DRGANIA HARMONICZNE
x(t) = A cos(Ét + Õ )
EWR 2010 drgania harmoniczne / 1
DRGANIA HARMONICZNE
różne amplitudy A
różne częstości
koÅ‚owe É
T =2Ä„ /É
różne fazy
poczÄ…tkowe Õ
EWR 2010 drgania harmoniczne / 2
WARUNKI KONIECZNE
" siła kierująca
F = - kx
" bezwładność
EWR 2010 drgania harmoniczne / 3
RÓWNANIE RUCHU
ma = - kx
2
d x k
= - x
2
m
dt
RozwiÄ…zanie w postaci :
x(t) = A cos( Ét + Õ )
EWR 2010 drgania harmoniczne / 4
SPRAWDZENIE:
x(t) = Acos(Ét + Õ)
v(t) = -AÉ sin(Ét + Õ)
2
a(t) = -AÉ cos(Ét +Õ)
2
a(t) = -É x(t)
k
2
É =
m
x(t) = Acos(Ét+Õ) jest rozwiÄ…zaniem równania
2
d x k
= - x
2
m
dt
EWR 2010 drgania harmoniczne / 5
ROZWI
ZANIE RÓWNANIA RUCHU
Funkcja
x(t) = Acos(Ét+Õ)
jest rozwiązaniem równania
ma = - kx
pod warunkiem, że
k
2
É =
m
StaÅ‚e A i Õ mogÄ… być dowolne - wyznaczamy je
z warunków początkowych.
EWR 2010 drgania harmoniczne / 6
 WAHADA
O MATEMATYCZNE
ds = L d¸
prędkość
ds d¸
v = = L
dt dt
przyspieszenie
2
dv d ¸
a = = L
dt dt2
siła powodująca drgania
F = - mg sin ¸
EWR 2010 drgania harmoniczne / 7
WAHADA
O MATEMATYCZNE
ma = F
2
d ¸
mL = -mg sin¸
dt2
2
d ¸ g
= - sin¸
L
dt2
sin¸ H" ¸
Dla małych kątów, dla których
2
d ¸ g
g
H" -ëÅ‚ öÅ‚¸ 2
É =
ìÅ‚ ÷Å‚
dt2 L
íÅ‚ Å‚Å‚ L
EWR 2010 drgania harmoniczne / 8
SUPERPOZYCJA DRGAC

Równanie różniczkowe
2
d x
2
+ É x = 0
2
dt
jest liniowe i jednorodne.
Suma dwóch dowolnych rozwiązań takiego równania jest też jego rozwiązaniem.
ZASADA SUPERPOZYCJI DRGAC

Jeśli ciało podlega jednocześnie kilku drganiom to jego wychylenie z
położenia równowagi jest sumą wychyleń wynikających z każdego ruchu.
EWR 2010 drgania harmoniczne / 9
SUPERPOZYCJA DRGAC

Dwa rozwiÄ…zania:
" dla warunków początkowych x10, v10
rozwiÄ…zanie x1(t)
" dla warunków początkowych x20, v20
rozwiÄ…zanie x2(t)
Jeżeli x0 = x10 + x20 a v0 = v10 + v20
to rozwiÄ…zaniem jest x(t) = x1(t) + x2(t)
EWR 2010 drgania harmoniczne / 10
OBRACAJ
CY SI
WEKTOR AMPLITUDY
JeÅ›li wektor o dÅ‚ugoÅ›ci A obraca siÄ™ z prÄ™dkoÅ›ciÄ… kÄ…towÄ… É w kierunku
przeciwnym do ruchu wskazówek zegara to jego rzut na oś x wynosi
x = A cos( É t + Õ )
0
EWR 2010 drgania harmoniczne / 11
SKA
ADANIE DRGAC
1
Drgania o tej samej częstości ale o różnych amplitudach i fazach
Åš (t ) = Ét + Õ
i i 0
i = 1, 2
2 2
A2 = A1 + A2 - 2A1A2 cos(Õ02 -Õ01)
y
tgÕ0 =
x
A1 sin Õ01 + A2 sin Õ02
tgÕ0 =
A1 cosÕ01 + A2 cosÕ02
r r r
x = A cos(Ét + Õ0 )
A(t) = A1(t) + A2 (t)
EWR 2010 drgania harmoniczne / 12
SKA
ADANIE DRGAC
2
Drgania o tej samej częstości ale o różnych kierunkach
wahadło sferyczne (o dwóch stopniach swobody)
2
Å„Å‚
d x Mg
ôÅ‚M dt = - l x
2
ôÅ‚
òÅ‚
2
ôÅ‚M d y = - Mg y
l
2
ôÅ‚
ół dt l
x(t) = A1 cos(É0t + Õ1)
y(t) = A2 cos(É0t + Õ2 )
M
É0 = g / l
EWR 2010 drgania harmoniczne / 13
 SKA
ADANIE DRGAC
3
Drgania o różnych częstościach i różnych kierunkach
x = A1 cos(É1t +Õ1)
y = A2 cos(É2t +Õ2)
tor punktu mieści się wewnątrz prostokąta 2A1 , 2A2.
EWR 2010 drgania harmoniczne / 14
 DODAWANIE DRGAC
4
Drgania o tym samym kierunku ale różnych częstościach
x1 = A cos É t
1
Ä… + ² Ä… - ²
cosÄ… + cos ² = 2cos cos
x2 = A cos É t
2
2 2
x = x1 + x2 = A cos É1t + cos É2t
( )
É1 + É2 É1 - É2
x = 2 A cos t Å" cos t
2 2
x = 2AcosÉmodt Å"cosÉÅ›rt
1
1
É = É1 + É
( ) Émod = É1 - É2
( )
śr 2
2 2
Przy niewielkiej różnicy częstości otrzymujemy dudnienia.
EWR 2010 drgania harmoniczne / 15
DUDNIENIA
EWR 2010 drgania harmoniczne / 16
ANALIZA FOURIERA
Dowolne złożone drganie okresowe o okresie T można przedstawić
w postaci sumy prostych drgań harmonicznych o częstościach kołowych
bÄ™dÄ…cych wielokrotnoÅ›ciami podstawowej czÄ™stoÅ›ci koÅ‚owej É
É = 2Ä„ / T
"
a0
f (t) = + (an cos nÉt + bn sin nÉt)
"
2
n=1
lub
"
a0
f (t) = + An sin( nÉt + Õ )
" n
2
n=1
EWR 2010 drgania harmoniczne / 17
ANALIZA FOURIERA
"
a0
f (t) = + (an cos nÉt + bn sin nÉt)
"
2
n=1
T / 2
2
an = f (t)cosnÉt dt n = 1,2,3,....
( )
+"
T
-T / 2
T / 2
2
bn = f (t)sin nÉt dt n = 1,2,3,...
( )
+"
T
-T / 2
EWR 2010 drgania harmoniczne / 18
ENERGIA DRGAC

1. Energia potencjalna
x x
1
2
U = Fz dx = kxdx = kx
+" +"
2
0 0
wychylenie z położenia równowagi
x = A cos(É0t - Õ0 )
1
2
U = kA2 cos (É t - Õ )
0 0
2
EWR 2010 drgania harmoniczne / 19
k=mÉ0
ENERGIA DRGAC

2. Energia kinetyczna
1
2
T = mv
2
prędkość
v = -É A sin(É t - Õ )
0 0 0
1
2 2
T = mÉ0 A2 sin (É0t - Õ0 )
2
EWR 2010 drgania harmoniczne / 20
ENERGIA CAA
KOWITA DRGAC

1
2 2
T = mÉ A2 sin (É t - Õ )
0 0 0
2
1
2
U = mÉ0 A2 cos2 (É0t - Õ0 )
2
1
2 2 2 2
E (t) = mÉ A [sin (É t - Õ ) + cos (É t - Õ )]
0 0 0 0 0
2
1
2
E = mÉ0 A2
2
Jeżeli w układzie nie występuje tłumienie przez siły oporu to amplituda
drgań jest stała.
Energia całkowita drgań harmonicznych o stałej amplitudzie jest stała.
EWR 2010 drgania harmoniczne / 21
ENERGIA DRGAC

Zależność od czasu
Energia całkowita drgań harmonicznych o stałej amplitudzie jest stała.
EWR 2010 drgania harmoniczne / 22
ENERGIA DRGAC

Zależność od położenia:
1
2
E = kx
p
2
Ek(x) = E - Ep(x)
EWR 2010 drgania harmoniczne / 23
PRZYKA
ADY DRGAC

rysunki z książek:
Halliday, Resnick, Walker, Podstawy
fizyki, tom 2, PWN 2003
Jaworski Dietłaf, Fizyka, poradnik
encyklopedyczny, PWN 2000
EWR 2010 drgania harmoniczne / 24