F12 drgania harmoniczne

RUCH PERIODYCZNY
Masa na sprężynie
T = 2Ą /�
m
T = 2Ą
k
Wahadło
drgania harmoniczne / 1
DRGANIA HARMONICZNE
x (t ) = A co s(� t + � )
swobodne oscylacje
różne amplitudy,
A
różne częstości
kołowe, �
różne fazy
początkowe �
drgania harmoniczne / 2
DRGANIA HARMONICZNE
Potrzebne:
" siła kierująca F = - kx
" bezwładność
Równanie ruchu ma = - kx :
2
d x k
= - x
2
m
dt
szukamy rozwiązania w postaci :
x(t) = A cos( �t + � )
Sprawdzenie:
x(t) = Acos(�t + � )
v(t) = -A� sin(�t + �)
2
a(t) = -A� cos(�t +�)
2
a(t) = -� x(t)
x(t) jest rozwiązaniem pod warunkiem, że
k
2
� =
m
stałe A i � wyznaczamy z warunków początkowych.
drgania harmoniczne / 3
WAHADAO MATEMATYCZNE
energia potencjalna
przyspieszenie
ds = l d�
ds d�
v = = l
dt dt
2
dv d �
a = = l
2
dt
dt
siła powodująca drgania
F = - mg sin �
2
d �
ml = -mg sin�
dt2
drgania harmoniczne / 4
WAHADAO MATEMATYCZNE
2
d � g
= - sin �
2
dt l
Dla małych kątów szereg Taylora1 wokół � = 0
3 5
� �
sin� = � - + + .........
3! 5!
sin� H"�
dla małych � � 3 << �
�
�
�
2
g
d �
2
2
= -� � �0 =
0
2
dt l
� (t) = Acos(�0t -�0 )
dla dużych �
�
�
�
(x - x0 )n (n)
f (x) = f (x0 )
"
1
n!
n
drgania harmoniczne / 5
OBWÓD Z PRDEM
obwód LC
dI
VL = -L
dt
2
d Q
VL = -L
dt2
Q
VC =
C
Suma napięć w obwodzie zamkniętym
VL + VC = 0
2
d Q 1
L + Q = 0
2
dt C
2
d Q 1
+ Q = 0
2
dt LC
2
d Q
2
= -� Q
2
dt
1
2
� =
LC
drgania harmoniczne / 6
SUPERPOZYCJA DRGAC
Równanie różniczkowe
2
d x
2
+ � x = 0
2
dt
jest liniowe i jednorodne. Suma dwóch dowolnych rozwiązań
takiego równania jest też jego rozwiązaniem.
ZASADA SUPERPOZYCJI DRGAC
Jeśli ciało podlega jednocześnie kilku drganiom to jego
wychylenie z położenia równowagi jest sumą wychyleń
wynikających z każdego ruchu.
Dwa rozwiązania:
" dla warunków początkowych x10, v10
rozwiązanie x1(t)
" dla warunków początkowych x20, v20
rozwiązanie x2(t)
Jeżeli x0 = x10 + x20 a v0 = v10 + v20
to rozwiązaniem jest x(t) = x1(t) + x2(t)
drgania harmoniczne / 7
OBRACAJCY SI WEKTOR AMPLITUDY
Jeśli wektor o długości A obraca się z prędkością kątową
� w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara to
jego rzut na oś x wynosi
x = A cos( � t + � )
0
drgania harmoniczne / 8
SKAADANIE DRGAC
" drgania przesunięte w fazie
xi = Ai cos( �t + � )
A = A1 + A2
i
2 2
A = A12 + A2 - 2 A1 A2 cos( � - � )
2 1
y
tg � =
x
A1 sin � + A2 sin �
1 2
tg � =
A1 cos � + A2 cos �
1 2
drgania harmoniczne / 9
SKAADANIE DRGAC
" dwa stopnie swobody - wahadło sferyczne
l
M
2
ńł
d x Mg
�łM dt = - l x
2
�ł
�ł
2
�łM d y = - Mg y
2
�ł
ół dt l
x(t) = A1 cos(� t + �1 )
0
y(t) = A2 cos(�0t + � )
2
�0 = g / l
gdzie
Ć
r = xx(t) + wy(t)
drgania harmoniczne / 10
SKAADANIE DRGAC
" różne częstości i kierunki
x = A1 cos(�1t + �1)
y = A2 cos(� t + � )
2 2
tor punktu mieści się wewnątrz prostokąta 2A1 , 2A2.
figury
Lissajous
drgania harmoniczne / 11
SKAADANIE DRGAC
" Różne częstości i ten sam kierunek
x1 = A cos � t
1
x2 = A cos � t
2
ą + � ą - �
cosą + cos � = 2cos cos
2 2
2
x = x1 + x2 = A cos �1t + cos �2t
( )
�1 + �2 �1 - �2
x = 2 A cos t �" cos t
2 2
x = 2Acos�modt �"cos�śrt
1
1
�śr = �1 + �2
( ) �mod = �1 -�2
( )
2 2
Przy niewielkiej różnicy częstości otrzymujemy dudnienia.
drgania harmoniczne / 12
ANALIZA FOURIERA
Dowolne złożone drganie okresowe o okresie T można
przedstawić w postaci sumy prostych drgań
harmonicznych o częstościach kołowych będących
wielokrotnościami podstawowej częstości kołowej �
� = 2Ą / T
"
a0
f (t) = +
( ) ( )
"[a cos n�t + bn sin n�t ]
n
2
n=1
lub
"
a0
f (t) = + An sin(n�t + �n )
"
2
n=1
gdzie współczynniki
T / 2
2
an = f (t)cos n�t dt n =1,2,3,...
( )
+"
T
-T / 2
T / 2
2
bn = f (t)sin n�t dt n =1,2,3,...
( )
+"
T
-T / 2
drgania harmoniczne / 13
ENERGIA DRGAC
x = A cos( � t - � )
0 0
v = -� A sin(� t - � )
0 0 0
" Energia kinetyczna
1
2
T = mv
2
1
2 2
T = m�0 A2 sin (�0t - �0 )
2
" Energia potencjalna
x x
1
2
U = F dx = kxdx = kx
z
+" +"
2
0 0
1
2 2
U = kA cos (� t - � )
0 0
2
k=m�02
drgania harmoniczne / 14
ENERGIA DRGAC
" Energia kinetyczna (T a" Ek)
1
2 2
T = m� A2 sin (� t - � )
0 0 0
2
" Energia potencjalna (U a" Ep)
1
2 2
U = kA cos (� t - � )
0 0
2
k=m�02
Energia całkowita
1
2 2 2
E (t) = m�0 A2[sin (� t - � ) + cos (�0t - � )]
0 0 0
2
1
2
E = m�0 A2
2
E całkowita jest stała
Zależność od czasu
Zależność od położenia:
1
2
E = kx
p
2
Ek(x) = E - Ep(x)
drgania harmoniczne / 15
WYCHYLENIE Z POAOŻENIA
RÓWNOWAGI
A
drgania harmoniczne / 16

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Fizyka 1 drgania harmoniczne 2011
Z9 Drgania Harmoniczne
Drgania harmoniczne
Biedrzyński D , Pojęcie harmonii w filozofii Empedoklesa
Harmonogram na lata 07 2011
drgania 3
Diagnoza Dysleksji Harmonia E book
HARMONIA WSZECHŚWIATA
Drgania2010
drgania2(1)

więcej podobnych podstron