Metoda sił
5 reakcji  3 równania równowagi = 2
ssn = 2
I. UKA
AD PODSTAWOWY METODY SIA

Rozpatrywaną obciążoną konstrukcję pozbawiamy wszystkich
nadliczbowych więzów, tak jednak, aby pozostała ona nadal
układem niezmiennym. W miejsce usuniętych myślowo więzów
wprowadzamy nadliczbowe niewiadome (siły uogólnione).
przykładowe możliwości przyjęcia
układu podstawowego wraz z
nadliczbowymi niewiadomymi w
miejscach usuniętych myślowo
więzów:
X1
X2
X2
X2
X1
X1
X2
X1
Układ geometrycznie zmienny!
II. UKA
AD RÓWNAC
KANONICZNYCH METODY SIA

Określamy sumaryczne przemieszczenia (przesunięcia lub obroty) na kierunkach
działania nadliczbowych sił, powodowane przyczynami zewnętrznymi (siłami,
przemieszczeniami podpór, zmianami temperatury) oraz nadliczbowymi
niewiadomymi, traktowanymi również jako obciążenia zewnętrzne. Ponieważ są to
kierunki istniejących w rzeczywistości więzów, więc odpowiednie sumy tych
przemieszczeń są równe zero.
Dð1(X1)
Dð2(X1)
Przemieszczenia
wywołane
X1
nadliczbową siłą
Dð1(X2)
X2
X1 Dð2 (X2)
Przemieszczenia
wywołane
Układ podstawowy
X2
nadliczbową siłą
Dð1(P)
Dð2 (P)
Zasada superpozycji:
Przemieszczenia
Dð1(X1) +ð Dð1(X2) +ð Dð1(P) =ð 0
ìð
wywołane
íðDð (X1) +ð Dð2(X2) +ð Dð2(P) =ð 0
îð 2 obciążeniem
zewnętrznym P
Układ równań kanonicznych metody sił
Dð1(X1) +ð Dð1(X2) +ð Dð1(P) =ð 0
ìð
Układ równań kanonicznych metody sił:
íðDð (X1) +ð Dð2(X2) +ð Dð2(P) =ð 0
îð 2
n n
dð11X1 +ðdð12 X2 +ð Dð1P =ð 0
ìð
Ogólnie:
íðdð X1 +ðdð22 X2 +ð Dð2P =ð 0
ik k
åðåðdð X +ð DðiP =ð 0
îð 21 i=ð1 k =ð1
dðii - przemieszczenie na kierunku i wywoÅ‚ane siÅ‚Ä…
Xi =ð1
dðij - przemieszczenie na kierunku i wywoÅ‚ane siÅ‚Ä… X =ð 1
j
mimi nini titi
dðii =ð ds +ð ds +ð
òð òð òðmð GA ds >ð 0
EJ EA
s s s
mimj ninj tit
j
Ogólnie:
dðij =ð ds +ð ds +ð
ji
òð òð òðmð GA ds =ð dð
EJ EA
s s s
miM ni NP tiTP
P
DðiP =ð ds +ð ds +ð
òð òð òðmð GA ds
EJ EA
s s s
m - momenty od sił jednostkowych X=1
n - siły normalne od sił jednostkowych X=1
t - siły tnące od sił jednostkowych X=1
, NP ,
TP - moment, siła normalna i siła tnąca od obciążeń zewnętrznych
MP
Wzory nie uwzględniają efektów termicznych, osiadania podpór i innych
W przypadku zginania wpływ sił normalnych i tnących na przemieszczenia jest
znikomy, zatem:
mimi
dðii =ð ds >ð 0
òð
EJ
s
mimj
dðij =ð ds =ð dð
ji
òð
EJ
s
miM
P
DðiP =ð ds
òð
EJ
s
W przypadku kratownic dominujący jest wpływ sił normalnych:
nini
dðii =ð ds >ð 0
òð
EA
s
nin
j
dðij =ð ds =ð dð
ji
òð
EA
s
ni NP
DðiP =ð ds
òð
EA
s
X2
X1
Układ podstawowy metody sił
4a
1
1
2
2a
m1
2
m2 4a
Stan X1 =1
Stan X2 =1
1
2a
2
m1 x2 16 a3
1
dð11 =ð dx =ð2×ð dx =ð
òð òð
EJ EJ 3 EJ
0
2
2a 4a
2
m2 4x2 x2 a3
m1m2 2a (2a -ð x)2x 8 a3
dð22 =ð dx =ð dx +ð dx =ð 32
òð òð òð
dð12 =ð dx =ð dx =ð
òð òð EJ EJ EJ EJ
EJ EJ 3 EJ 0 0
0
2Pa
m1
2a
½ P
MP
Stan X1 =1
Stan P
P
m1M
P
Dð1P =ð dx =ð
òð
EJ
4a
1
a 2a
-ð Px(x +ð a) -ð P(0.5x +ð a)(2a -ð x)
½ P
=ð dx +ð dx =ð
òð òð
EJ EJ
0 0
7 Pa3
=ð -ð
2
m2 4a
2 EJ
2a 2a
m2M -ð P(0.5x +ð a)2x -ð 2Pa(4a -ð x)
P
Stan X2 =1
1
Dð2P =ð dx =ð dx +ð dx +ð
òð òð òð
EJ EJ EJ
0 0
2a
-ð Px2 64 Pa3
+ð dx =ð -ð
òð
EJ 3 EJ
2
0
Układ równań kanonicznych metody sił:
dð11X1 +ðdð12 X2 +ð Dð1P =ð 0
ìð
íðdð X1 +ðdð22 X2 +ð Dð2P =ð 0
îð 21
ìð
16 a3 8 a3 7 Pa3
X1 +ð X2 -ð =ð 0
ïð
ïð
3 EJ 2 EJ
íð83aEJ
3
a3 64 Pa3
ïð
ïð3 EJ X1 +ð 32 EJ X2 -ð 3 EJ =ð 0
îð
X1 =ð 0.32P
X2 =ð 0.67P
Wykresy sił wewnętrznych mogą zostać otrzymane przez superpozycję wykresów dla stanów
jednostkowych i stanu P:
M =ð m1X1 +ð m2 X +ð M
g 2 P
T =ð t1X1 +ð t2 X +ðTP
2
N =ð n1X1 +ð n2 X +ð NP
2
0,36 Pa
0,68 Pa
0,68 Pa
0,32 Pa
0,66 Pa
Mg