Zasada zachowania energii
Fizyka I (B+C)
Wykład XIV:
" Praca, siły zachowawcze i energia potencjalna
" Energia kinetyczna i zasada zachowania energii
" Zderzenia elastyczne
Praca i energia
dr
Praca
P
Q
Siła F działa na punkt materialny P
F
Praca jaką wykonuje siła przy przesunięciu P o dr
Fn
dW = F · dr = F cos ¸ds = Ft ds
Ft
Siły prostopadłe do przesunięcia nie wykonują pracy!
siła Lorenza, siła Coriolisa, siły reakcji więzów...
Praca siły F (r) na drodze między A i B
B
WAB = F (r) · dr
A
A.F.Żarnecki Wykład XIV 1
Praca i energia
Praca
W ogólnym przypadku praca WAB jaką wykonujemy
podczas ruchu punktu z A do B może zależeć od:
" przebytej drogi l
np. praca sił tarcia będzie proporcjonalna do l
" toru ruchu
np. jeśli siły oporu zależą od wyboru toru
" prędkości
siły oporu w ośrodku zależą od prędkości
" czasu
jeśli działające siły zależą od czasu
A.F.Żarnecki Wykład XIV 2
Praca i energia
Energia potencjalna
Siła F (r) jest zachowawcza (konserwatywna), jeśli praca przez nią wykonana
zależy tylko od położenia punktów początkowego (A) i końcowego (B)
Ò! można jÄ… wyrazić przez zmianÄ™ energii potencjalnej
B
WAB = F (r) · dr = Ep(rA) - Ep(rB) = -"Ep
A
Siła zachowawcza nie może zależeć od czasu ani od prędkości.
Jeśli droga jest zamknięta to praca jest równa zeru
A
F (r) · dr = F (r)dr = 0
A
F



A.F.Żarnecki Wykład XIV 3
Praca i energia
Przykład:
Ruch w jednorodnym polu grawitacyjnym. Siła ciężkości F = m g = m (0, -g, 0)
B B
F (r) · dr = F dr = F (rB - rA) = -m g (rA - rB) = m g (yA - yB)
A A
Ò! energia potencjalna dla jednorodnego pola grawitacyjnego
Ep(r) = -m g r = m g y
Siłami zachowawczymi są też wszystkie siły centralne, zależne tylko od odległości
F = F (r) · ir siÅ‚a kulombowska, siÅ‚a grawitacyjna, siÅ‚y sprężystoÅ›ci...
A.F.Żarnecki Wykład XIV 4
Praca i energia
Gradient
Gradient wskazuje kierunek w którym
następuje największa zmiana wartości
funkcji skalarnej f(x, y, z).
Wartość gradientu odpowiada wartości
pochodnej funkcji f(x, y, z) wzdłuż tego
kierunku.
"f "f "f "f "f "f
grad f = "f = ix + iy + iz = , ,
"x "y "z "x "y "z
" " "

Ò! " = ix + iy + iz

"x "y "z
"f


"f = in n f


"n
A.F.Żarnecki Wykład XIV 5
Praca i energia
Siła a energia potencjalna
Praca wykonana przy infintezymalnym przesunięciu dr = (dx, dy, dz)
dW = F (r) · dr = - dEp
"Ep "Ep "Ep

Ò! = - dx - dy - dz



"x "y "z
Otrzymujemy:
F = -"Ep
Znajomość potencjału siły zachowawczej jest rownoważna znajomości samej siły.
Energia potencjalna jest określona z dokładnością do stałej, istotne są tylko jej zmiany.
A.F.Żarnecki Wykład XIV 6
Praca i energia
Energia kinetyczna
Praca jaką wykonuje siła F przy przesunięciu P o ds
dv
dW = Ft ds = m at ds = m ds
dt
dv ds ds
ds = dv Ò! = m dv = m v dv
dt dt dt
Praca siły F (r) na drodze między A i B
B B
2 2
mvB mvA
B A
WAB = Ft(s) · ds = mv dv = - = Ek - Ek = "Ek
2 2
A A
Niezależnie od postaci siły F i drogi na ciało nie działają inne siły, układ inercjalny
mv2
praca siły jest równa zmianie energii kinetycznej ciała Ek =
2
A.F.Żarnecki Wykład XIV 7
Zasada zachowania energii
Zasada zachowania energii
Praca siły zachowawczej F (r) pomiędzy A i B
B
A B
WAB = F (r) · dr = Ep - Ep
A
Z drugiej strony, praca siły działającej na ciało:
B A
WAB = Ek - Ek
B A A B
Ò! Ek - Ek = Ep - Ep
B B A A
Ò! Ek + Ep = Ek + Ep
Ò! E = Ep + Ek =


W ruchu pod działaniem sił zachowawczych energia całkowita jest zachowana.
A.F.Żarnecki Wykład XIV 8
Zasada zachowania energii
Wahadło Galileusza Koło Maxwella
Wysokość na jaką wznosi się wahadło
nie zmienia się przy zmianie długości nici:
h
Ep + Ek = E =


Ek = 0 Ò! m g h = E
Przemiana energii potencjalnej w
siły reakcji więzów nie wykonują pracy
energiÄ™ kinetycznÄ… ruchu obrotowego.
A.F.Żarnecki Wykład XIV 9
Zasada zachowania energii
Spadek swobodny
W jednorodnym polu g
ciało spada swobodnie z
g
g
wysokości h (v(0) = 0).
Prędkość końcowa z za-
sady zachowania energii:
h
h
"Ek = -"Ep
V
m v2
= m g h
2
Taką samą prędkość uzyska wahadło
V
puszczone z wysokości h
v = 2 g h
A.F.Żarnecki Wykład XIV 10
Zderzenia
Poprzednio rozpatrywaliśmy zderzenia ciał z punktu
widzenia zasady zachowania pędu (i momentu pędu)
zasada zachowania pędu jest zawsze bezwzględnie spełniona
Czy zachowana jest energia kinetyczna ?
TAK
- jeśli działające siły mają charakter zachowawczy
siły kulombowskie, siły spężystości
"Ep = 0 Ò! "Ek = 0
NIE
- jeśli mamy wkład sił niezachowawczych
w wyniku zderzenia następują trwałe zmiany
(np. odkształcenia) w zderzających się ciałach
A.F.Żarnecki Wykład XIV 11
Zderzenia
Zderzenia sprężyste
Z zasad zachowania:



Przypadek jednowymiarowy:
p : m1 V1 + m2 V2 = m1 V1
2 2 2
m1 V1 m2 V2 m1 V1
E : + =
2 2 2
M M1
2
Przekształcamy:
V =0 V1
2
p : m2 V2 = m1 (V1 - V1)
2 2 2
E : m2 V2 = m1 (V1 - V1 )
= m1 (V1 - V1)(V1 + V1)
M M1
2
Ò! V2 = V1 + V1, albo V2 - V1 = V1
V V
1
2
wartość bezwzględna prędkości względnej przed i po zderzeniu jest taka sama
A.F.Żarnecki Wykład XIV 12
Zderzenia
Zderzenia sprężyste
Przekształcając dalej otrzymujemy:
m2 (V1 + V1) = m1 (V1 - V1)
Ò! V1 (m1 + m2) = V1 (m1 - m2)
Przypadek szczególny: m1 = m2
Ostatecznie:
Ò! V1 = V2 = 0
m1 - m2
V1 = V1
V2 = V1
m1 + m2
Zderzające się ciała  wymieniają się pręd-
2 m1
kościami; rozwiązanie słuszne także w przy-
V2 = V1
m1 + m2
padku V2 = 0

A.F.Żarnecki Wykład XIV 13
Zderzenia
Zderzenia sprężyste
m1 > m2
Przypadek graniczny: m1 m2
Masa  pocisku większa od masy  tarczy :
m1 - m2
Ò! V1 = V1 = V1
m1 + m2
2 m1
V2 = V1 = 2 · V1
m1 + m2
 Pocisk nie zauważa zderzenia
 Tarcza uzyskuje prÄ™dkość 2 · V1
Otrzymujemy: V2 > V1 > 0
Po zderzeniu oba ciała poruszają się w tą samą stronę.
A.F.Żarnecki Wykład XIV 14
Zderzenia
Zderzenia sprężyste
Przypadek graniczny: m1 m2
m1 < m2
Ò! V1 = -V1
Masa  pocisku mniejsza od masy  tarczy :
V2 = 0
Otrzymujemy:
m1 - m2
V1 = V1 < 0
m1 + m2
2 m1
V2 = V1 > 0
m1 + m2
Prędkość  pocisku zmienia znak
Ò!  pocisk odbija siÄ™ od  tarczy
Sprężyste odbicie od
nieruchomej  ściany
A.F.Żarnecki Wykład XIV 15
Zderzenia
m1 m2
 Tarcza oddala się od  pocisku  Tarcza przybliża się do  pocisku
( ściana ) ( ściana )
 pocisk traci energiÄ™  pocisk zyskuje energiÄ™
Mikroskopowy obraz ochładzania (ogrzewania) się gazu przy rozprężaniu (sprężaniu)
A.F.Żarnecki Wykład XIV 16
Zderzenia
Zderzenia nie centralne
Do tej pory rozpatrywaliśmy tzw. zderzenia centralne,
dla których parametr zderzenia b = 0  pocisk trafia w sam środek  tarczy
W przypadku gdy b = 0 zderzenie trzeba rozpatrywać w dwóch wymiarach:

Zasada zachowania pędu:
V
2
V =0



2
Q
2
px : m2 V2 cos ¸2 + m1 V1 cos ¸1 = m1 V1
b
py : m2 V2 sin ¸2 - m1 V1 sin ¸1 = 0
V Q
1 1
y
Dla zderzeń spężystych:
V
1
2 2 2
m1 V1 m2 V2 m1 V1
Ek : + =
x
2 2 2
Znajomość m1, m2 i V1 (V2 = 0) nie wystarcza do wyznaczenia
peÅ‚nej kinematyki zderzenia ( V1, V2, ¸1 i ¸2) !
Ò! musimy ustalić b albo jeden z parametrów rozproszenia (np. kÄ…t ¸1).
A.F.Żarnecki Wykład XIV 17
Zderzenia
Zderzenia nie centralne
Jeśli masy zderzających się sprężyscie ciał są równe
m1 = m2 Ò! zagadnienie bardzo siÄ™ upraszcza
Z zasad zachowania:
V + V = V1
1 2
2 2 2
V2
V1 + V2 = V1
Q1
Q
2 V1
Q
2
Q1 Ò! wektory V1, V i V tworzÄ… trójkÄ…t prostokÄ…tny.
1 2
V
1
Ä„
¸1 + ¸2 =
2
A.F.Żarnecki Wykład XIV 18
Zderzenia
m1 = m2
Zderzenie proton-proton w komorze pęcherzykowej:
Fotografia zderzajÄ…cych siÄ™ kul:
V
1
V1
V
2
niska energia padajÄ…cej wiÄ…zki
Ò! dynamika nierelatywistyczna
A.F.Żarnecki Wykład XIV 19
Zderzenia
m1 = m2
Stan końcowy zależy od parametru
b=R
zderzenia b
" b = 0 Ò! zderzenie centralne
V
2
V = V1
2
V = 0
1
b=2R
b=0
b=0
b=2R
" b >= 2R Ò! brak zderzenia
V
1
(kule mijajÄ… siÄ™)
V = 0
2
V = V1
1
b=R
A.F.Żarnecki Wykład XIV 20