PRZESUNI
CIE i OBRÓT MOMENTÓW
BEZWA
ADNOŚCI FIGUR PA
ASKICH
GA
ÓWNE OSIE I MOMENTY BEZWA
ADNOŚCI
Wpływ przesunięcia osi na momenty bezwładności. Twierdzenie Steinera
Przesuńmy prostokątny układ współrzędnych w stosunku do pierwotnie przyjętego
Oxy o składowe przesunięcia a, b. W ten sposób uzyskuje się nowy układ &!��
(omega, ksi, eta) (rys.1). Znając dla pierwotnego układu osi momenty
bezwładności Ix, Iy i moment zboczenia Ixv, wyznacza się dla nowego układu
momenty I�, I�, I��
2 2
I� = dA I� = dA I�� =
+"� +"� +"��dA
A A A
Rys. 1.
Po podstawieniu � = x - a, � = y - b otrzymuje się
2
I� = y2dA - ybdA + b2dA
+"(y - b) dA = +" +"2 +"
A A A A
I� = Ix - 2b ydA +Ab2 (1)
+"
A
Analogicznie
I� = I - 2a xdA +Aa2 (2)
y
+"
A
1
Moment zboczenia
I�� =
+"��dA = +"(x - a)(y - b)dA =
A A
= xydA - xbdA - yadA + abdA
+" +" +" +"
A A A A
I�� = Ixy - b xdA - a ydA + abA
+" +"
(3)
A A
zauwa\
my, \
e całki
ydA = Sx , xdA = Sy są momentami statycznymi
+" +"
A A
W przypadku gdy początek układu xy pokrywa się ze środkiem cię\
kości figury,
momenty statyczne są równe zeru:
ydA = 0 xdA = 0
+" , +"
A A
Wówczas wzory (1), (2) i (3) mo\
na przedstawić prościej
I� = Ix + Ab2 (4)
I� = Iy + Aa2 (5)
I�� = Ixy + abA
(6)
Wzory (4), (5) i (6) wyra\
ają twierdzenie Steinera.
Jakub Steiner (1798-1863) - matematyk szwajcarski. Twierdzenie to jednak było znane ju\
wcześniej.
Moment bezwładności figury płaskiej względem osi odległej od środka cię\
kości
o odległości a jest równy momentowi bezwładności względem osi równoległej
przechodzącej przez środek cię\
kości, zwiększonemu o iloczyn całej powierzchni
figury przez kwadrat odległości a (Aa2).
2
Moment odśrodkowy (zboczenia) figury płaskiej względem układu osi o początku
przesuniętym względem środka cię\
kości figury o odległości a i b jest równy
momentowi zboczenia dla układu o osiach równoległych i początku w środku
cię\
kości, zwiększonemu o iloczyn powierzchni figury płaskiej i obydwu
składowych przesunięcia (Aab).
Z twierdzenia Steinera wypływa wniosek, \
e moment bezwładności względem
prostej przechodzącej przez środek cię\
kości jest zawsze mniejszy od momentu
bezwładności względem prostej do niej równoległej.
Obrót układu osi
Obróćmy prostokątny układ współrzędnych względem pierwotnie przyjętego Oxy
o kąt �. W ten sposób uzyskuje się nowy układ &!��, przy czym &! = O (rys.2).
_ -
- - -
� = OD = OK + BL = OB cos� + AB sin� = x cos� + y sin�
_ -
- - -
� = AD = AL - DL = AB cos� - OB sin� = y cos� - x sin�
A
D
K
L
�
�
�
�
B
Rys. 2.
Znając dla pierwotnego układu osi momenty bezwładności względem osi Ix, Iy i
układu osi Ixy, wyznaczamy dla nowego układu &!�� momenty osiowe I�, I� i
moment odśrodkowy (zboczenia) I��
3
2 2
I� = dA I� = dA I�� =
+"� +"� +"��dA
A A A
Jak wynika z rysunku 2
� = x cos� + y sin�
� = y cos� - x sin�
stąd
2
I� =
+"(y cos� - x sin�) dA =
A
= y2 cos2 �dA - 2 xy sin� cos�dA + x2 sin2 �dA
+" +" +"
A A A
I� = Ix cos2 � + I sin2 � - 2Ixy sin� cos�
y
I� = Ixcos2� + Iysin2� - Ixysin2�
(7)
Analogicznie
I� = cos� + y sin�)2 dA
+"(x
A
I� = Ix sin2 � + I cos2 � + 2Ixy sin� cos�
y
I� = Ixsin2� + Iycos2� + Ixysin2�
(8)
Moment zboczenia
I�� =
+"��dA = +"(x cos� + y sin�)(y cos� - x sin�)dA =
A A
= xy cos2 �dA - x2 sin� cos�dA +
+" +"
A A
+ y2 sin� cos�dA - xy sin2 �dA
+" +"
A A
4
1
�łI - Iy �łsin2� + Ixycos2�
I�� =
�ł �ł
(9)
x
2 �ł łł
Wstawiając
sin2� + cos2� = 1
cos 2�0 = cos2�0 - sin2�0
cos 2�0 = cos2�0 -1+ cos2 �0
1+ cos2�0
cos2�0 =
2
sin2� + cos2� = 1
cos 2� = 1- sin2 � - sin2�
cos 2� = 1- 2sin2 �
1- cos2�
sin2� =
2
1- cos 2� 1+ cos 2�
sin2 � = cos2 � =
2sin� cos� = sin 2�
, ,
2 2
otrzymujemy
1 1
I� = Ix + Iy + Ix - Iy cos2� - Ixy sin 2�
( ) ( )
(10)
2 2
1 1
I� = Ix + Iy - Ix - Iy cos 2� + Ixy sin 2�
( ) ( )
(11)
2 2
1
I�� = Ix - Iy sin 2� + Ixy cos2�
( )
(12)
2
5
Znając momenty bezwładności dla danego układu prostokątnego, ze wzorów
(10, 11 i 12) mo\
na wyznaczyć momenty bezwładności dla układu obróconego o
dowolny kąt �.
Główne osie bezwładności i główne momenty bezwładności
Wyznaczmy takie poło\
enie osi układu prostokątnego określone kątem �0, dla
którego moment odśrodkowy I��= 0. Osie te noszą nazwę głównych osi
bezwładności
Przyrównując I�� do zera z równania (12), otrzymujemy
1
Ix - Iy sin 2�0 + Ixy cos2�0 = 0
( )
2
Stąd
- 2Ixy
tan 2�0 =
Ix - Iy (13)
Wykorzystując zale\
ność (7) oraz (8) poprzez podstawienia to\
samościowe
I = Ixcos2�0 + Iysin2�0 - Ixysin2�0
�
I = Ixsin2�0 + Iycos2�0 + Ixysin2�0
�
sin2� + cos2� = 1
cos 2�0 = cos2�0 - sin2�0
cos 2�0 = cos2�0 -1+ cos2 �0
1+ cos2�0
cos2�0 =
2
6
sin2� + cos2� = 1
cos 2� = 1- sin2 � - sin2�
cos 2� = 1- 2sin2 �
1- cos2�
sin2� =
2
Podstawiając za sin2� oraz cos2� do równania (7) oraz (8) otrzymuje się
1+ cos2�0 1- cos2�0
I� = Ix + Iy - Ixysin2�0
2 2
Ix + Iy Ix - Iy
I� = + cos2�0 - Ixysin2�0 (14)
2 2
1- cos2�0 1+ cos2�0
I� = Ix + Iy + Ixysin2�0
2 2
Ix + Iy Iy - Ix
(15)
I� = + cos2�0 + Ixysin2�0
2 2
Wykorzystując zale\
ności to\
samościowe
tg2� 1
sin 2� = cos 2� =
2 oraz 2
1+ tg 2� 1+ tg 2�
podstawiając do zale\
ności (13) związki (14) i (15) uzyskuje się
Ix - Iy
cos2�0 =
2
2
Ix - Iy + 4Ixy (16)
( )
- 2Ixy
sin 2�0 =
2
2
Ix - Iy + 4Ixy (17)
( )
które po pod stawieniu do zale\
ności (14) oraz (15) pozwalają na określenie
głównych osi bezwładności
7
Wartości momentów bezwładności względem głównych osi bezwładności
wyznaczamy, wstawiając do wyra\
eń na I� i I� obliczony ze wzoru (13, 16 i 17)
kąt �0 . Uwzględniając powy\
sze przekształcenia otrzymujemy ostatecznie
1
2
2
I1,2 = (Ix + I )ą (Ix - I ) + 4Ixy (14)
y y
2
Dla ka\
dej figury płaskiej i dla dowolnie przyjętego punktu jako początek układu
mo\
na wyznaczyć taką orientację dwu osi prostopadłych, dla których moment
zboczenia znika. Osie te nazywa się głównymi osiami bezwładności 1 i 2.
Momenty bezwładności względem głównych osi bezwładności nazywa się
głównymi momentami bezwładności. Osiągają one ekstremalne wartości.
Je\
eli początek układu głównych osi bezwładności przyjmie się w środku
cię\
kości figury, to osie te nazywa się głównymi centralnymi osiami
bezwładności, momenty zaś względem tych osi głównymi centralnymi
momentami bezwładności. W teorii prętów prawie wyłącznie występują główne
centralne momenty bezwładności (często określenie "centralne" opuszcza się).
Wyznaczenie głównych osi bezwładności upraszcza się znacznie dla figur
osiowosymetrycznych.
8
Rozwa\
my figurę jak na rys. 3. Niech oś y będzie zarazem jej osią symetrii i
dzieli całą figurę na dwie składowe I i II, stąd moment odśrodkowy całej figury Ixy
równa się sumie momentów odśrodkowych dla figur składowych IIxy i IIIxy
I II
Ixy = Ixy + Ixy ,
I II
Ixy = xydAI , Ixy = xydAII
+" +"
A A
Rys. 3.
I
Ka\
demu elementowi powierzchni figury dA odpowiada symetryczny
II
względem osi y element dA , przy czym współrzędne x elementów obydwu figur
składowych ró\
nią się znakami. Stąd
xydAI = - xydAII
+" +"
A A
więc
I II
Ixy = -Ixy
i w rezultacie
I II
Ixy = Ixy + Ixy = 0,
W ten sposób jest spełniony warunek dla głównych osi bezwładności. Oś symetrii
musi ponadto przechodzić przez środek cię\
kości figury, a zatem
Ka\
da oś symetrii figury płaskiej jest jej główną centralną osią bezwładności
Drugą główną centralną osią bezwładności jest oś prostopadła do osi symetrii i
przechodząca przez środek cię\
kości figury.
9