Skręcanie występuje wtedy, gdy dwie pary sił działają
w dwóch różnych płaszczyznach prostopadłych do osi pręta.
Akademia Górniczo-Hutnicza, Kraków
Katedra Geomechaniki Budownictwa i Geotechniki
Wytrzymałość materiałów.
Skręcanie. Sposób deformowania pręta przy skręcaniu:
prosta AB1 równoległa do osi pręta na skutek skręcania przyjmie
kształt linii śrubowej AB2 o kącie ł nachylenia jednakowym na
Å‚
Å‚
Å‚
całej długości pręta,
przekroje końcowe pręta pozostają nadal płaskie,
dr inż. Piotr Małkowski
długość l i promień r nie ulegają zmianie, czyli objętość pręta nie
zmienia siÄ™,
kąty proste odkształcą się o kąt ł
Å‚,
Å‚
Å‚
w przekrojach poprzecznych pręta występują naprężenia styczne.
Naprężenia styczne w przekrojach poprzecznych pręta są
Z warunku równowagi rozpatrywanego pręta wynika, że suma
prostopadłe do promienia r i zmieniają się proporcjonalnie do
elementarnych momentów w przekroju poprzecznym pręta
zmian długości promienia, co jest potwierdzone wynikami
równa się momentowi skręcającemu (zewnętrznemu) dany
badań.
pręt:
Ms - = 0
+"dM
F
M = TÁ Å" Á
Moment siły to:
Ä
Á dT
Á
Ale = Ä
=
dF
Ä r
max
Zatem dla wycinka przekroju dF: dM = Á Å"Ä Å"dF
Á
Ämax Å" Á
Á Å"Ämax to:
dM = Á Å" Å" dF
Jeżeli Ä =
Á
Naprężenia styczne w środku przekroju są zatem równe zero! r
r
Ämax
Å" Á2dF
Dla całego pola przekroju F
+"dM = +"
0 Å"Ämax
Á Å"Ämax r
F F
Ä = = 0
Ä = Ò!
Ò!
Ò!
Ò!
Á
Á
r
r
Ämax
StÄ…d otrzymuje siÄ™ w rezultacie: Ms = Á2dF
+"
r
F
4 4
Ä„d Ä„d
Występująca we wzorze całka to biegunowy moment bezwładności przekroju:
3
Io 32 32 Ä„d
Dla przekroju kołowego: W = = = =
I0 = Á2dF o
+" d
r r 16
F
2
4 4
Zatem wartość maksymalnych naprężeÅ„ stycznych Ämax dla punktów poÅ‚ożonych
Ä„dz Ä„dw
przy zewnętrznej powierzchni skręcanego pręta wynosi: 4 4
Ioz - Iow 32 - 32 Ä„(d - dw )
Dla pierścienia: z
W = = =
o
Ms
dz 16 dz
r
Ämax = r
I0
2
Wprowadzając pojęcie wskaz
nika wytrzymałości przekroju na
skręcanie Wo , jako ilorazu biegunowego momentu bezwładności Io i
Dla praktyki można w przybliżeniu szacować:
maksymalnej odległości od osi pręta (odległość skrajnych włókien
przekroju) : 3 3
Dla przekroju kołowego:
W H" 0,2d [m ]
Io
o
W =
o
r 4 4
dz - dw 3
Dla pierścienia: Wo H" 0,2 [m ]
otrzymuje się warunek wytrzymałościowy na skręcanie:
d
z
Ms Ms max
Wskaz
nik wytrzymałości przekroju pokazuje opór przekroju na skręcanie
Äs = d" ks Ämax =
W0 W0
wynikający z jego bezwładności
1
Dla jednostkowego odcinka waÅ‚u o dÅ‚ugoÅ›ci dx, dla wewnÄ™trznej KÄ…t Å‚ jest także kÄ…tem odksztaÅ‚cenia, ale opartym o promieÅ„ Á.
części waÅ‚u o dowolnym promieniu Á, w dowolnym miejscu dochodzi
dÕ
dÕ
do odkształcenia postaciowego, charakteryzującego czyste ścinanie.
Å‚ = Á
Á
dx
Á
Tzn.: kąt pmp = ł i jest kątem odkształcenia.
Á
PP '
Å‚ Z Prawa Hooka
Å‚
tgł =
dx
dx P
dx
dx dx
dÕ
P
Ä = GÅ‚ = GÁ
Á Á
Dla małych kątów:
dx
PP '
P P
P
P
Å‚ = dÕ
Ä = GÅ‚ = Gr
dx
dx
dÕ
Jednocześnie:
Ponieważ moduł sprężystości G oraz
r
pochodna mają wartość stałą:
PP ' PP '
r
tgd Õ = dÕ = Ä = f (Á)
czyli
r r
P
PP ' = Å‚dx
Czyli najmniejsze naprężenie wystÄ™puje w Å›rodku waÅ‚u Ämin = 0
dÕ
P
Å‚ = r
dÕ
Z układu równań:
Czyli największe naprężenie występuje na powierzchni wału
PP ' = rdÕ dx Ämax = Gr
dx
Ämax
Ms = Á2dF
+"
r
Wiedząc, że:
F
dÕ
Możliwy sposób pomiaru kąta skręcenia
Ämax = Gr
dx
x
dÕ dÕ
Ms = G Á2dF = G Io Ć =
Otrzymuje siÄ™:
+"
dx dx
R
F
Stąd jednostkowy kąt skręcenia:
Ms Å"dx Ms
dÕ = Ms
G Å"I0
Można zatem stwierdzić, że
KÄ…t Õ o jaki obrócÄ… siÄ™ wzglÄ™dem siebie koÅ„cowe przekroje poprzeczne
Õ
Õ
Õ
pręta o średnicy d i długości l, wyraża się wzorem:
l Przy nieruchomym uchwycie pomiar wychylenia wału x na skutek działania
Ms Å" dx Ms Å" l
sztywność momentu skręcającego. Określa on długość łuku (PP ), który przy znajomości
Õ = =
+"
przy
promienia R od środka wału pozwala na obliczenie kąta skręcenia Ć.
G Å"I0 G Å"I0 skrÄ™caniu
0
Moc i prędkość obrotowa przenoszona Moc i prędkość obrotowa przenoszona
przez wał przez wał
Praca wykonana przez wał podczas skręcania:
Moc wyrażona w [KM] zmusza do przeliczenia jednostek: 75 N[KGm / s ] = N[KM]
L = Pr Õ = MsÕ
Ms 2Ä„n
75 N Å"60 N
= 75 N
Ms = = 716 ,20 [kGm ] = 71620 [kGcm ]
60
2Ä„n n
Przy pełnym obrocie o kąt 3600:
gdzie: N[KM], n[obr/min]
L = Ms 2Ä„
Moc wyrażona w [W], a n[obr/min] daje:
Jeżeli wał wykonuje n obrotów na minutę,
Ms 2Ä„n
N Å"60 N
wówczas otrzymuje się moc N: = N
Ms = = 9,55 [Nm ]
60
2Ä„n n
L 2Ä„n
N = = Ms 2Ä„n = Ms
Moc wyrażona w [kW], a n[obr/min] daje:
t 60
Lub:
N Å"60 N
Moc może być wyrażona w [KGm/s], [kGcm/s], [Nm/s=J] itp. Ms = = 9550 [Nm ]
1KM = 745 ,7W
2Ä„n n
2
Skręcanie prętów prostokątnych Skręcanie prętów prostokątnych
Zagadnienie rozwiązywane w teorii sprężystości
Współczynniki µ i Ä… sÄ… stabelaryzowane:
Największe naprężenie działa pośrodku dłuższego
boku prostokÄ…ta. b/c 1,0 1,5 75 2,0 2,5 3,0 4,0 6,0 8,0 10,0 "
Ms
Ämax =
Ä… 0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,299 0,307 0,313 0,333
2
µbc
Odkształcenie dla przekroju prostokątnego:
µ 0,208 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282 0,299 0,307 0,313 0,333
Ms Å" l
Ć =
3
Przy dużych dÅ‚ugoÅ›ciach (b >> c) współczynniki µ i Ä… sÄ… równe ok. 1/3.
Ä…Gbc
gdzie:
3Ms 3Ms Å" l
b  dÅ‚uższy bok prostokÄ…ta [m]; Ämax = Ć =
Wtedy: i
2 3
bc Gbc
c  krótszy bok prostokąta [m];
ą  współczynnik liczbowy zależny od wymiarów [-];
µ  współczynnik liczbowy zależny od wymiarów [-].
(np. płaskie deski, panele)
Skręcanie prętów - przykład Skręcanie prętów - przykład
III II I
II
M
3M
= - 2M - M + 4M - Mu = 0 s
"Mi Ämax = =
Wo Wo
Mu = 2M + M - 4M = -M
Ć[rad] Mu Å" l
ĆI =
G Å"Io
Mu - M M
M
3G··l
ÄI = = = Io
Wo Wo Wo
M
2G··l
(Mu - 4M)Å" l
Io
ĆII =
M·l
Mu + 4M - 2M - M 3M G·Io G Å"Io
ÄII = = =
Wo Wo Wo
l[m]
M
(Mu
-G··l - 4M + M)Å" l
Io
ĆIII =
G Å"Io
Mu + 4M - M - 2M 2M
ÄIII = = =
Wo Wo Wo
M Å" l - 3M Å" l - 2M Å" l - 4M Å" l
Ćc = ĆI + ĆII + ĆIII = + + =
Całkowity kąt skręcenia:
G Å"Io G Å"Io G Å"Io G Å"Io
Momenty skręcające wał są stałe na odcinkach działania
Skręcanie prętów  Skręcanie prętów 
Przykład statecznie niewyznaczalny Przykład statecznie niewyznaczalny
M1 M2
M1 M2
Z równowagi wału wiadomo, że suma
kątów skręcenia jest równa zero.
= MuA - M1 +M2 - MuB
"Mi
To znaczy, że suma kątów wywołanych
przez kolejne momenty skręcające musi
być równa zero, bowiem po obu stronach
Brak drugiego równania ze statyki!
A B
sÄ… utwierdzenia.
Ć = 0
Ć = 0
A a b c
a b c B Można zatem napisać, że:
Zagadnienie statycznie niewyznaczalne
M1 Å" a
ĆM1 =
M1 M2
Od lewej strony:
G Å" Io
M2 Å"(a + b) ĆM1 + ĆM2 + ĆMuB = ĆA = 0
ĆM2 =
G Å" Io
MuB Å"(a + b + c)
ĆMuB = Od prawej strony:
G Å" Io
A B
ĆM2 + ĆM1 + ĆMuA = ĆB = 0
MuA Å"(c + b + a)
ĆMuA =
a b c
G Å" Io
3