FALE SPR YSTE (MECHANICZNE)
Fala Przenoszenie si zaburzenia w o rodku, proces
rozchodzenia si drga w o rodku.
Fale spr yste Fale rozchodz ce si w o rodkach spr ystych.
Powstaj w wyniku chwilowego wychylenia
(zaburzenia) jakiego elementu o rodka z po o enia
równowagi, co nast pnie powoduje jego drgania.
Zaburzenie to wymusza drgania s siednich
elementów o rodka.
Fale mechaniczne przenosz energi - w postaci energii potencjalnej (energia
odkszta cenia o rodka) i energii kinetycznej (energia ruchu materii).
Klasyfikacja fal (mo liwa na wiele sposobów)
a) ze wzgl du na kierunek ruchu cz stek o rodka
- poprzeczne - kierunek odkszta cenia jest prostopad y do kierunku
rozchodzenia si fali,
- pod u ne - kierunek odkszta cenia jest równoleg y do kierunku
rozchodzenia si fali,
b) ze wzgl du na rodzaj zaburzenia
- impuls falowy - powstaje, gdy ród em fali jest jednorazowe
zaburzenie,
- fala harmoniczna - jest wytwarzana przez ród o wykonuj ce
drgania harmoniczne; w fali harmonicznej
wszystkie punkty o rodka wykonuj drgania
harmoniczne z ró nymi fazami.
c) ze wzgl du na kszta t czo a fali (powierzchni jednakowej fazy)
- p askie,
- koliste,
- kuliste.
Fale spr yste 1
Podstawowa w asno rozchodzenia si zaburzenia falowego
Za ó my, e dla
, s - wychylenie cz st ki z po o eni a
równowagi, - pewna funkcja czasu
Dla zaburzenie jest opó nione o i odpowiada zaburzeniu w
punkcie w chwili wcze niejszej o , czyli
Równanie fali - wyra enie przedstawiaj ce wychylenie drgaj cej cz stki
w funkcji jej wspó rz dnych x, y, z i czasu t
Ogólna posta równania fali w jednym wymiarze
W przypadku fali harmonicznej
Faza fali
- pr dko fazowa - pr dko poruszania si sta ej fazy
Fale spr yste 2
Równanie fali p askiej
Fala p aska - mo e by opisana tylko jedn sk adow wektora pr dko ci,
np. i jedn wspó rz dn przestrzenn , np. x
D ugo fali - najmniejsza odleg o punktów o rodka, dla których
nast pstwo ruchów jest identyczne
Je li , to
Fale spr yste 3
Wektor falowy
Jest to wektor okre lony wyra eniem
, gdzie jest wektorem jednostkowym zgodnym z
kierunkiem rozchodzenia si fali.
k - modu wektora falowego (liczba falowa)
Równanie fali p askiej rozchodz cej si w dowolnym kierunku
Równanie fali p askiej rozchodz cej si w kierunku zgodnym z kierunkiem
wektora falowego mo na zapisa jako
Je eli opisuje po o enie na pewnej
p aszczy nie P prostopad ej do i odleg ej o
od pocz tku uk adu wspó rz dnych, to wtedy
na tej p aszczy nie dla dowolnego ,
czyli dla danego t otrzymujemy tam sta faz
.
Równanie jest wi c równaniem fali p askiej.
Fale spr yste 4
Równanie falowe
We my równanie dowolnego zaburzenia o charakterze periodycznym, lub
nawet nieperiodycznym (np. pojedynczy impuls)
,
,
równanie falowe (jednowymiarowe), równanie
ró niczkowe ruchu falowego.
W kartezja skim uk adzie wspó rz dnych w trzech wymiarach
Operator Laplace a (laplasjan)
równanie falowe w przestrzeni trójwymiarowej
Jest to równanie ró niczkowe liniowe. Dopuszcza ono mo liwo
superpozycji: je li s rozwi zaniami tego równania, to równie
jest rozwi zaniem równania falowego.
Fale spr yste 5
Pr dko fal spr ystych w ciele sta ym
odkszta cenie
napr enie
Za o enie:
Fale pod u ne n a p r e ni e j e s t
normalne do czo a fali.
Prawo Hooke a E - modu Younga
,
wsp. spr ysto ci warstwy
Równanie ruchu warstwy o grubo ci
- si a dzia aj ca na mas
- g sto o rodka nieodkszta conego
Fale spr yste 6
Dla ma ych ogólnie mo na napisa
St d
Równanie ruchu
równanie ruchu cz stek o rodka jest wi c
równaniem falowym, w którym .
pr dko fazowa fal pod u nych w ciele sta ym
Mo na pokaza , e dla fal poprzecznych
- modu sztywno ci (modu spr ysto ci
poprzecznej)
Fale spr yste 7
G sto energii fali
g sto energii kinetycznej
g sto energii potencjalnej
G sto energii kinetycznej fali pod u nej
pr dko ruchu cz stek o rodka
Dla p askiej fali harmonicznej o równaniu
G sto energii potencjalnej fali pod u nej
Fale spr yste 8
St d dla p askiej fali harmonicznej o równaniu
Dla fali p askiej , a zatem g sto energii ca kowitej
rednia g sto energii ruchu falowego
Dla p askiej fali harmonicznej
Fale spr yste 9
Wektor g sto ci strumienia energii fali (wektor Poyntinga-Umowa)
Jest to wektor o kierunku zgodnym z kierunkiem rozchodzenia si fali i o
d ugo ci równej ilo ci energii ca kowitej przenoszonej przez fal przez
jednostkow powierzchni prostopad do kierunku rozchodzenia si fali w
jednostce czasu.
Dla p askiej fali harmonicznej
Strumie energii fali
Fale spr yste 10
Nat enie fali
Jest to rednia ilo energii ca kowitej przenoszonej przez fal przez
jednostkow powierzchni prostopad do kierunku rozchodzenia si fali w
jednostce czasu.
Dla fali biegn cej o jednej cz sto ci
Fala stoj ca a fala biegn ca
Fala stoj ca powstaje w wyniku na o enia si dwóch ci gów falowych o
jednakowych cz sto ciach, jednakowych amplitudach, ale biegn cych w
przeciwnych kierunkach.
,
Fale spr yste 11
Równanie fali emitowanej przez ród o punktowe
Jest to fala kolista (cylindryczna) lub fala kulista
r odleg o od ród a,
moc ród a,
boczna powierzchnia walca (fala kolista) albo powierzchnia
kuli (fala kulista), o promieniu r, w centrum których
znajduje si ród o.
Dla fali kolistej (cylindrycznej w warstwie o ma ej grubo ci h)
,
Dla fali kulistej
,
Fale spr yste 12
Dyspersja fal
O rodek jest dyspersyjny, je eli w tym o rodku
Wspó czynnik dyspersji
dyspersja normalna
brak dyspersji
dyspersja anomalna
Konsekwencje dyspersji fal
Paczka falowa (grupa fal) na o enie si fal niewiele ró ni cych si
cz sto ci mi dzy sob .
Fale spr yste 13
Sk adanie drga równoleg ych
Mamy dwa drgania sk adowe
Za o ymy, e . Je li tak nie jest to znak ( ) mo na
uwzgl dni w fazach , np.
Drganie wypadkowe dane jest równaniem
Z o enie dwóch drga równoleg ych o dowolnych amplitudach mo na
analizowa u ywaj c metody wektorowej lub metody wskazów.
Diagram wektorowy
Z twierdzenia kosinusów
,
Je li s funkcjami czasu to zarówno amplituda A jak i faza s
funkcjami czasu. Wyst puje modulacja amplitudy i fazy (b d cz sto ci)
Fale spr yste 14
Konsekwencje dyspersji fal, cd
W o rodku dyspersyjnym paczka falowa porusza si z pr dko ci inn ni
pr dko fazowa. We my pod uwag superpozycj dwóch fal biegn cych w
tym samym kierunku osi x
Fala wypadkowa
Na podstawie metody wskazów
Fale spr yste 15
Amplituda w paczce falowej przyjmuje sta warto dla pewnych warto ci
xg(t), dla których
Pr dko grupowa
Zakres cz sto ci w paczce falowej jest ma y, czyli
,
Zwi zek pr dko ci grupowej i fazowej
, ,
d - dyspersja o rodka
Fale spr yste 16