Bryła sztywna
1. Znajdz
moment bezwładności jednorodnego pręta o masie M i długości L względem prostopadłej do pręta osi:
a) symetralnej
b) przechodzącej przez jeden z kooców pręta
Dynamika ruchu obrotowego
1. Na cząstkę znajdującą się w położeniu określonym wektorem r działa siła F. Znalez
d związek pomiędzy
momentem pędu cząstki i momentem siły F. Kiedy moment pędu cząstki jest stały?
Moment siły wynosi:
Moment pędu cząstki wynosi:
Liczymy pochodną po czasie momentu pędu:
Ponieważ otrzymujemy:
Jest to II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego.
Jeśli na cząstkę działa siła , której moment (jest równy zeru), to moment pędu tej cząstki jest zachowan:
Jest to zasada zachowania momentu pędu dla pojedynczej cząstki.
2. Otrzymad zależnośd między momentem pędu i prędkością kątową obracającej się wokół stałej osi bryły sztywnej
o momencie bezwładności I.
Rozpatrujemy obrót wokół osi z.
Moment pędu masy :
Ponieważ ruch odbywa się w płaszczyz
nie XY, a jest prostopadły do płaszczyzny ruchu.
Całkowity moment pędu bryły:
Ponieważ ruch obrotowy zachodzi tylko wokół osi z:
Więc:
3. Z dwóch stron układu dwóch identycznych bloczków o momencie bezwładności I i promieniu R zawieszono na
bardzo lekkiej lince dwie różne masy m1, m2. Znajdz
przyspieszenie mas i siły naprężenia linki.
.
.
.
.
Gdy zaniedbamy masę bloczków (I=0)
Ruch drgający
1. Rozwiązad równanie ruchu oscylatora harmonicznego prostego z warunkami początkowymi:
a) x(t=0)=x0 i v(t=0)=0,
b) x(t=0)=0 i v(t=0)=v0.
Jaka jest częstośd i amplituda tych drgao?
Szukamy rozwiązania:
Z równania charakterystycznego:
Rozwiązanie ogólne
Wprowadz
my oznaczenie: - częstośd drgao własnych  wtedy:
Jest to funkcja okresowa o okresie T:
Dla warunków początkowych a:
Gdzie jest fazą początkową drgao. Jeśli to i
Amplituda . Częstośd .
Dla warunków początkowych b:
Gdzie jest fazą początkową drgao. Jeśli to i
Amplituda . Częstośd .
2. Policzyd częstośd drgao wahadła matematycznego o masie m i długości l.
Rozważamy małe wychylenia z położenia równowagi, dla których możemy
przyjąd, że s jest odcinkiem i ruch masy m wzdłuż s pod wpływem działania
siły jest ruchem jednowymiarowym ( jest styczna do okręgu i jej
działanie powoduje tylko zmianę długości łuku s).
Równanie ruchu masy m:
Dla małych kątów
Wtedy równanie ruchu wahadła matematycznego:
Jest to równanie ruchu harmonicznego prostego, tzn.
Czyli rozwiązanie:
3. Policzyd częstośd drgao wahadła fizycznego o masie m i momencie bezwładności I zawieszonego w odległości d
od środka masy.
Ruch obrotowy wokół stałej osi 0 (ruch jednowymiarowy)
Ma znak dodatni gdy moment siły powodujący to przyspieszenie
prowadzi do ruchu przeciwnego do ruchu wskazówek zegara.
Jest to równanie ruchu harmonicznego prostego, tzn.
Czyli rozwiązanie:
Wahadło matematyczne jest specjalnym przypadkiem wahadła fizycznego. Dla wahadła matematycznego mamy
i otrzymujemy:
4. Napisad równanie ruchu oscylatora tłumionego. Podad przybliżony wzór rozwiązania dla bardzo słabego
tłumienia drgao i przedstawid to rozwiązanie na rysunku.
- siła harmoniczna (wymuszająca drgania)
- siła tłumiąca (siła oporu ośrodka)
v  prędkośd, b>0
Równanie charakterystyczne:
Dla - ruch nie jest ruchem drgajacym
Ruch drgający otrzymujemy tylko dla
Mamy wtedy:
Rozwiązanie ogólne równania ruchu drgającego tłumionego:
Dla otrzymujemy:
Gdzie jest fazą początkową drgao. Jeśli to i
Amplituda malejąca . Częstośd dla
5. Rozwiązad równanie oscylatora harmonicznego prostego z siłą wymuszającą F=Acos(wt) i warunkami
początkowymi x(t=0)=x0, v(t=0)=0. Kiedy zachodzi rezonans? Znalez
d zależnośd amplitudy drgao rezonansowych
od czasu.
Z warunków zadania mamy:
Gdzie .
Rozwiązujemy niejednorodne równanie różniczkowe drugiego rzędu:
Podstawiając warunki początkowe:
Dla
Rezonans zachodzi dla częstości siły wymuszonej równej częstości własnej drgao układu. Amplituda drgao rośnie
liniowo z czasem. Gdy czas dąży do nieskooczoności to amplituda też.
Grawitacja
1. Wyprowadzid drugie prawo Keplera.
Z
Z
masa Ziemi
S
masa Słooca
S
Liczymy moment siły grawitacji działającej na Ziemię :
Wiemy, że:
Jest to II prawo Keplera:
Moment pędu planety poruszającej się wokół słooca jest stały.