29-12-00 G:\AA_Wyklad 2000\FIN\DOC\Chaos.doc
 Drgania i fale II rok Fizyki BC
Ruch chaotyczny wahadła:
Drgania wymuszone  duże amplitudy:

¨ + Å‚¨ + ( g / l )sin¨ = (T / ml2 )cosÉt
1
29-12-00 G:\AA_Wyklad 2000\FIN\DOC\Chaos.doc
 Drgania i fale II rok Fizyki BC
2
29-12-00 G:\AA_Wyklad 2000\FIN\DOC\Chaos.doc
 Drgania i fale II rok Fizyki BC
1. Możliwe kryteria chaotyczności ruchu (wg
Schustera):
- czasowa zależność sygnału (wychylenia) od czasu
 wyglÄ…da chaotycznie,
- w widmie mocy występuje szerokopasmowy szum,
- raptowny zanik korelacji między kolejnymi sygnałami,
- w odwzorowaniu Poincarego punkty wypełniają
przestrzeń.
Przestrzeń fazowa: Możliwe stany układu. Każdy punkt
odpowiada jednemu stanowi.
Trajektoria: rozwiązanie równania ruchu. Krzywa w
przestrzeni fazowej sparametryzowana zmiennÄ…
czasowÄ….
3
29-12-00 G:\AA_Wyklad 2000\FIN\DOC\Chaos.doc
 Drgania i fale II rok Fizyki BC
Przekrój Poincarego:
Przykłady:
4
29-12-00 G:\AA_Wyklad 2000\FIN\DOC\Chaos.doc
 Drgania i fale II rok Fizyki BC
5
29-12-00 G:\AA_Wyklad 2000\FIN\DOC\Chaos.doc
 Drgania i fale II rok Fizyki BC
Atraktor: obszar w przestrzeni fazowej (ograniczony),
do którego asymptotycznie, dla długich czasów,
przyciÄ…gane sÄ… wszystkie dostatecznie bliskie
trajektorie (z tzw. obszaru przyciÄ…gania).
Dziwny: wrażliwy na warunki początkowe.
a) - położenie równowagi, b)  orbita okresowa,
c)  orbita quasiokresowa, d)  atraktor chaotyczny.
Kryterium ilościowe  wykładnik Lapunowa.
6
29-12-00 G:\AA_Wyklad 2000\FIN\DOC\Chaos.doc
 Drgania i fale II rok Fizyki BC
Wykładnik Lapunowa:
R(0) - stan początkowy układu,
R(t) - trajektoria układu.
Chaos pojawia się, gdy istnieje nieprzeliczalny zbiór
trajektorii sąsiadujących dla t = 0, które oddalają się
wykładniczo dla dużych czasów:
lim "R(t) E" "R(0)exp( t);  > 0
t"
-1
lim[t ln "R(t)]=  > 0
t"
dli (t)
-1
Dla rysunku: i = limîÅ‚t ln
ïÅ‚ gdzie li-dÅ‚ugość i-
t"
dr
ðÅ‚
tej osi głównej elipsoidy.
7
29-12-00 G:\AA_Wyklad 2000\FIN\DOC\Chaos.doc
 Drgania i fale II rok Fizyki BC
DrgajÄ…cy punkt zaczepienia:
Szukamy równania ruchu:
x = l sin¸ ; y = h( t ) + l cos¸
Energia potencjalna i kinetyczna:
2 2
. .
1
T = m( x + y ) V = mgy
2
Lagrangian ( L = T -V ):
2 2
. . . .
m
L = ( l2 ¸ + h - 2l h¸ sin¸ ) + mg( h + l cos¸ )
2
d dL dL
Równanie Eulera-Lagrange a ( = ):
dt d¸ d¸
. . . .
d îÅ‚m
ëÅ‚2l2 ¸- 2l h sin¸
=
ìÅ‚ -ml h¸ cos¸ - mg l sin¸
ïÅ‚
dt 2
íÅ‚
ðÅ‚
8
29-12-00 G:\AA_Wyklad 2000\FIN\DOC\Chaos.doc
 Drgania i fale II rok Fizyki BC
..
îÅ‚ Å‚Å‚
g
ïÅ‚1 - h śł

¸ + sin ¸ = 0
l ïÅ‚ g śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Niech h( t ) = hcosÉt
îÅ‚ Å‚Å‚
hÉ2
g

¸ + É02 ïÅ‚1 + cos Étśł sin ¸ = 0 É0 =
l
g
ðÅ‚ ûÅ‚
h É
Niech Ä = É0t, H = , &! = :
l É0
2 2
¸ + ( 1 + H&!2 cos &!Ä )sin¸ = 0
2 2
(¸ oznacza różniczkowanie wzglÄ™dem Ä )
W zależnoÅ›ci od warunków poczÄ…tkowych, h oraz É
ruch periodyczny, regularny lub chaotyczny.
Na płaszczyz
nie fazowej zaznaczamy kąt i prędkość
kątową w momentach, gdy punkt zawieszenia wahadła
zajmuje najniższe poÅ‚ożenie (przekrój Poincaré).
9
29-12-00 G:\AA_Wyklad 2000\FIN\DOC\Chaos.doc
 Drgania i fale II rok Fizyki BC
10
29-12-00 G:\AA_Wyklad 2000\FIN\DOC\Chaos.doc
 Drgania i fale II rok Fizyki BC
Położenia punktów, choć rozrzucone nieregularnie, są
określone przez równanie różniczkowe i warunki
poczÄ…tkowe  chaos deterministyczny.
11