Istotnie, korzystajÄ…c ze wzoru " [u(x, y, z)]n / " x = n Å" un- 1(x, y, z) Å" " u / " x znajdujemy,
że
" 1 " - 1/ 2 1 x
( ) = [x2 + y2 + z2] = - (x2 + y2 + z2 )- 3 / 2 Å" 2x a" - ,
" x r " x 2 r3
40
" 1 " - 1/ 2 1 y
( ) = [x2 + y2 + z2] = - (x2 + y2 + z2 )- 3 / 2 Å" 2y a" -
,
" y r " y 2 r3
" 1 " - 1/ 2 1 z
( ) = [x2 + y2 + z2] = - (x2 + y2 + z2 )- 3 / 2 Å" 2z a" - ,
" z r " z 2 r3
a zatem, zgodnie z (IV.12) i (IV.26)
" U " 1 x
Fx = - = - k ( ) = k
, (IV.27a)
" x " x r r3
" U " 1 y
Fy = - = - k ( ) = k
, (IV.27b)
" y " y r r3
" U " 1 z
Fz = - = - k ( ) = k
. (IV.27c)
" z " z r r3
rð
Biorąc pod uwagę wzory (IV.27), siłę możemy zapisać w wektorowej postaci
F
rð
rð rð rð
F = Fxex + Fyey + Fzez =
k rð rð rð k rð
= (xex + yey + zez ) = r
, (IV.28)
r3 r3
rð rð rð rð
r a" xex + yey + zez .
ponieważ
A zatem udowodniliśmy, że funkcji potencjalnej (IV.26) odpowiada siła centralna
postaci (IV.23). Ważną cechą sił centralnych jest to, że ruch ciał w polu sił centralnych jest
zawsze ruchem płaskim, tj. trajektoria ciała leży zawsze w płaszczyz
nie. Z tego właśnie
powodu Ziemia porusza się wokół Słońca w jednoznacznie zorientowanej w przestrzeni
płaszczyz
nie i nigdy nie wychodzi za granicy tej płaszczyzny. Udowodnienie tej ważnej cechy
siły centralnej wykonujemy na Wykładzie 7.
Pole grawitacyjne
Ze wzoru na siłę grawitacyjną
rð
m Å" M rð
F = G Å" r
, (IV.29)
r3
m
wynika, że siła przyciągania, która działa ze strony masy na ciało o masie jest wprost
M
proporcjonalna do tej masy:
rð rð
, (IV.30)
F = m Å" E
41
Tu:
rð
M rð
E = G Å" r
, (IV.31)
r3
rð
Wektor określa siłę przyciągania, która działa ze strony masy na ciało o dowolnej
M
E
masie. Długość tego wektora zależy tylko od masy z
ródła siły grawitacyjnej oraz od
M
rð
położenia punktu w przestrzeni. Więc jeżeli mamy z
ródło siły grawitacyjnej o masie ,
r M
rð
możemy dla każdego punktu o wektorze wodzącym obliczyć, zgodnie ze wzorem (IV.31),
r
rð rð
wektor . Określony w taki sposób zbiór wektorów w każdym punkcie przestrzeni
E E
nazywamy polem grawitacyjnym. Mówimy, że ciało o masie M jest z
ródłem wektorowego
rð
rð
pola grawitacyjnego. Wektor nosi nazwę natężenia pola grawitacyjnego. Zgodnie ze
E(r )
wzorem (IV.30) dla tego, żeby sprawdzić czy istnieje w przestrzeni pole grawitacyjne musimy
m
wziąć próbne ciało o masie i zobaczyć co się dzieje się s tym próbnym ciałem.
Siła grawitacyjna, jak wiemy jest siłą potencjalną. Dla siły potencjalnej możemy
wprowadzić energię potencjalną. W podobny sposób dla pola wektorowego siły grawitacyjnej
rð
rð
możemy dla każdego punktu przestrzeni, zamiast wektora natężenia pola , wprowadzić
E(r )
rð
Õ (r )
skalarną funkcję zwaną potencjałem pola grawitacyjnego . Ze wzorów (IV.26) i (IV.24)
łatwo widzieć, że
U (x, y, z) G Å" M
Õ (x, y, z) = a"
. (IV.32)
m
x2 + y2 + z2
m
Zadanie 3. Siła przyciągania przez Ziemie ciała o masie dana jest wzorem
F = mg
. (IV.33)
Z drugiej strony tę samą siłę określa wzór
m Å" M
Z
F = G
, (IV.34)
2
RZ
M
gdzie RZ H" 6,37 Å" 103 km jest promieniem Ziemi, a jest masÄ… Ziemi. We wzorze (IV.34)
Z
G = 6,67 Å" 10- 11 Nm2/kg2 jest staÅ‚Ä… powszechnego ciążenia. KorzystajÄ…c z tych wzorów
znajdziemy ile wynosi masa Ziemi.
RozwiÄ…zanie. A
Ä…czÄ…c wzory (IV.33) i (IV.34) otrzymujemy
42
2
gRZ 9,8 Å" (6,37 Å" 106 )2
M = = = 5,97 Å" 1024
kg. (IV.35)
Z
G 6,67 Å" 10- 11
Literatura do Wykładu 4.
1. Robert Resnik, David Halliday: Fizyka 1, Wydawnictwo PWN, Warszawa, 1994, str.
161-192; str.385-424.
2. Sz. Szczeniowski, Fizyka doświadczalna, t.1, PWN, Warszawa 1980, str. 116-134,
str.159-173.
Zadania do Wykładu 4
1. Na ciało poruszające się wzdłuż osi Ox działa siła F = - kx , powodując jego ruch.
Udowodnić, że ta siła jest siłą zachowawczą.
m1 m2
2. Między dwoma punktami materialnymi o masach i , znajdującym na osi Ox
rð
m1m2
x
działa siła grawitacyjnego przyciągania F a" F = G , gdzie - odległość
x2
U (x)
między punktami. Znalez
ć funkcję potencjalną , odpowiadającą grawitacyjnemu
oddziaływaniu.
3. Rozwiązując na tym Wykładzie zadanie 2 skorzystaliśmy z prawa zachowania energii
Umax = Tmax Umax Tmax
, gdzie i są odpowiednio maksymalne wartości energii
potencjalnej i energii kinetycznej. Znalez
ć kÄ…t ¸ , przy którym
U (¸ ) = T (¸ ) = Umax / 2 = Tmax / 2 cos¸ = (1+ cos¸ ) / 2
. Odpowiedz
: .
0
4. Udowodnić, że
"
"
(x2 y3z4 ) = 3x2 y2z4 , "
(x2 y3z4 ) = 2xy3z4 (x2 y3z4 ) = 4x2 y3z3
, .
" y
" x " z
5. Jaka siła odpowiada energii potencjalnej U = - ax2 + bxy + z ?
6. Udowodnić, że jeżeli na ciało działa siła tarcia, to całkowita energia mechaniczna nie
jest stała, a zmniejsza się o wielkość pracy wykonanej przez tę siłę tarcia.
7. Sprężyna w karabinie sprężynowym ma współczynnik sprężystości k = 900 N/m. Po
ściśnięciu długość sprężyny zmniejszyła się o 2 cm. W lufie znajduje się pocisk o
masie 10 g. Zakładając brak tarcia i poziome ustawienie lufy obliczyć prędkość
pocisku w chwili opuszczania lufy. Odpowiedz
: Å = 6 m/s.
43
8. Kula o masie 10 g z zerową początkową prędkością spada z wysokości 100 m i
zagłębia się w piasek na głębokość 1 m. Znalez
ć średnią siłę tarcia, jaką piasek działa
9,8
na kulÄ™. Odpowiedz
: N.
9. Oszacować wartość siły grawitacyjnej działającej między dwoma osobami o równych
m1 = m2 = 50
masach
kg. Odległość między osobami wynosi 1 cm. Odpowiedz
: 1,7
N.
Å" 10- 3
10. Gęstość wody wynosi 1 g/cm3. Udowodnić, że średnia gęstość Ziemi około 5,5 razy
większa niż gęstość wody. Wskazówka: Skorzystać ze wzoru (IV.35).
44