Politechnika PoznaÅ„ska º% Instytut Konstrukcji Budowlanych º% ZakÅ‚ad Mechaniki Budowli
Układy statycznie niewyznaczalne - metoda sił, obliczanie przemieszczeń Zad.2
Zad.2. Dla zadanej ramy statycznie niewyznaczalnej:
a) wyznaczyć wykresy sił wewnętrznych korzystając z metody sił.
b) obliczyć obrót pktu A.
Zad.2a)
1. Schemat konstrukcji:
SSN=1;
E=205Gpa;
2. Układ podstawowy:
Układ spełnia warunki
statycznej
wyznaczalności
i geometrycznej
niezmienności.
3. Układ równań kanonicznych:
´11 · X1 + ´1P = 0
l l
MiM Mi M
k P
współczynniki ´ik, ´iP: ´ik = dx; ´iP = dx ;
" "
+" +"
EI EI
0 0
gdzie: Mi  momenty zginające od obciążenia siłą jednostkową Xi=1,0 (w ukł. podst.)
Mp  momenty zginające od obciążenia zewnętrznego (w ukł. podst.)
3.1. Stan X1 = 1:
II rok studiów zawodowych zaocznych /2003 Anita Kaczor 1
Politechnika PoznaÅ„ska º% Instytut Konstrukcji Budowlanych º% ZakÅ‚ad Mechaniki Budowli
Układy statycznie niewyznaczalne - metoda sił, obliczanie przemieszczeń Zad.2
3.2. Stan  P :
3.3. Obliczenie współczynników ´ik, ´iP
l
2
M1
´11 = dx
"
+"
EI
0
1 2 1 2
EI Å" ´11 = Å" 6 Å" 3Å" Å" 3 + Å" 3Å" 3Å" Å" 3 = 27,0 m3
2 3 2 3
l
M1 Å" M
p
´1P = dx
"
+"
EI
0
1 2 1 2 4 Å" 62 1 1 2
ëÅ‚
EI Å" ´1P = - Å" 6 Å" 3Å" Å" 60 + Å"18öÅ‚ + Å" Å" 6 Å" Å" 3 - Å" 3Å" 3Å" Å" 36 = -414,0 kNm3
ìÅ‚ ÷Å‚
2 3 3 3 8 2 2 3
íÅ‚ Å‚Å‚
3.4. Rozwiązanie układu równań kanonicznych:
27,0/EI · X1  414,0/EI = 0 Ò! X1 = 15,(3) kN
4. Wykresy sił wewnętrznych w ramie:
II rok studiów zawodowych zaocznych /2003 Anita Kaczor 2
Politechnika PoznaÅ„ska º% Instytut Konstrukcji Budowlanych º% ZakÅ‚ad Mechaniki Budowli
Układy statycznie niewyznaczalne - metoda sił, obliczanie przemieszczeń Zad.2
5. Kontrola kinematyczna.
- przemieszczenie poziome pktu C:
(n) (n)
l
M M
p
h
1 Å" ´C = dx
"
+"
EI
0
- zgodnie z tw. redukcyjnym:
(n) (n) (n) 0
l l
M M M M
p p
h
1 Å" ´C = dx = dx
" "
+" +"
EI EI
0 0
0
- ponieważ M = M1:
(n)
l
M M1
p
h
1 Å" ´C = dx =
"
+"
EI
0
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 2 1 2 4 Å" 62 1 1 2 0
ëÅ‚
=
÷Å‚
ïÅ‚- Å" 6 Å" 3Å" ìÅ‚ 3 Å"14 + 3 Å"18öÅ‚ + 3 Å" 6 Å" 8 Å" 2 Å" 3 + 2 Å" 3Å" 3Å" 3 Å"10śł = EI = 0
EI 2
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
II rok studiów zawodowych zaocznych /2003 Anita Kaczor 3
Politechnika PoznaÅ„ska º% Instytut Konstrukcji Budowlanych º% ZakÅ‚ad Mechaniki Budowli
Układy statycznie niewyznaczalne - metoda sił, obliczanie przemieszczeń Zad.2
Zad.2b)
Kąt obrotu punktu A (pomijamy wpływ sił tnących i normalnych):
(n) (n)
l
M M
p
1 Å" ÕA = dx
"
+"
EI
0
Skorzystamy z tw. redukcyjnego i wyznaczonego w Zad.2. wykresu momentów zginających:
(n) (n) (n) 0
l l
M M M M
p p
1 Å" ÕA = dx = dx
" "
+" +"
EI EI
0 0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚kNm2 Å‚Å‚
1 1 2 1 2 4 Å" 62 1 1 -194
ëÅ‚
1 Å" ÕA =
÷Å‚
ïÅ‚- Å" 6 Å"1Å" ìÅ‚ 3 Å"18 + 3 Å"14öÅ‚ + 3 Å" 8 Å" 6 Å" 2 Å"1śł - 0,5EI Å"[5 Å"1Å"18]= EI ïÅ‚ śł
EI 2 EI
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Wymiarowanie przekroju:
M
1000
ekstr
potrz
wx = = = 46,51 cm3
Ãx 21,5
Przyjęto I160: wx=117cm3;
Ix=935cm4;
Iy=117cm4;
E=205Gpa;
35,378
1 Å" ÕC = = 0,0184 rad = 1,06o
1916,75
KÄ…t obrotu pktu A (dla I160) wynosi: ÕC = 0,0184 rad = 1,06o
II rok studiów zawodowych zaocznych /2003 Anita Kaczor 4