FALE MECHANICZNE
Falami nazywamy rozprzestrzeniające się w ośrodku materialnym lub polu
zaburzenia pewnej wielkości fizycznej charakteryzującej stan tego ośrodka
lub pola.
Właściwości ośrodka - bezwładność i sprężystość
" Elementy drgają wokół położenia równowagi
" zaburzenie przekazywane jest elementom sÄ…siednim
" nie jest to zwiÄ…zane z przenoszeniem substancji
" energia może być przenoszona na duże odległości
EWR 2010 fale sprężyste /
1
RODZAJE FAL
Ze względu na kierunek ruchu
" fale poprzeczne - sprężystość postaci, czyli kształtu
rys. z Halliday, Resnick, Walker,
Podstawy fizyki, tom 2
" fale podłużne - sprężystość objętościowa
Ze względu na ilość wymiarów 1D, 2D, 3D
Ze względu na zachowanie się cząstek materii
" pojedyncze fale
" ciÄ…gi falowe
EWR 2010 fale sprężyste /
2
FALE JEDNOWYMIAROWE
Dla t = 0 y(x,0) = f(x)
odkształcenie przesuwa się wzdłuż struny lub sznura nie zmieniając
swego kształtu.
Po czasie t y(x,t) = f(x-vt)
taki sam kształt w punkcie x = vt w chwili t jaki w punkcie x = 0 w
chwili t = 0.
EWR 2010 fale sprężyste /
3
RÓWNANIE FALOWE
Funkcja f(x-vt) jest rozwiązaniem równania
2 2
" f 1 " f
=
2 2 2
"x v "t
Rozwiązaniem jest dowolna, dwukrotnie różniczkowalna funkcja
Sprawdzenie
2
" f
f(x Ä… vt)
2
2 2
= v f
2
"t
Õ = x Ä… vt faza drgaÅ„
2
" f
2 2
= f
2
"x
EWR 2010 fale sprężyste /
4
Równanie falowe w trzech wymiarach
2 2 2 2
" f " f " f 1 " f
+ + =
2 2 2 2 2
"x "y "z v "t
EWR 2010 fale sprężyste /
5
FALE HARMONICZNE
y
ródÅ‚o w punkcie x = 0 wykonuje drgania y(0, t) = A cosÉt
t = t  x/v
zatem:
y(x, t) = y(0, t ) = A cosÉ(t  x/v)
y(x, t) = A cos(É t  É x / v)
y = A cos(É t - k x)
wektor falowy:
r
É
k = É /v - liczba falowa jednostka: [k] =1/m
Ć
k = x
v
É - czÄ™stość koÅ‚owa
v - prędkość fazowa
EWR 2010 fale sprężyste /
6
 DA
UGOŚĆ FALI
y(x, t) = A cos(É t  kx )
" Długość fali  t = const.
2Ä„
 =
Õ1(x) - Õ2(x + ) = 2Ä„
k
[É t - k x]  [É t - k (x + )] = 2Ä„
k = 2Ä„
EWR 2010 fale sprężyste /
7
OKRES FALI
y(x, t) = A cos(É t  kx )
T
t
" Okres fali T x = const.
Õ(t + T) - Õ(t) = 2Ä„ 2Ä„
T =
[É(t + T) - k x] - [É t  k x] = 2Ä„
É
ÉT = 2Ä„
EWR 2010 fale sprężyste /
8
PR
DKOŚĆ FALI
" PrÄ™dkość fali v k = É /v
É 2Ä„É 
v = = =
k 2Ä„ k T

v =
T
EWR 2010 fale sprężyste /
9
ZASADA SUPERPOZYCJI
W tym samym obszarze
w przestrzeni może
rozchodzić się jednocześnie
wiele różnych fal.
Wychylenie badanego
elementu ośrodka w danej
chwili jest sumą wychyleń
jakich doznawałby ten
element pod działaniem
każdej fali z osobna.
rys. Halliday, Resnick, Walker,
Podstawy fizyki, tom 2,
PWN 2003
EWR 2010 fale sprężyste /
10
SUPERPOZYCJA DWÓCH FAL
É1 `" É2
É É
É É
É É
generator È(0, t )=A cosÉ1t + A cosÉ2t
fala biegnÄ…ca È(x, t) = È1(x, t) + È2(x, t)
È(x, t) = Acos(É1 t - k1 x)+Acos(É2 t  k2 x)
É1 -É2 k1 - k2 É1 +É2 k1 + k2
= 2AcosëÅ‚ t - xöÅ‚cosëÅ‚ t - xöÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
È(x, t) = Amod(x, t)cos(ÉÅ›r t - kÅ›r x)
EWR 2010 fale sprężyste /
11
SUPERPOZYCJA DWÓCH FAL
É1 `" É2
É É
É É
É É
È(x, t) = Amod(x, t)cos(ÉÅ›r t - kÅ›r x)
gdzie:
Amod(x, t) = 2Acos(Émod t - kmod x)
rys. Jaworski Dietłaf, Fizyka poradnik
encyklopedyczny, PWN 2000
EWR 2010 fale sprężyste /
12
PR
DKOŚĆ GRUPOWA
Prędkość rozchodzenia się modulacji
Õm = (Émod t  kmod x) = const.
Émod É1 -É2
dx
vmod = = =
= vf k
dt kmod k1 - k2 É
Prędkość grupowa vg = vmod
vf = const.
dÉ
vg =
d(v k)
dÉ
f
vg = = = v
dk
f
dk dk
" Ogólnie prędkość grupowa jest
vg `" vf
równa prędkości fazowej.
EWR 2010 fale sprężyste /
13
PR
DKOŚĆ GRUPOWA
Energia fali
rozchodzi siÄ™ z
prędkością
grupowÄ… !
rys. - F.C.Crawford, Fale,
PWN W-wa 1972
EWR 2010 fale sprężyste /
14
FALE ZA
OŻONE
É1 : É2 = 1 : 3
a) suma dwóch fal o dużej różnicy częstości
b) suma dwóch fal o podobnych częstościach
EWR 2010 fale sprężyste /
15
 INTERFERENCJA FAL
Dwie fale o stałej w czasie różnicy faz:
y1 = ym cos(Ét - kx - Õ )
y = y1 + y2
y2 = ym cos(Ét - kx)
y = ym cos(Ét - kx - Õ ) + cos(Ét - kx)
[ ]
1 1
y = 2 ym cos(Ét - kx - Õ )cos Õ
Fala wypadkowa o amplitudzie zależnej od 2 2
różnicy faz:
1 1
ëÅ‚ öÅ‚cos(Ét - kx - Õ )
y = 2 ym cos Õ
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
1
A = 2 ym cos Õ
2
A" ( 0 , 2ym)
EWR 2010 fale sprężyste /
16
INTERFERENCJA FAL
1
A = 2 ym cos Õ
2
EWR 2010 fale sprężyste /
17
FALE STOJ
CE
y1 = ym cos(Ét - kx)
Å„Å‚
òÅ‚
y2 = ym cos(Ét + kx)
ół
y = y1+y2
= ym cos(Ét - kx)
+ ym cos(Ét + kx)
y = [2ym cos(kx)] cos(Ét)
amplituda drgań
A=2ymcos(kx)
EWR 2010 fale sprężyste /
18
FALE STOJ
CE
Wszystkie punkty sÄ… w tej samej fazie
1 3 5
kx = Ä„ , Ä„ , Ä„ , ...
węzły
2 2 2
kx = Ą, 2Ą .... strzałki
" Energia nie jest przenoszona
" Energia jest zmagazynowana w strunie
Zbiór oscylatorów o różnych amplitudach
Warunki odbicia fal od końców struny narzucają ograniczenia - tak
zwane warunki brzegowe.
EWR 2010 fale sprężyste /
19
REZONANS
warunki brzegowe 1
2L
n =
n
v v
fn = = n
n 2L
siła wymuszająca
F = F0 cos(Ét)
rezonans
przy wielu Én,
całkowita ilość połówek fali - L = n n / 2
EWR 2010 fale sprężyste /
20
REZONANS
warunki brzegowe 2
4L
n =
2n + 1
2Ä„v Ä„v
Én = = (2n +1)
n 2L
rezonans
przy wielu Én,
1 1
1
L = n n + n
L = (2n + 1) n
2 4 4
EWR 2010 fale sprężyste /
21
SZEREG FOURIERA
Dowolny ruch o okresie T można przedstawić jako sumę drgań harmonicznych,
czyli w postaci szeregu Fouriera
1
f (t) = a0 +
"a cos(nÉt) +"b sin(nÉt)
n n
2
n n
gdzie
2Ä„
É =
T
T
Å„Å‚
2
ôÅ‚a = T F (t ) cos( nÉ t )dt
n
+"
ôÅ‚
0
òÅ‚
T
2
ôÅ‚
bn = F (t ) sin( nÉ t )dt
+"
ôÅ‚
T
ół 0
EWR 2010 fale sprężyste /
22
SZEREG FOURIERA
FUNKCJI PROSTOK
TNEJ
1 1 1
y = sin Ét + sin 3Ét + sin 5Ét + sin 7Ét + ...
3 5 7
Suma pierwszych siedmiu składowych szeregu Fouriera funkcji prostokątnej:
EWR 2010 fale sprężyste /
23
DWIE SKA
ADOWE
TRZY SKA
ADOWE
CZTERY SKA
ADOWE
PI
Ć SKA
ADOWYCH
EWR 2010 fale sprężyste /
24
CAA
KA FOURIERA
Jeżeli ruch jest nieperiodyczny to szereg zastępuje
całka Fouriera
" "
f (t) =
+"a(É) cos(Ét)dÉ + +"b(É) sin(Ét)dÉ
0 0
"
Å„Å‚
2
ôÅ‚a(É ) = Ä„ F (t) cos( Ét)dt
+"
ôÅ‚
0
òÅ‚
"
2
ôÅ‚
b(É ) = F (t) sin( Ét)dt
+"
ôÅ‚
Ä„
ół 0
EWR 2010 fale sprężyste /
25
ROZKA
AD SPEKTRALNY
Dowolne fale można rozpatrywać jako kombinacje fal harmonicznych
" "
f (x,t) =
+"a(É) sin(Ét - kx)dÉ + +"b(É) cos(Ét - kx)dÉ
0 0
ZależnoÅ›ci a(É) oraz b(É) - rozkÅ‚ad spektralny (widmo)
EWR 2010 fale sprężyste /
26
WIDMA
widmo żarówki widmo żarówki energooszczędnej
widmo lampy halogenowej
EWR 2010 fale sprężyste /
27
ENERGIA W OŚRODKU TRÓJWYMIAROWYM
1) Jeżeli nie ma absorpcji całkowita energia przenoszona przez fale w ciągu
sekundy pozostaje stała i równa mocy wysyłanej ze z
ródła.
E
= P = const.
t
Natężenie fali I(r) jest to ilość energii przepływającej w jednostce czasu
przez jednostkową powierzchnię prostopadłą do kierunku propagacji
r dP
I (r ) =
dS
Dla punktu odległego o r od z
ródła fali kulistej całkowita powierzchnia przez
którą przechodzi fala jest równa S = 4Ą r2, a całkowita moc:
P = I(r)Å"4Ä„ Å"r2
EWR 2010 fale sprężyste /
28
ENERGIA W OŚRODKU TRÓJWYMIAROWYM
Natężenie fali kulistej
P = I(r)Å"4Ä„ Å"r2
Pz
I(r) =
4Ä„ Å"r2
I ~ A2
A<"1/r
EWR 2010 fale sprężyste /
29
STRATY ENERGII
2) Pochłanianie fal
A(x = A0e-Å‚x
)
I(x) = I0e-2Å‚x
Dla fal kulistych
-2 Å‚r
e
I (r ) = I
0
2
4Ä„r
2) Rozpraszanie fal - dodatkowa utrata energii w wyniku oddziaływania z
napotykanymi po drodze przeszkodami.
EWR 2010 fale sprężyste /
30