Fizyka w szkole - Ruch obrotowy - wersja do wydruku Strona 1 z 9
Ruch obrotowy
Ruch obrotowy jednostajny
Na co dzień ka\
dy z nas spotyka się z ruchem obrotowym. W technice stosuje się często ró\
nego rodzaju wały
lub koła. W ruchu tym torem ruchu punktu jest okrąg, natomiast torem ruchu wszystkich punktów ciała
poruszającego się ruchem obrotowym są okręgi współśrodkowe, przy czym środki tych okręgów le\
ą na
jednej prostej, niebiorącej udziału w ruchu i zwanej osią obrotu.
r, r1 - promienie wodzące
s, s1 - drogi liniowe
Na rysunku zostały przedstawione drogi przebyte przez punkty A i B w jednakowym czasie. Odpowiadający
drogom liniowym kąt obrotu ciał jest równy dla wszystkich punktów biorących udział w ruchu i nosi nazwę drogi
kątowej.
- droga kątowa
Zgodnie z określeniem miary łukowej kąta , mamy:
Droga liniowa s dowolnego punktu obracającego się ciała jest równa iloczynowi drogi kątowej a i jego
promienia wodzącego r.
Do określanie ruchu obrotowego u\
ywa się wielkości zwanej prędkością kątową.
Prędkością kątową nazywany stosunek przyrostu drogi kątowej do przyrostu czasu, w którym została
zakreślona.
Jednostką prędkości kątowej jest radian na sekundę (rad/s).
Ruchem obrotowym jednostajnym nazywamy taki ruch, w którym zakreślona droga kątowa jest wprost
proporcjonalna do czasu, a więc w którym prędkość kątowa ma wartość stałą.
W ruchu obrotowym jednostajnym prędkość kątowa jest równa:
Ka\
dy punkt ciała poruszającego się ruchem obrotowym jednostajnym ma równie\
określoną prędkość liniową,
która wynosi:
http://fizyka.kopernik.mielec.pl/fizyka/Ruch_obrotowy/print 2007-05-16
Fizyka w szkole - Ruch obrotowy - wersja do wydruku Strona 2 z 9
Prędkość liniowa dowolnego punktu obracającego się ciała jest równa iloczynowi prędkości kątowej i promienia
wodzącego tego punktu.
W opisie ruchu obrotowego jednostajnego u\
ywa się tak\
e częstotliwości i okresu obrotu.
T - okres obrotu, czyli czas jednego całkowitego obrotu
f - częstotliwość, czyli liczba pełnych obrotów wykonanych w czasie jednej sekundy
Uwzględniając częstotliwość i okres obrotu, wzory na prędkość kątową i prędkość liniową przybierają postać:
Ruch obrotowy jednostajnie zmienny
W ruchu obrotowym zmiennym prędkość kątowa nie jest wielkością stałą. Wyznaczyć mo\
na w tym ruchu
średnią prędkość kątową (korzystając ze wzoru na prędkość kątową w ruchu obrotowym jednostajnym) oraz
prędkość chwilową, która jest określana jako granica, do której dą\
y stosunek przyrostu drogi kątowej do
przyrostu czasu, gdy przyrost ten dą\
y do zera:
Najczęściej w czasie rozruchu i hamowania kół, spotykamy się z ruchem obrotowym jednostajnie zmiennym, w
którym stosunek przyrostu prędkości kątowej do przyrostu czasu, w którym ten przyrost zachodzi, jest
wielkością stałą i nosi nazwę przyspieszenia kątowego.
Jednostką przyspieszenia kątowego jest rad/s2. Przyspieszenie kątowe jest wektorem i ma kierunek przyrostu
prędkości kątowej.
W ruchu tym istnieje równie\
przyspieszenie liniowe, które jest równe:
Podstawiając i , otrzymujemy zale\
ność między przyspieszeniem liniowym a
przyspieszeniem kątowym:
Przyspieszenie liniowe dowolnego punktu obracającego się ciała jest równe iloczynowi przyspieszenia
kątowego i promienia wodzącego tego punktu.
Równanie prędkości kątowej ruchu obrotowego jednostajnie zmiennego:
http://fizyka.kopernik.mielec.pl/fizyka/Ruch_obrotowy/print 2007-05-16
Fizyka w szkole - Ruch obrotowy - wersja do wydruku Strona 3 z 9
Równanie drogi kątowej tego ruchu:
Moment obrotowy
Na ruch obrotowy ciał ma wpływ nie tylko wielkość i kierunek działającej siły, ale równie\
poło\
enie jej linii
działania. Rozwa\
my to na przykładzie krą\
ka umieszczonego obrotowo na osi O.
Je\
eli siła będzie działać wzdłu\
linii:
1 - to krą\
ek będzie się obracał dookoła osi O zgodnie z kierunkiem wskazówek zegara,
2 - to krą\
ek będzie się obracał dookoła osi O przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek zegara,
3 - to krą\
ek zostanie dociśnięty do osi obrotu O i pozostanie nieruchomy.
Jak widzimy skutek działania siły na ciało zale\
y więc nie tylko od jej wielkości, ale równie\
od poło\
enia linii
działania siły względem określonego punktu. W naszym przykładzie mówimy, \
e w przypadku pierwszym i
drugim istnieje moment siły, a w przypadku trzecim nie występuje moment siły, więc krą\
ek pozostaje
nieruchomy.
Momentem M siły F względem dowolnego punktu O lub momentem obrotowym nazywamy wektor, którego
wartość równa jest iloczynowi ramienia r siły F, a więc odległości linii działania siły od punktu O oraz siły F.
Jednostką momentu siły w układzie SI jest niutonometr ( ).
Moment siły względem punktu O jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny, w której le\
y ten punkt i linia
działania siły F. Ma on znak:
a. dodatni, gdy siła jest skierowana względem punktu O i obraca ciała zgodnie z kierunkiem wskazówek
zegara
b. ujemny, gdy kierunek obrotu ciała jest przeciwny
c. jest równy zeru, gdy linia działania siły przechodzi przez punkt O
http://fizyka.kopernik.mielec.pl/fizyka/Ruch_obrotowy/print 2007-05-16
Fizyka w szkole - Ruch obrotowy - wersja do wydruku Strona 4 z 9
Praca i moc w ruchu obrotowym
Wprawienie ciała w ruch obrotowy związane jest z wykonaniem pracy. Równie\
utrzymanie ciała w ruchu
obrotowym jednostajnym, pokonując siły przeciwdziałające mu, wią\
e się z wykonaniem pracy. Załó\
my, \
e na
obwodzie tarczy obracającej się jednostajnie dookoła osi, dział stała siła F, pokonująca opory ruchu.
Po czasie t siła pokonała drogę liniową s. Wykonana praca przez tę siłę, wyra\
a się wzorem:
Podstawiając do wzoru moment siły, otrzymujemy:
Jeśli moment siły utrzymujący ciało w ruchu obrotowym zachowuje stałą wartość, to wykonana przez niego
praca jest równa iloczynowi momentu siły i drogi kątowej.
Moc wyra\
a się stosunkiem pracy do czasu, w którym ta praca została wykonana, a więc:
W ruchu obrotowym jednostajnym . Podstawiając to wyra\
enie do wzoru na moc, otrzymujemy:
Moc w ruchu obrotowym jednostajnym jest iloczynem działającego na ciało momentu obrotowego i jego
prędkości kątowej.
Energia kinetyczna w ruchu obrotowym. Moment bezwładności
Rozwa\
my energię kinetyczną ciała, znajdującego się w ruchu obrotowym jednostajnym. Zakładamy, \
e ciało to
ma postać tarczy o masie m i składa się z bardzo du\
ej ilości elementów o masach m1,m2,...,mn, które są tak
małe, \
e mo\
na je przyjąć za punkty materialne. Tarcza ta obraca się dookoła osi przechodzącej przez jej środek
cię\
kości ze stałą prędkością kątową.
http://fizyka.kopernik.mielec.pl/fizyka/Ruch_obrotowy/print 2007-05-16
Fizyka w szkole - Ruch obrotowy - wersja do wydruku Strona 5 z 9
Energia pojedynczego elementu wynosi:
a więc energia kinetyczna całej tarczy jest sumą energii kinetycznych poszczególnych elementów:
Wyłączamy przed znak sumy stałą wartość :
Wyra\
enie
nazywamy momentem bezwładności J ciała względem osi obrotu. Jednostką momentu
bezwładności jest iloczyn jednostki masy i kwadratu jednostki długości ( ).
Zatem energia kinetyczna ciała wynosi:
Energia kinetyczna ciała obracającego się dookoła osi przechodzącej przez jego środek cię\
kości jest równa
połowie iloczynu momentu bezwładności tego ciała względem osi obrotu i kwadratu jego prędkości kątowej.
Momenty bezwładności ciał o określonych kształtach geometrycznych (liczone są one zazwyczaj za pomocą
wzorów wyprowadzonych przy u\
yciu rachunku całkowego):
http://fizyka.kopernik.mielec.pl/fizyka/Ruch_obrotowy/print 2007-05-16
Fizyka w szkole - Ruch obrotowy - wersja do wydruku Strona 6 z 9
http://fizyka.kopernik.mielec.pl/fizyka/Ruch_obrotowy/print 2007-05-16
Fizyka w szkole - Ruch obrotowy - wersja do wydruku Strona 7 z 9
TWIERDZENIE STEINERA
Wyra\
a on zale\
ność między momentem bezwładności ciała względem danej osi, a jego momentem
bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy i równoległej do poprzedniej.
J - moment bezwładności względem dowolnej osi równoległej do osi przechodzącej przez środek masy
- moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy
m - całkowita masa ciał
r - odległość między osiami
Podstawowe równanie dynamiki ruchu obrotowego
Zgodnie z zasadą bezwładności tylko siła zewnętrzna mo\
e zmienić ruch ciała. Je\
eli natomiast działające siły
równowa\
ą się, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym. Zasada ta obowiązuje
równie\
w ruchu obrotowym, ale trochę w zmienionej treści:
Jeśli momenty wszystkich sił działających na ciało równowa\
ą się wzajemnie, to ciało pozostaje w spoczynku
lub porusza się ruchem obrotowym jednostajnym (z prędkością kątową stałą co do wielkości i kierunku).
Rozwa\
my przypadek, gdy na punkt materialny o masie m związany z osią obrotu i mogący się wokół niej
obracać po torze o promieniu r, działa stała siła F (co do wielkości), której moment M wynosi Fr. Pod wpływem
tej siły, punkt materialny uzyska przyspieszenie a:
Podstawiamy zamiast a wyra\
enie :
http://fizyka.kopernik.mielec.pl/fizyka/Ruch_obrotowy/print 2007-05-16
Fizyka w szkole - Ruch obrotowy - wersja do wydruku Strona 8 z 9
Uzyskaliśmy wzór na moment siły, działający na ten punkt materialny. Podobne rozwa\
anie moglibyśmy
przeprowadzić dla ka\
dego elementu ciała obracającego się dookoła osi przechodzącej przez środek cię\
kości,
którego masa wynosi:
A więc aby ciało uzyskało przyspieszenie kątowe , trzeba na nie działać momentem obrotowym M, równym
sumie momentów obrotowych poruszających poszczególne elementy:
Zatem uzyskaliśmy podstawowe równanie dynamiki ruchu obrotowego:
Niezrównowa\
ony moment siły działając na ciało nadaje mu przyspieszenie kątowe, które jest wprost
proporcjonalne do momentu bezwładności ciała, przy czym jest ono skierowane tak samo jak moment siły.
Porównując wzory dynamiki ruchu obrotowego i ruchu postępowego widzimy, i\
moment bezwładności w ruchu
obrotowym spełnia taką samą rolę jak masa w ruchu postępowym, natomiast moment siły odgrywa w ruchu
obrotowym taką rolę jak siła w ruchu postępowym.
Moment pędu. Prawo zachowania momentu pędu
Moment pędu odrywa w dynamice ruchu obrotowego tę samą rolę, co pęd w ruchu postępowym. Jest on równy
iloczynowi pędu i promienia wodzącego, jeśli punkt materialny porusza się po okręgu:
Jednostką momentu pędu jest .
Moment pędu jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny, w której le\
y promień wodzący i prędkość liniowa,
skierowanym tak, jak skierowana jest prędkość kątowa.
Dla ciała o masie m obracającego się dookoła osi przechodzącej przez środek cię\
kości, składającego się du\
ej
ilości elementów, moment pędu wynosi:
Moment pędu ma wartość równą iloczynowi momentu bezwładności przez prędkość kątową i jest skierowany
tak, jak ta prędkość.
Spróbujmy powiązać ze sobą zale\
nością moment obrotowy i moment pędu. Korzystamy z podstawowego
równania ruchu obrotowego:
http://fizyka.kopernik.mielec.pl/fizyka/Ruch_obrotowy/print 2007-05-16
Fizyka w szkole - Ruch obrotowy - wersja do wydruku Strona 9 z 9
ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU P
DU
Je\
eli na ciało nie działa \
aden moment siły, to jej moment pędu pozostaje stały.
Bryła sztywna
Bryła sztywną nazywamy ciało, którego punkty pozostają w niezmieniających się odległościach od siebie,
niezale\
nie od działających sił.
W ruchu postępowym ka\
dy punkt bryły sztywnej ma taką samą prędkość liniową. W ruchu obrotowym im dalej
od osi obrotu, tym większa prędkość liniowa, prędkość kątowa natomiast pozostaje bez zmian.
Tekst pochodzi z serwisu fizyka.kopernik.mielec.pl - Copyright � 2003-2007
http://fizyka.kopernik.mielec.pl/fizyka/Ruch_obrotowy/print 2007-05-16