Momenty bezwładności
Moment bezwładności opisuje rozkład pola lub masy
względem wybranej osi lub punktu.
Wybranymi osiami są zwykle osie układu współrzędnych,
a punktem  środek układu, który często jest także środkiem
Wytrzymałość materiałów.
ciężkości.
Masowy moment bezwładności
Momenty bezwładności.
moment bezwładności ciała względem osi
(dynamika!)
n
BryÅ‚a sztywna I = "mi Å" ri2 [kg·m2]
+"
i=1
dr inż. Piotr Małkowski
Obiekt o ciągłym rozkładzie masy
I = lim Å" ri2 = ri2dm
""mi
+"
n"
i
M
KATEDRA GEOMECHANIKI, BUDOWNICTWA I GEOTECHNIKI
Moment bezwładności figury płaskiej
Masowy moment bezwładności
Wszystkie przekroje poprzeczne figur płaskich - prętów, wałów i belek
można charakteryzować następującymi parametrami:
 polem powierzchni przekroju A [mm2, cm2, m2];
Y
 położeniem środka ciężkości przekroju
xc, yc;
 momentami statycznymi Sx, Sy [cm3, m3];
 geometrycznymi momentami
y dA
bezwładności Ix, Iy, Io, Ixy [cm4, m4].
środek
ciężkości
yc
A
Istotny w ruchu obrotowym bryły! o
x x
c
X
Geometryczny moment bezwładności
Moment statyczny figury płaskiej
figury płaskiej
Definicja momentu statycznego w układzie osi X i Y
Momentem bezwładności punktu
Y
materialnego względem bieguna (punktu),
Sx = Sy = xdA
+"ydA +" płaszczyzny lub osi nazywamy iloczyn masy
A A
tego punktu i kwadratu jego odległości od
bieguna, płaszczyzny lub osi.
Wykorzystując znane ze statyki pojęcie środka sił,
dla środka ciężkości można napisać:
Z powyższej definicji wynika, że istnieją
y dA
trzy rodzaje momentów bezwładności:
Sx = ycA Sy = xc A
1) biegunowe (momenty bezwładności
Korzystając z tych zależności, współrzędne środka ciężkości figury płaskiej
wzglÄ™dem punktu), Á
można obliczyć ze wzorów:
Sy Sx
xc = yc =
2) względem płaszczyzn, A
A A
3) względem osi (osiowe momenty
Ai  pola powierzchni figur prostych,
bezwładności).
0 x
X
xi, yi  współrzędne środków ciężkości poszczególnych figur prostych.
W zależności od położenia przekroju względem osi układu współrzędnych
mogą przyjmować wartości dodatnie i ujemne.
Geometryczny moment bezwładności Geometryczny moment bezwładności
figury płaskiej figury płaskiej
Momentem bezwładności punktu Osiowe momenty bezwładności
Y Y
materialnego względem bieguna (punktu),
2
Ix = dA Iy = x2dA [m4]
+"y +"
płaszczyzny lub osi nazywamy iloczyn masy
A A
tego punktu i kwadratu jego odległości od
bieguna, płaszczyzny lub osi.
Biegunowy moment bezwładności
Z powyższej definicji wynika, że istnieją
y dA y dA
2 2
trzy rodzaje momentów bezwładności:
Io = Á dA = + y2 )dA = x2dA + y2dA
+" +"(x +" +"
A A A A
1) biegunowe (momenty bezwładności
wzglÄ™dem punktu), Á Á
Io = Ix + Iy
2) względem płaszczyzn, A A
Moment dewiacyjny bezwładności
3) względem osi (osiowe momenty
(zboczenia, odśrodkowy)
bezwładności).
0 x 0 x
X X
Ixy = xydA
+"
Jeżeli osie przechodzą przez środek ciężkości przekroju
A
TYLKO moment dewiacyjny może być ujemny
To sÄ… tzw. OSIE CENTRALNE.
Moment bezwładności względem osi
Moment bezwładności przekroju
równoległej  twierdzenie Steinera
W przypadku równoległego przesunięcia osi układu względem OSI
Momenty bezwładności przekrojów przedstawia się za pomocą
CENTRALNYCH korzysta siÄ™ z twierdzenia Steinera:
sumy lub różnicy prostych figur płaskich
2
2
Ix = dA = + b)2 dA = dA + 2 b + b2 =
1
1 +"y +"(y +"y +"ydA +"dA
A A A A A
= Ix + 2b Å"S + b2 A = Ix + 2b Å"0 + b2 A = Ix + b2 A
x
Ix = Ix c + b2 A Iy = Iy c + a2 A
1 1
I = x12dA = + a)2dA = x2dA + 2a xdA + a2 =
y1
+" +"(x +" +" +"dA
A A A A A
= Iy + 2a Å" Sy + a2 A = Iy + 2a Å"0 + a2 A = I + a2A
y
Ix y1 = x1y1dA = + a)(y + b)dA = xydA + a + ab + b xdA =
1 +" +"(x +" +"ydA +"dA +"
A A A A A A
= Ixy + a Å" S + abA + b Å" S = Ixy + a Å"0 + abA + b Å" 0 = Ix y + abA
y x
c c
Momenty statyczne Sx i Sy względem osi centralnych są równe zero
Moment bezwładności względem osi
Momenty bezwładności figur prostych
równoległej  twierdzenie Steinera
Osiowy moment bezwładności figury płaskiej względem osi równoległej do PROSTOK
T
przyjętego układu współrzędnych odległej o a, jest równy momentowi
dA=b·dy
îÅ‚ëÅ‚ h öÅ‚3 ëÅ‚ - h öÅ‚3 Å‚Å‚
y
h
h
bezwładności względem osi przechodzącej przez środek ciężkości figury
ïÅ‚ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ śł
2 3 3 3 3
2
y 2 bh bh bh
2 2 íÅ‚ Å‚Å‚
powiększonemu o iloczyn powierzchni figury i kwadratu odległości śł
Ixc = dA = y bdy = b = bïÅ‚íÅ‚ 2 Å‚Å‚ - = + =
+"y +"
ïÅ‚ śł
3
pomiędzy osiami. dA
A -h -h 3 3 24 24 12
2 ïÅ‚ śł
2
Y
Iy = Iy c + a2 A ðÅ‚ ûÅ‚
Ix = Ix c + b2 A
h
h 3 3
2 y bh
2
Ix = dA = bdy = b =
1
1 +"y +"y 3 3
A 0 0
Moment dewiacyjny figury płaskiej względem
osi równoległej do przyjętego układu
y xC lub ze Steinera
współrzędnych jest równy momentowi
b dewiacyjnemu względem osi centralnych
2
3 3 3
h bh h2 bh bh
ëÅ‚ öÅ‚
yc dA
powiększonemu o iloczyn powierzchni figury i
Ix = Ix + A Å" = + bh Å" = + =
ìÅ‚ ÷Å‚
1 c
2 12 4 12 4
odlegÅ‚oÅ›ci nowych osi od osi centralnych íÅ‚ Å‚Å‚
3 3 3 3
A
bh 3bh 4bh bh
= + = =
Ixy = Ix y + abA
a
c c
x1 12 12 12 3
o
xc x
X
d y
y
y 1
Momenty bezwładności figur prostych Momenty bezwładności figur prostych
KOA
O TRÓJK
T
dA=2Ä„·ÁdÁ
r
b z
r r 4
b(h - y )dy
Á4 2Ä„r Ä„r4
2 dA=zdy i =
Czyli: dA =
Io = Á dA = Á2 2Ä„ÁdÁ = 2Ä„ Á3dÁ = 2Ä„ = =
+" +" +" h h - y
y
4 4 2 h
A 0 0 0
h h 2
Ponieważ: r=d/2 b(h
2 2 - y )dy y h
2
Iz = dA = y b = dy -
+"y +" +"b h
h
dÁ 4
A 0 0
4
ëÅ‚ d öÅ‚
d
h
Ä„ ìÅ‚ ÷Å‚
r Ä„ 4 h 3 h h 3 3
Ä„r4 íÅ‚ 2 Ä„d y y y
Å‚Å‚ 16 2 2
Io = = = =
- dy = b2 y dy - b2 dy =b2 -
Á +"b h +" +"
2 2 2 32
h 3
0 0 0
0
h
4 3 3 3 3 3
Jeżeli:
x Io = Ix + Iy
y bh bh 4bh 3bh bh
- b2 = - = - =
4h 3 4 12 12 12
0
4
dA
Io Ä„d
Ix = Iy = =
to:
2 64
Momenty bezwładności figur prostych Momenty bezwładności figur prostych
TRÓJK
T TRÓJK
T
Z proporcji
2 2 h 2 h
h - y
3 3
z
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
3 b 2 b 2 2
2 2 2
=
Iz = dA = y h - y dy = h - y y dy = Iz = Iz + Ab
dA=zdy i lub ze Steinera
+"y +" +"ìÅ‚ Å‚Å‚
c
b1 2 h c A h h ìÅ‚ 3 ÷Å‚ h híÅ‚ 3 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
- -
3 3 3
Odległość pomiędzy osiami b = h/3
b1 = 2/3b
2 h 2 h 3
2 h 2 h
bh
3 3 3 4
3 3
2 b 2 y b y
2 3 Iz =
Jeżeli wiem, że:
= b dy - dy = b - =
+"y +"y 12
3 h 3 3 h h 4 h
h h - -
2
- -
3 3
3 3 y h
Iz = Iz ìÅ‚ ÷Å‚
3 3 4 4 to: - AëÅ‚ öÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚ c
2 2 h 2 h 2h h
öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ öÅ‚
3
íÅ‚ Å‚Å‚
bëÅ‚ öÅ‚ bëÅ‚- ÷Å‚ ïÅ‚bìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ śł z1
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ bëÅ‚-
3 3 3 3 3 3
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
= - - - =
2
ïÅ‚ śł
3 3 4h 4h 3
bh 1 h
ïÅ‚ śł
Jednostkowe pole przekroju dA:
Iz = - bhëÅ‚ öÅ‚ =
ìÅ‚ ÷Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
c
2 2 öÅ‚
12 2 3
íÅ‚ Å‚Å‚
bëÅ‚ h - y 3 3 3 3
ìÅ‚ ÷Å‚
16 bh 2bh ëÅ‚16 bh bh öÅ‚
3 3
íÅ‚ Å‚Å‚
= + - ìÅ‚ - ÷Å‚ = zc
dA = zdy = dy = 3 3 3 3 3
ìÅ‚ ÷Å‚
2 243 243 324 324 bh bh 3bh 2bh bh
íÅ‚ Å‚Å‚
h
= - = - =
3 3 3 3 3 3 3
18 bh 15 bh 72 bh - 45 bh 27 bh bh
12 18 36 36 36
z
= - = = =
b ëÅ‚ 2 öÅ‚dy
= h - y 243 324 972 972 36
ìÅ‚ ÷Å‚
h 3
íÅ‚ Å‚Å‚
Momenty bezwładności figur prostych Momenty bezwładności figur prostych
TRÓJK
T
TRÓJK
T
2
b z
Iz1 = Iz + Ab
lub ze Steinera
dA=zdy i =
c
h y
h h
b b Odległość pomiędzy osiami b = 2h/3
2 2 3
Iz1 = dA = ydy = y dy = 3
+"y +"y h h +" bh
Iz =
y A 0 0 y Jeżeli wiem, że:
12
h
4 4 3
b y bh bh 2
= = = 2h
z1 z1 ëÅ‚ öÅ‚
Iz = Iz + A
ìÅ‚ ÷Å‚
h 4 4 h 4 to:
0 c
y y 3
íÅ‚ Å‚Å‚
2
3
bh 1 2h
dy dy Iz = + bhëÅ‚ öÅ‚ =
ìÅ‚ ÷Å‚
c
36 2 3
íÅ‚ Å‚Å‚
z z
zc zc
3 3 3 3 3 3
bh 4bh bh 8bh 9bh bh
= + = + = =
z z
36 18 36 36 36 4
Momenty bezwładności figur prostych
Momenty bezwładności figur prostych
- przykład 2
TRÓJK
T Dane: r = 12 cm,, h = 8 cm, b = 12 cm
2
Moment bezwładności jest różnicą momentów dwóch figur
Iz1 = Iz + Ab
lub ze dwukrotnie Steinera
c
prostych: półkola (p) i trójkąta (t).
Odległość pomiędzy osiami b = 2h/3
Dla osi y  z definicji, ponieważ oś y jest główną centralna osią bezwładności
2 3
bh
h
ëÅ‚ öÅ‚
obu figur  symetria względem osi y.
Iz ìÅ‚ ÷Å‚
Jeżeli wiem, że: - A = Iz Iz =
c
12
3 4
íÅ‚ Å‚Å‚ 4 4
Dla półkola dla osi
1 1 Ä„d 1 Ä„ (2r) 1 Ä„r4 Ä„r
2 2
Iy1 = IykoÅ‚a = Å" = Å" = Å" =
h 2h przechodzącej przez / 4 koła
y
to:
4 4 64 4 64 4 4 16
Iz = Iz - AëÅ‚ öÅ‚ + AëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
1 podstawÄ™:
4 4
3 3
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Ä„r Ä„r
z1 Iyp = 2 Å" Iy1 / 4 koÅ‚a = 2 Å" =
2 2
3
bh 1 h 1 2h 16 8
Iz = - bhëÅ‚ öÅ‚ + bhëÅ‚ öÅ‚ =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
c
Dla trójkąta dla osi przechodzącej przez podstawę:
12 2 3 2 3
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
3
3 3 3 3 3 b
3 3
bh bh 4bh bh 3bh hëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ hb hb
= - + = + = 2
zc íÅ‚ Å‚Å‚ Iyt = 2 Å" =
Iytm =
12 18 18 12 18
96 48
r 12
3 3 3 3
3
3bh 6bh 9bh bh
Ä„r4 hb
z 4
= + = = IyF = Iyp - Iyt = - = 7855 cm
b
36 36 36 4 8 48
Momenty bezwładności figur prostych Momenty bezwładności figur prostych
- przykład 2 - przykład 2
Dla osi x należy:
2. Znalez
ć moment bezwładności półkola względem osi przechodzącej przez
1. Znalez
ć środek ciężkości względem osi x (yc)
środek ciężkości figury xcF stosując dwukrotnie twierdzenie Steinera.
2. Znalez
ć moment bezwładności półkola względem osi przechodzącej przez
środek ciężkości figury xcF  tw. Steinera (dwukrotnie!).
Moment bezwładności półkola względem osi przechodzącej przez podstawę:
3. Znalez
ć moment bezwładności trójkąta względem osi przechodzącej przez
Ä„r4
środek ciężkości figury xcF  tw. Steinera.
Ix =
p
4. Odjąć od siebie obie wartości momentów  wyznacznie IxF. 8
Moment bezwładności półkola względem osi przechodzącej przez JEGO
środek ciężkości:
1. Położenie środka ciężkości wzgl. osi x:
2
4r
Ä„r2 4 r 1 h Ix = Ixc + Ap Å"ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
p p
Pp Å" xcp - Pt Å" xct 2 Å" 3 Ä„ - 2 bh Å" 3 3Ä„
íÅ‚ Å‚Å‚
y = = =
c
Pp - Pt Ä„r2 1 2 2
2
- bh 4r Ä„r4 Ä„r 4r
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
2 2 Ixc = Ix - Ap Å" = - ìÅ‚ ÷Å‚ =
ìÅ‚ ÷Å‚
p p
2 3Ä„ 8 2 3Ä„
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
4 bh
r
r3 - r
4 4
3 3 Ä„r 8r
= = 5,746 cm
= -
Ä„r2 - bh
8 9Ä„
b
b
Momenty bezwładności figur prostych Momenty bezwładności figur prostych
- przykład 2 - przykład 2
2. Znalez
ć moment bezwładności półkola względem osi przechodzącej przez 3. Znalez
ć moment bezwładności trójkąta względem osi przechodzącej przez
środek ciężkości figury xcF stosując dwukrotnie twierdzenie Steinera. środek ciężkości figury xcF stosując twierdzenie Steinera.
Moment bezwładności trójkąta względem osi przechodzącej przez
Moment bezwładności półkola względem osi przechodzącej przez
JEGO środek ciężkości xct:
środek ciężkości figury xcF:
3
2
bh
4r öÅ‚
Ixct =
IxcF = Ixc + Ap Å"ëÅ‚ y - ÷Å‚
ìÅ‚
c
p p 36
3Ä„
íÅ‚ Å‚Å‚
Moment bezwładności trójkąta względem osi
2
4r öÅ‚
przechodzącej przez środek ciężkości figury IxcFt:
IxcF = Ixc + Ap Å"ëÅ‚ yc - ÷Å‚ =
ìÅ‚
p p
2
3Ä„
íÅ‚ Å‚Å‚
h öÅ‚
2 IxcF = Ixc + At Å"ëÅ‚ yc - ÷Å‚ =
ìÅ‚
t t
Ä„r4 8r4 Ä„r2 4r öÅ‚ 3
íÅ‚ Å‚Å‚
= - + Å"ëÅ‚5,746 - ÷Å‚ =
ìÅ‚
2
8 9Ä„ 2 3Ä„
íÅ‚ Å‚Å‚
bh3 bh h öÅ‚
2 = + Å"ëÅ‚5,746 - ÷Å‚ =
ìÅ‚
Ä„124 8Å"124 Ä„ Å"122 4Å"12 öÅ‚ 36 2 3
r r íÅ‚ Å‚Å‚
= - + Å"ëÅ‚5,746 - ÷Å‚ =
ìÅ‚
2
8 9Ä„ 2 3Ä„
íÅ‚ Å‚Å‚
12Å"83 12Å"8 8 öÅ‚
b b = + Å"ëÅ‚5,746 - ÷Å‚ = 625,8cm4
ìÅ‚
= 2372,4cm4
36 2 3
íÅ‚ Å‚Å‚
Wartości osiowych momentów bezwładności
Momenty bezwładności figur prostych
dla typowych figur płaskich
- przykład 2
xc
4. Odjąć od siebie obie wartości momentów  wyznacznie IxF.
Ä„r4 Ä„d4
I = =
x
4 64
4
2r
IxcF = IxcF - IxcF t = 2372 ,4 - 625 ,8 = 1746 ,6cm r xc
I = 0,11r4
p
x
4 3
Ä„ Å"12 8 Å"12
4
xc
IyF = IycF = Iyp - Iyt = - = 7855 cm
h
8 48 bÅ" h3
I =
x
12
b
xc -r4)
Ä„(R4
2r
I =
x
r
4
2R
xc b Å" h3
h
I =
x
b
36
b