Fale w ośrodkach sprężystych
Fale mechaniczne - zaburzenie w ośrodku sprężystym (np. fale
dz
więkowe) - wynik wychylenia elementu ośrodka z położenia
równowagi przekazywane drgań kolejnym elementom ośrodka (sam
ośrodek nie przesuwa się, a jedynie jego elementy wykonują drgania w
ograniczonych obszarach przestrzeni).
Za pomocÄ… fal - przekazywanie energii (kinetycznej i potencjalnej
cząsteczek ośrodka).
Przenoszenie energii - poprzez materię, dzięki przemieszczaniu
się zaburzenia w materii, a nie dzięki ruchowi postępowemu
samej materii.
Rozchodzenie się fal mechanicznych - w ośrodku od z
ródła fali.
Podział fal ze względu na:
- kierunek drgań cząstek względem kierunku rozchodzenia się fali
kierunek
" poprzeczne (np. lina)
drgań
v
kierunek
" podłużne (np. sprężyna, dz
więk)
drgań
v
- czoło fali (powierzchnia łącząca punkty o jednakowych zaburzeniach
w danej chwili)
x
" płaskie (w jednym kierunku)
v
y
ródło fali
" kuliste
v
Ruch falowy
Fala poprzeczna biegnąca wzdłuż naprężonej liny.
vt
Y
W chwili t = 0 kształt liny opisuje funkcja
y = f(x)
X
gdzie y  przemieszczenie czÄ…steczek liny.
Po czasie t fala przesuwa się o vt w prawo (v - prędkość fali). Zatem
po czasie t równanie fali:
y = f(x - vt)
Dla wybranej fazy:
x - vt = const.
d x
Po zróżniczkowaniu względem czasu :
- v = 0
d t
d x
czyli prędkość fazowa
= v
d t
Uwaga - dla danej chwili czasu t mamy równanie y=f(x),
a dla danego punktu x - równanie y=f(t).
Założenie: w chwili t = 0 kształt liny jest opisany funkcją harmoniczną:
2Ä„
y = Asin x

gdzie A - maksymalne wychylenie.
Wychylenie jest takie samo w punktach x, x + , x + 2, x + 3 itd.
Wielkość  - długość fali (odległość między kolejnymi powtórzeniami



 kształtu fali różnica fazy 2Ą).
Jeżeli fala biegnie w prawo, to po czasie t:

Y
2Ä„
X
y = Asin (x -vt)
równanie fali biegnącej

Okres T - czas, w którym fala przebiega odległość równą  więc:



 = vT



x t
ëÅ‚ öÅ‚
stÄ…d:
y = Asin 2Ä„ -
ìÅ‚ ÷Å‚
 T
íÅ‚ Å‚Å‚
Taka sama faza - w punktach x, x + , x + 2, x + 3...
w danym miejscu - faza powtarza siÄ™ w chwilach t, t + T, t +2T...
Nowe wielkości:
liczba falowa k = 2Ä„  i czÄ™stość É = 2Ä„
Ä„/ É Ä„/T
Ä„  É Ä„
Ä„  É Ä„
Wówczas: y = Asin(kx-É lub y = Asin(kx+É
Ét) Ét)
É É
É É
fale biegnÄ…ce w prawo lub w lewo.
Prędkość fazowa:
 É
v = =
T k
Prędkość fali w napiętej linie
Symetryczny impuls w linie
T - siła naprężenia liny rozciągająca odcinek
R
T T
µ - liniowa gÄ™stość liny
µ
µ
µ
O
T
v
Ò!
v =
µ
Prędkość fali w idealnie napiętej linie zależy jedynie od naprężenia i gęstości
liniowej liny, nie zależy od częstości fali.
Prędkość fali v - zależna od właściwości ośrodka
CzÄ™stość fali É - ustalona caÅ‚kowicie przez czynnik wytwarzajÄ…cy falÄ™.
É
É
É
Długość fali - określona przez zależność:  = vT = v / f



gdzie f - częstotliwość fali
Energia fali biegnÄ…cej w linie
y(x,t) = Asin(kx -Ét)
Fala płaska:
Średnia szybkość, z jaką przenoszona jest energia kinetyczna:
dEk 1
( )Å›r = µvÉ2A2
dt 4
gdzie µ - gÄ™stość liniowa
µ
µ
µ
dEp
ëÅ‚ öÅ‚
dEk
ëÅ‚ öÅ‚
= ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
dt
íÅ‚ Å‚Å‚Å›r ìÅ‚ dt ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚Å›r
Średnia moc, czyli średnia szybkość, z jaką oba rodzaje energii
(kinetyczna i potencjalna) sÄ… przenoszone przez falÄ™:
dEk
öÅ‚
1
2
PÅ›r = 2ëÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
czyli:
PÅ›r = µvÉ A2
dt
íÅ‚ Å‚Å‚Å›r
2
Zależność PÅ›r<" A2É2 - dla wszystkich rodzajów fal
<" É
<" É
<" É
Zasada superpozycji fal
Przemieszczenie w wyniku nakładania się dwóch fal biegnących wzdłuż
napiętej liny:
yw = y1(x,t) + y2(x,t)
Nakładające się fale dodają się algebraicznie fala wypadkowa
Nakładające się fale w żaden sposób nie wpływają na siebie wzajemnie.
Interferencja fal
Rozważmy dwie fale o równych częstotliwościach i amplitudach, ale o
fazach różniÄ…cych siÄ™ o Õ:
y1 = Asin(kx  Ét  Õ) y2 = Asin(kx  Ét)
É Õ É
É Õ É
É Õ É
Fala wypadkowa z zasady superpozycji:
yw = y1 + y2 = Asin(kx  Ét  Õ) + Asin(kx  Ét)
É Õ É
É Õ É
É Õ É
1 1
sinÄ… + sin ² = 2sin (Ä… + ² )cos (Ä… - ² )
2 2
yw(x,t) = 2Acos(Õ/2)sin(kx  Ét  Õ/2)
przemieszczenie amplituda
czynnik oscylacyjny
- fala sinusoidalna biegnÄ…ca w dodatnim kierunku osi x
Dla Õ = 0 fale spotykajÄ… siÄ™ zgodnie w fazie wzmocnienie -
Õ
Õ
Õ
interferencja całkowicie konstruktywna
yw(x,t) = 2Asin(kx  Ét)
Dla Õ = Ä„ (1800) fale spotykajÄ… siÄ™ w fazie przeciwnej wygaszenie -
Õ Ä„
Õ Ä„
Õ Ä„
interferencja całkowicie destruktywna
yw(x,t) = 0
Interferencja
z 2 z
ródeł punktowych
Fale stojÄ…ce
Rozważmy dwie fale sinusoidalne biegnące w przeciwnych
kierunkach - fala padajÄ…ca i odbita :
A1 = A2
y1 = Asin(kx  Ét) y2 = Asin(kx + É
É É
É Ét)
É É
Fala wypadkowa:
y = y1 + y2 = 2AsinkxcosÉ - równanie fali stojÄ…cej
Ét
É
É
Właściwości fali stojącej:
- cząstki drgają ruchem harmonicznym prostym z tą samą częstością
- amplituda drgań (2Asinkx) zmienia się wraz z położeniem cząstki x
punkty o maksymalnej amplitudzie, dla których zachodzi |sinkx| = 1
kx = Ä„/2, 3Ä„/2, 5Ä„/2, itd. czyli x = /4, 3/4, 5/4 itd.
1 
gdzie n=0,1,2,...
x = (n + )
2 2
nazywamy strzałkami
punkty o amplitudzie zerowej, dla których zachodzi sinkx = 0
- kx = Ä„, 2Ä„, 3Ä„ itd. czyli x = /2, , 3/2 itd.

gdzie n=0,1,2,...
x = n
2
nazywamy węzłami.
- Fala stojąca nie przenosi energii (np. wzdłuż liny) bo nie może ona
przepłynąć przez węzły. Energia jest na stałe zmagazynowana w
poszczególnych elementach ośrodka.
Układy drgające
Zamocowana struna - fale poprzeczne fala stojąca o różnej
długości, spełniającej warunek (rezonanse):
StÄ…d
2L
v n n T
v
fn = = v =
n =  = vT = częstotliwość
 2L 2L µ
f
n
rezonansów:
 = 2L
1
 = L
2
L = n/2
 = 2L/3
3
n = 0, 1, 2,...
 = L/2
4
L
Prędkość dz
więku - fala podłużna w gazie
v
Drgający tłok zmiana objętości gazu rozchodzenie się fali
"p
moduł ściśliwości
gdzie:
B = -
B
objętościowej (B>0)
"V /V
v =
Á
"V/V - względna zmiana objętości
"
"
"
wywołana przez zmianę ciśnienia "p
"
"
"
Á - gÄ™stość oÅ›rodka
Á
Á
Á
Prędkość dz
więku w powietrzu - 331 m/s; w wodzie (200C) - 1482 m/s
Natężenie i głośność dz
więku
Natężenie I fali dz
więkowej na pewnej powierzchni - średnia szybkość, na
jednostkÄ™ powierzchni, z jakÄ… fala dostarcza energiÄ™ do tej powierzchni (lub
przenosi przez niÄ… energiÄ™):
gdzie: P - szybkość przenoszenia energii (moc)
P
I = fali dz
więkowej
s
s - pole powierzchni odbierajÄ…cej dz
więk
" Cała energia emitowana przez z
ródło
punktowe
musi przejść przez powierzchnię sfery
z
ródło fali
o promieniu r
dz
więkowej
r
" Szybkość przenoszenia energii przez
tę sferę = szybkości emisji energii
przez z
ródło (moc z
ródła Pz
r)
Emisja dz
więku -
izotropowa
Pz
r
I =
Natężenie dz
więku na sferze:
4Ä„r2
Skala głośności dz
więku
Amplituda przemieszczenia w ludzkim uchu - w zakresie od 10-11 do 10-5 m
I
Głośność dz
więku:
² = (10dB)log
I0
Jednostka - 1 decybel (dB); 1 dB = 10 B Alexander Graham Bell
I0 - standardowe natężenie odniesienia dolna granica słyszalności
ludzkiego ucha
I0 = 10-12W / cm2
Głośność wybranych dz
więków
(dB)
próg słyszalności 0
Dla I = I0 ² = 10 log1=0 dB
szum liści 10
rozmowa 60
Dla I = 104 I0 ² = 10 log104 = 40 dB
koncert rockowy 110
granica bólu 120
silnik odrzutowy 130
Dudnienia - modulacja amplitudy
Interferencja w czasie - gdy przez dany punkt w przestrzeni
przebiegają w tym samym kierunku fale o trochę różnych
częstotliwościach. Wychylenie wypadkowe:
f1 - f2 f1 + f2
îÅ‚2Acos 2Ä„ ëÅ‚ öÅ‚t
y = tłł cos 2Ą
ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚ śł
2 2
ðÅ‚ ûÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Częstotliwość drgań wypadkowych: fsrednie = (f1 + f2)/2
Częstotliwość modulacji amplitudy drgań wypadkowych:
famp = (f1  f2)/2
y
t
y
t
Zjawisko Dopplera
Christian Doppler (1842 r) - barwa świecącego ciała (częstotliwość)
zmienia się w trakcie ruchu względnego obserwatora lub z
ródła.
Zjawisko Dopplera występuje dla wszystkich fal.
Fale dz
więkowe
Przypadek ruchu z
ródła i obserwatora wzdłuż łączącej ich prostej.
y
ródło dz
więku spoczywa, a obserwator porusza się w kierunku
z
ródła z prędkością vo. Nieruchomy obserwator odbierałby vt/ fal w



czasie t. W ruchu odbiera dodatkowo vot/ fal. Częstość słyszana



przez obserwatora:
vt vot
+
v + vo v + vo
 
=
f '= =
v

t
f
ëÅ‚ öÅ‚
v Ä… v0
ìÅ‚ ÷Å‚
Wszystkie przypadki: f `= f
ìÅ‚
v vz ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
gdzie: f' - częstotliwość odbierana przez obserwatora
f - częstotliwość z
ródła
v - prędkość fali,
vo - prędkość obserwatora
vz - prędkość z
ródła.
Znaki plus/minus "górne" odpowiadają zbliżaniu się, a znaki dolne
oddalaniu siÄ™ obserwatora i z
ródła.