Momenty bezwładności figur płaskich - definicje i wzory
Dana jest figura płaska o polu A oraz prostokątny układ współrzędnych Oxy.
y
dA
y
A
x
x
O
Momentem bezwładności figury względem osi x jest
I = y2dA .
x
+"
A
Momentem bezwładności figury względem osi y jest
I = x2dA .
y
+"
A
Momentem dewiacyjnym figury względem prostokątnego układu osi x i y jest
I = xydA .
xy
+"
A
Z definicji momentów bezwładności wynika, że mogą być one tylko dodatnie.
Natomiast moment dewiacyjny może być dodatni, ujemny lub równy zero.
W przypadku równoległego przesunięcia osi układu korzystamy z twierdzenia
Steinera, wyrażonego poniższymi wzorami:
y
yc
b
A
xc
C(b, a)
a
O
x
I = I + A �" a2
x xc
I = I + A �" b2
y yc
I = I + A �" a �" b
xy xc yc
gdzie osie xc i yc są osiami centralnymi, natomiast b i a są współrzędnymi punktu C w
układzie Oxy. Z rysunku wynika, że są to odległości między osiami.
Osiowe momenty bezwładności oraz dewiacyjny moment figury względem osi
centralnych można wyznaczyć korzystając z przekształconych wzorów Steinera:
I = I - A �" a2
xc x
I = I - A �" b2
yc y
I = I - A�" a �" b .
xc yc xy
Przyjmijmy prostokątny układ współrzędnych O�� obrócony o kąt Ć względem układu
Oxy. Współrzędne dowolnego punktu figury płaskiej spełniają zależności:
� = x cos Ć + y sin Ć
� = y cos Ć - x sin Ć.
y
A
�
y
Ć
�
�
�
Ć
x
x
O
Wykorzystując te zależności wyznaczamy momenty bezwładności i moment
dewiacyjny w obróconym układzie O��:
2
I� = dA = I cos2� + I sin2 � - 2I sin �cos �
x y xy
+"�
A
2
I� = dA = I cos2 � + I sin2 � + 2I sin �cos �
y x xy
+"�
A
I�� = )sin (cos2 � - sin2 �)
x y xy
+"��dA =(I - I �cos � + I
A
lub
(I + I )+ (I - I )cos 2� - I sin 2�
x y x y
I� =
xy
2 2
(I + I ) (I - I )cos 2� + I sin 2�
x y x y
I� = -
xy
2 2
(I - I )sin 2� + I cos 2� .
x y
I�� =
xy
2
Osie układu prostokątnego, w którym moment dewiacyjny I�� = 0 nazywamy
głównymi osiami bezwładności. Kąt Ćo między osiami prostokątnego układu Oxy i układu
głównych osi bezwładności spełnia równanie:
- 2I
xy
tg 2�o =
I - I
x y
Momenty bezwładności względem głównych osi bezwładności osiągają wartości
ekstremalne:
2
I + I I - I
�# ś#
x y x y 2
ś# ź#
I1 = Imax = + + I
xy
ś# ź#
2 2
�# #
2
I + I I - I
�# ś#
x y x y 2
I2 = Imin = - ś# ź#
+ I .
xy
ś# ź#
2 2
�# #
Z powyższych wzorów wynika, że I + I = I� + I� = I1 + I2
x y
Główna oś bezwładności, względem której moment bezwładności ma wartość
I1 = Imax tworzy z osią x kąt �1 , natomiast główna oś bezwładności, względem której
2
moment bezwładności ma wartość I2 = Imin tworzy z osią x kąt �2 . Kierunki główne
minimalnego i maksymalnego momentów bezwładności wyznaczamy następująco:
Ą
1. Ix > Iy to �1 = �o , natomiast �2 = �o +
2
Ą
2. Ix < Iy to �1 = �o + , natomiast �2 = �o
2
Ą Ą
3. Ix = Iy , Ixy > 0 to �1 = - , natomiast �2 =
4 4
Ą Ą
4. Ix = Iy , Ixy < 0 to �1 = , natomiast �2 = - .
4 4
Znak dodatni bądz
ujemny kąta Ć ilustruje poniższy rysunek.
y y
Ć > 0
x x
O O
Ć < 0
O głównych centralnych osiach bezwładności mówimy wówczas, gdy układ osi
głównych ma początek w środku ciężkości rozpatrywanej figury płaskiej. Momenty
bezwładności względem tych osi nazywamy głównymi centralnymi momentami
bezwładności.
Jeżeli jedna z osi układu współrzędnych jest osią symetrii figury płaskiej, to moment
dewiacyjny figury w takim układzie współrzędnych jest równy zero.
W przypadku wyznaczania momentów bezwładności i momentu dewiacyjnego figury
złożonej będziemy stosować metodę superpozycji, traktując rozpatrywaną figurę jako sumę
figur elementarnych, takich jak np. prostokąt, trójkąt i fragment koła. Korzystać będziemy z
wartości momentów bezwładności i momentu dewiacyjnego dla wymienionych figur.
1. Prostokąt
y yc
b
2
y
dA=dxdy
dy
y
xc
h
h
C
h
2
x
x
x
O
O
b
dx
b
b h
1
I = y2dA = y2dxdy = bh3
x
+" +"+"
3
A 0 0
3
b h
1
I = x2dA = x2dxdy = hb3
y
+" +"+"
3
A 0 0
b h
1
I = xydA = xydxdy = b2h2
xy
+" +"+"
4
A 0 0
2 2
h 1 h 1
�# ś#
I = I - A �" = bh3 - bh �"�# ś# = bh3
ś# ź# ś# ź#
xc x
2 3 2 12
�# # �# #
2 2
b 1 b 1
�# ś#
I = I - A�" = hb3 - bh �"�# ś# = hb3
ś# ź# ś# ź#
yc y
2 3 2 12
�# # �# #
b h 1 b h
�# ś# �# ś# �# ś# �# ś#
I = I - A�" �" = b2h2 - bh �" �" = 0
ś# ź# ś# ź# ś# ź# ś# ź#
xc yc xy
2 2 4 2 2
�# # �# # �# # �# #
2. Trójkąt
b
y
yc
y
3
dA=dxdy
h h
dy xc
C
y h
3
x
x
x
O O
h b
dx
y=- �" x + h
b b
x
�# ś#
Ą# ń#
h 1- ź#
ś#
b
b �# #
ó# Ą#
1
I = y2dA = y2dyĄ#dx = bh3
x ó#
+" +"ó# +"
12
A 0 0
Ą#
Ł# Ś#
x
�# ś#
Ą# ń#
h 1- ź#
ś#
b
b �# #
ó# Ą#
1
I = x2dA = x2dyĄ#dx = hb3
y ó#
+" +"ó# +"
12
A 0 0
Ą#
Ł# Ś#
x
�# ś#
Ą# ń#
h 1- ź#
ś#
b
b �# #
ó# Ą#
1
I = xydA = xydyĄ#dx = h2b2
xy ó#
+" +"ó# +"
24
A 0 0
Ą#
Ł# Ś#
2 2
h 1 1 h 1
�# ś# �# ś#
I = I - A�" = bh3 - bh �" = bh3
ś# ź# ś# ź#
xc x
3 12 2 3 36
�# # �# #
2 2
b 1 1 b 1
�# ś# �# ś#
I = I - A �" = hb3 - bh �" = hb3
ś# ź# ś# ź#
y y
c
3 12 2 3 36
�# # �# #
b h 1 1 b h 1
�# ś# �# ś# �# ś#
I = I - A�"�# ś# �" = b2h2 - bh �" �" = - b2h2
ś# ź# ś# ź# ś# ź# ś# ź#
xc yc xy
3 3 24 2 3 3 72
�# # �# # �# # �# #
4
3. Ćwiartka koła
4r
yc
y
3Ą
y
d�
dA=�dĆd�
�
xc
C
dĆ 4r
y=�sinĆ
Ć
3Ą
x
x
O O
r
x=�cosĆ
r
Ą
r
2
1
2 4
I = y2dA = sin2��d�d� = Ąr
x
+" +"+"�
16
A 0 0
Ą
r
2
1
2 4
I = x2dA = cos2��d�d� = Ąr
y
+" +"+"�
16
A 0 0
Ą
r
2
1
2 4
I = xydA = sin�cos��d�d� = r
xy
+" +"+"�
8
A 0 0
2 2
4r 1 1 4r
�# ś# �# ś#
4 2 4
I = I - A�" = Ąr - Ąr �" E" 0.05488r
ś# ź# ś# ź#
xc x
3Ą 16 4 3Ą
�# # �# #
2 2
4r 1 1 4r
�# ś# �# ś#
4 2 4
I = I - A �" = Ąr - Ąr �" E" 0.05488r
ś# ź# ś# ź#
yc y
3Ą 16 4 3Ą
�# # �# #
2 2
4r 1 1 4r
�# ś# �# ś#
4 2 4
I = I - A �" = r - Ąr �" E"
ś# ź# ś# ź# -0.01647r
xc yc xy
3Ą 8 4 3Ą
�# # �# #
4. Półkole
yc=y
xc
C 4r
3Ą
x
O
r r
1 1
4 4
I = I = 2 �" �" Ąr = Ąr
x y
16 8
5
2
Ą# ń#
1 1 4r
4 2 4
I = 2 �" Ąr - Ąr �"�# ś# Ą# E" 0.10976r
ó# ś# ź#
xc
ó#16 4 �# 3Ą # Ą#
Ł# Ś#
I = I = 0
xc yc xy
5. Kwadrat
yc
yc
xc
xc
C C
a
a
1
I = I = a4
xc yc
12
I = 0
xc yc
W przypadku kwadratu momenty bezwładności i moment dewiacyjny w dowolnym
układzie osi centralnych przyjmują podane powyżej wartości.
Przykład I
Wyznaczyć momenty bezwładności i moment dewiacyjny dla poniższego trójkąta
równoramiennego w układzie Oxy.
y
a
~
yc = 2a
C
C
a
a
x
~
O
xc = -3a
3a a
yc y yc y
C2
xc xc
C C1
x x
O O
6
Wprowadzamy układ osi centralnych dla trójkąta. Oś xc jest osią symetrii figury.
Następnie dzielimy trójkąt równoramienny na dwa trójkąty prostokątne.
Moment bezwładności trójkąta równoramiennego względem osi xc jest sumą
momentów bezwładności względem tej osi dwu jednakowych trójkątów prostokątnych,
stykających się podstawą z osią xc.
1 1
I = 2 �" �" 3a �" a3 = a4
xc
12 2
Moment bezwładności trójkąta równoramiennego względem osi yc jest sumą
momentów bezwładności względem tej osi dwu jednakowych trójkątów prostokątnych. Na
osi yc leżą środki ciężkości obu trójkątów, a więc
1 3
3
I = 2 �" a �"(3a) = �" a4
yc
36 2
Moment dewiacyjny trójkąta równoramiennego względem układu osi xcyc jest równy
zero, gdyż oś xc jest osią symetrii rozpatrywanej figury.
I = 0
xc yc
Aby wyznaczyć momenty bezwładności i moment dewiacyjny dla trójkąta
równoramiennego w układzie Oxy należy skorzystać z twierdzenia Steinera. Pole powierzchni
trójkąta wynosi
1
A = �"3a �" 2a = 3a2 .
2
1
2
2
~
I = I + A�" y = a4 + 3a2 �"(2a) = 12.5a4
x xc
2
3
2
~
I = I + A �" xc 2 = a4 + 3a2 �"(- 3a) = 28.5a4
y yc
2
~ ~
I = I + A�" xc �" yc = 0 + 3a2 �"(- 3a)�" 2a = -18a4
xy xc yc
Przykład II
Wyznaczyć momenty bezwładności i moment dewiacyjny dla poniższego trójkąta w
układzie współrzędnych Oxy.
10
a
y y yc
3
D
8a 8a
3a
C
5a 6a 5a 6a
B
3a 3a
2a 2a
A
O x O x
2a 6a 2a 6a
4a 4a
Rozpatrywaną figurę otrzymamy odejmując figurę II od figury I.
7
10 10
a a
y y
yc1 yc2
3 3
8a
5a
6a
xc1
xc2
3a
C1
C2
4a
2a 2a
3a
4a
4a
O O
2a 6a x 2a 6a x
figura I figura II
1 10
~ ~
AI = �" 4a �" 6a = 12a2 , xc1 = a , yc1 = 4a ,
2 3
1 10
~ ~
AII = �" 4a �"3a = 6a2 , xc2 = a , yc2 = 3a .
2 3
A = AI - AII = 12a2 - 6a2 = 6a2
Moment bezwładności względem osi x wyznaczymy jako różnicę momentu
bezwładności względem osi x figury I i figury II.
I II I II
~ ~
I = I - I = I + AI �" yc12 -(I + AII �" yc2 2)=
x x x xc1 xc 2
1 1
3 2 Ą# 2 2 ń#
= �" 4a �"(6a) +12 a2�"(4a) - �" 4a �"(3a) + 6a2 �"(3a) = 159a4
ó#36 Ą#
36
Ł# Ś#
W przypadku wyznaczania momentu bezwładności względem osi y nie musimy
dzielić figury. Bok BD trójkąta jest równoległy do osi y i do osi yc . Moment bezwładności
względem osi yc obliczymy korzystając ze wzoru
1 1 16
3
I = �" b �" h3 = �" 3a �"(4a) = a4
yc
36 36 3
Moment bezwładności względem osi y wyznaczymy z wykorzystaniem wzoru Steinera
2
16 10
�#
4
~
I = I + A �" xc 2 = a4 + 6a2 �" aś# = 72a
ś# ź#
y yc
3 3
�# #
W celu obliczenia momentu dewiacyjnego traktujemy rozpatrywany trójkąt jako
różnicę figury I i figury II.
I II II
~ ~ ~ ~
I = I - I = I + AI �" xc1 �" yc1 -(I + AII �" xc2 �" yc2)=
xy xy xy xc1yc1 xc 2 yc2
1 10 1 10
2 2 Ą# 2 2
= - �"(4a) �"(6a) +12a2 �" a �" 4a - (4a) �"(3a) + 6a2 a �" 3ań# = 94a4
ó#- Ą#
72 3 72 3
Ł# Ś#
Przykład III
Wyznaczyć momenty bezwładności i moment dewiacyjny dla poniższej figury w
układzie współrzędnych Oxy.
8
 y
7a 8a
x
a
O
a
4a
5a
Przed wyznaczeniem momentu bezwładności rozpatrywanej figury względem osi x
dokonamy jej podziału na dwa prostokąty, tak żeby każdy prostokąt jednym bokiem stykał się
z osią x.
y
y
7a 8a 7a 8a
x x
a a
a a
4a 4a
5a 5a
1 1
3
I = �" a �"(8a) + �" 4a �" a3 = 172a4
x
3 3
W celu obliczenia momentu bezwładności figury względem osi y dokonamy jej
podziału na dwa prostokąty, z których każdy jednym bokiem styka się z osią y.
1 1
3
I = �" 7a �" a3 + �" a �"(5a) = 44a4
y
3 3
Dla wyznaczenia momentu dewiacyjnego zastosujemy jeszcze inny podział.
a
y 4a
y y y
7a 8a
5a
x x x
x
a
9
Do obliczeń przyjmujemy figury składowe, zgodne z powyższym rysunkiem. Dwa
prostokąty o wymiarach 8a x a i a x 5a mają część wspólną w postaci kwadratu o boku a, dla
którego moment dewiacyjny będzie uwzględniony dwukrotnie. Należy więc w obliczeniach
moment dewiacyjny dla tego kwadratu, traktowanego jako trzecia figura, przyjąć ze znakiem
minus.
1 1 1
2 2
I = �"(8a) �" a2 + �" a2 �"(5a) - �" a2 �" a2 = 22a4 .
xy
4 4 4
10
Przykład 2.1. Figura ze środkiem symetrii
Polecenie: Wyznaczyć główne centralne momenty bezwładności oraz kierunki główne dla
poniższej figury korzystając z metody analitycznej i graficznej (konstrukcja koła Mohra).
3r
3r
3r
3r
3r
3r
3r 3r
Rozpatrywana figura ma środek symetrii w punkcie przecięcia przekątnych prostokąta,
w który jest wpisana. Środek ciężkości figury leży w jej środku symetrii. Przez środek
symetrii prowadzimy osie centralne x i y . Następnie dzielimy figurę na prostokąt i dwa
c c
półkola, które traktujemy jako pola ''ujemne''.
y
y
y
c
c
c
y
c2
3r
3r
C2 x
6r c2
y
c3
3r
3r
x
x
x
c
c
C
C=C1 c 3r
C
3r
C3
6r
x
c3
3r
3r
3r 3r
6r
3r 3r
W związku z tym, że własne osie centralne figury II i III (górnego i dolnego półkola)
nie pokrywają się z osiami centralnymi całej figury, będziemy korzystać z twierdzenia
Steinera. Wyznaczmy zatem pola powierzchni i współrzędne środków ciężkości dla tych figur
w układzie x y .
c c
1 9 4 3r 4r
2
2
~ ~
AII = �" Ą �"(3r) = Ąr , xc2 = 3r - �" = 3r - , yc2 = 3r
2 2 3 Ą Ą
1 9 4 3r 4r
2 ś#
2
~ ~
AIII = �" Ą �"(3r) = Ąr , xc3 = -�#3r - �" = -3r + , yc3 = -3r
ś# ź#
2 2 3 Ą Ą
�# #
1 1 9
3 Ą# 4 2 ń#
2 4
I = �" 6r �"(12r) - 2 �" �" Ą �"(3r) + Ąr �"(3r) = 545.91r
xc
ó#8 Ą#
12 2
Ł# Ś#
2 2
ż# �#
ń#
1 1 9 4 3r 9 4 3r
�#Ą#
3 4 �# ś# �#3r ś# �#
2 2 4
I = �"12r �"(6r) - 2 �" �" Ą �"(3r) - Ąr �" �" + Ąr �" - �" = 113.91r
ó# ś# ź# Ą# ś# ź#
�# Ź#
yc
12 2 3 Ą 2 3 Ą
�# # �# #
�#Ł#8 Ą# �#
Ś#
�#ó# �#
Ą# ń#
9 4 3r
�#3r ś#
4
I = 0 - 2 �" + Ąr �" 3r �" - �" = -146.47r
ó#0 2 ś# ź# Ą#
xc yc
2 3 Ą
�# #
ó# Ą#
Ł# Ś#
Wyznaczamy teraz kierunki główne.
4
- 2I
xC yC - 2 �"(-146.47r )
tg 2�o = = = 0.6781
4 4
I - I 545.91r -113.91r
xC yC
2�o = 0.5959rad , �o = 0.2979rad .
Ą Ą
ś#
Ponieważ I > I to �1 = �o = 0.2979 rad, natomiast �2 = �o + = �#0.2979 + rad =
ś# ź#
xc yc
2 2
�# #
=1.8687rad
Główne centralne momenty bezwładności przyjmują następujące wartości:
2
I + I I
�# - I
ś#
xc yc xc yc 2
ś# ź#
I1 = Imax = + + I =
xc yc
ś# ź#
2 2
�# #
2
4 4 4 4
�# ś#
545.91r +113.91r 545.91r -113.91r 2
4 4
ś# ź#
= + + (-146.47r ) = 590.89r
ś# ź#
2 2
�# #
2
I + I I
�# - I
ś#
xc yc xc yc 2
I2 = Imin = - ś# ź#
+ I =
xc yc
ś# ź#
2 2
�# #
2
4 4 4 4
�# ś#
545.91r +113.91r 545.91r -113.91r 2
4 4
= - ś# ź#
+ (-146.47r ) = 68.93r
ś# ź#
2 2
�# #
Na poniższym rysunku przedstawione są kierunki główne.
kierunek Imin y
c
Ą
�2 = �o +
3r
kierunek Imax
2
3r
�1 = �o = 0.2979rad
C
x
c
3r
3r
3r 3r
Główne centralne momenty bezwładności oraz kierunki główne można wyznaczyć
metodą graficzną, stosując konstrukcję koła Mohra. Korzystamy z wyznaczonych wartości
momentów bezwładności w układzie x y
c c
4 4
I = 545.91r , I = 113.91r ,
xc yc
oraz wartości momentu dewiacyjnego
2
4
I = -146.47r .
xc yc
kierunek minimalnego
momentu bezwładności
kierunek maksymalnego
D momentu bezwładności
R
�o
Momenty bezwładności
E C
O B F
A
Przyjęta skala: 100 r4
A(I ,0)
xc
I2
B(I ,0)
yc
I
yc
(I + I )
I + I
xc yc �# ś#
ś# ź#
Cś# xc yc ,0ź#
2
2
�# #
I D(I ,- I )
xc xc xc yc
E(I2 ,0)
I1
F(I1 ,0)
Kolejność postępowania przy rozwiązywaniu zadania metodą graficzną jest następująca:
1. Wyznaczenie położenia punktów A i B
4 4
Wartości momentów bezwładności w układzie x y I = 545.91r , I = 113.91r stanowią
c c xc yc
odpowiednio współrzędne punktów A(545.91r4,0) i B(113. 91r4,0).
2. Wyznaczenie położenia punktu C
Punkt C(329.91r4,0) jest środkiem odcinka AB i środkiem koła Mohra.
3. Wyznaczenie położenia punktu D
4 4
Po uwzględnieniu wartości I = 545.91r oraz I = -146.47r otrzymamy współrzędne
xc xc yc
punktu D(545.91r4,-(-146.47r4)), czyli D(545.91r4,146.47r4).
4. Wyznaczenie promienia koła Mohra
A
ączymy punkty C i D odcinkiem CD , który stanowi promień R koła Mohra. Promieniem
tym zataczamy okrąg.
5. Wyznaczenie głównych momentów bezwładności
Koło Mohra przecina oś poziomą w dwu punktach: E i F. Długość odcinka OE odpowiada
minimalnemu momentowi bezwładności I2 , natomiast długość odcinka O F odpowiada
maksymalnemu momentowi bezwładności I1 .
6. Wyznaczenie kierunków głównych
Oś przechodząca przez punkty E i D jest osią maksymalnego momentu bezwładności, a oś
przechodząca przez punkty F i D jest osią minimalnego momentu bezwładności.
3
Momenty dewiacyjne
Przykład 2.2. Figura złożona
Polecenie: Wyznaczyć główne centralne momenty bezwładności oraz kierunki główne dla
poniższej figury.
y
x
2r
O
2r 2r
3r 3r 3r
3r
3r
3r 2r 3r 3r 2r 3r
W celu wyznaczenia środka ciężkości oraz obliczenia wartości momentów
bezwładności i momentu dewiacyjnego przyjmujemy układ współrzędnych Oxy oraz
dzielimy rozpatrywaną figurę na cztery figury podstawowe.
y y
yc 3 y c 4
yc 2 x x
yc1 O
O
2r 2r
C 3 xc 3 C 4
xc 4
III
IV
C2
3r
xc 2 3r 8r
C1
xc1
3r
3r
I II
3r 5r 2r 3r
Obliczamy pola figur składowych i określamy współrzędne ich środków ciężkości.
1 9 4 �" 3r 4r
2
2
~ ~
AI = �" Ą �"(3r) = Ąr , xc1 = - = - , yc1 = -5r
2 2 3�" Ą Ą
1 5 1
2
~ ~
AII = 5r �"8r = 40r , xc2 = �" 5r = r , yc 2 = - �"8r = -4r
2 2 2
1 4 �" 2r 8r 4 �" 2r 8r
2
2
~ ~
AIII = �" Ą �"(2r) = Ąr , xc3 = = , yc3 = - = -
4 3�" Ą 3Ą 3�" Ą 3Ą
1 15 2 �" 3r 1 5
2
~ ~
AIV = �" 3r �" 5r = r , xc4 = 2r + = 4r , yc 4 = - �" 5r = - r
2 2 3 3 3
Całkowite pole figury wynosi:
9 15
2 2 2 2 2
A = AI + AII - AIII - AIV = Ąr + 40r - Ąr - r = 43.496r
2 2
Moment statyczny względem osi y wynosi:
~ ~ ~ ~
S = AI �" xc1 + AII �" xc2 - AIII �" xc3 - AIV �" xc4 =
y
9 4r 5 8r 15
�# ś#
2 2 2 2
= Ąr �" + 40r �" r - Ąr �" - r �" 4r = 49.333r3
ś#- ź#
2 Ą 2 3Ą 2
�# #
Moment statyczny względem osi x wynosi:
~ ~ ~ ~
Sx = AI �" yc1 + AII �" yc2 - AIII �" yc3 - AIV �" yc4 =
9 8r 15 5
�# ś# �# ś#
2 2 2 2
= Ąr �"(- 5r)+ 40r �"(- 4r)- Ąr �"
ś#- ź# - r �" r = -215.519r3
ś#- ź#
2 3Ą 2 3
�# # �# #
Współrzędne środka ciężkości rozpatrywanej figury wynoszą odpowiednio:
S
49.333r3 Sx - 215.519r3
y
~ ~
xc = = = 1.1342r oraz yc = = = -4.9549r .
2 2
A 43.496r A 43.496r
yc
y
x
O
xc
C
Wyznaczymy momenty bezwładności i moment dewiacyjny w układzie Oxy.
I II III IV
I = I + I - I - I =
x x x x x
1 9 1 1 1
4 2 3 4 3
2 4
= Ą �"(3r) + Ąr �"(- 5r) + �" 5r �"(8r) - Ą �"(2r) - �" 3r �"(5r) = 1204.18r
8 2 3 16 12
I II III IV
I = I + I - I - I =
y y y y y
1 1 1 1 15
4 3 4 Ą# 3 2 ń#
2 4
= Ą �"(3r) + �"8r �"(5r) - Ą �"(2r) - �" 5r �"(3r) + r �"(4r) = 238.25r
ó#36 Ą#
8 3 16 2
Ł# Ś#
I II III IV
I = I + I - I - I =
xy xy xy xy xy
9 4r 1 1
�# ś# 2 2 �# 4 ś#
2
= 0 + Ąr �"(- 5r)�"
ś#- ź# - �"(8r) �"(5r) - ś#- �"(2r) +
ź#
2 Ą 4 8
�# # �# #
Ą# 1 15 5 ń#
2 2 �# ś#
2 4
- �"(5r) �"(3r) + r �"(4r)�" r = -254.88r
ś#- ź#Ą#
ó#-
72 2 3
�# #
Ł# Ś#
Następnie wyznaczymy momenty bezwładności i moment dewiacyjny w układzie osi
centralnych x i y korzystając z przekształconych wzorów Steinera:
c c
2
4 2 4
~
I = I - A �" yc 2 = 1204.18r - 43.496r �"(- 4.9549r) = 136.31r
xc x
2
4 2 4
~
I = I - A�" xc 2 = 238.25r - 43.496r �"(1.1342r) = 182.30r
yc y
2
4 2 4
~ ~
I = I - A�" xc �" yc = -254.88r - 43.496r �"1.1342r �"(- 4.9549r) = -10.44r .
xc yc xy
Momenty bezwładności względem głównych centralnych osi bezwładności osiągają
wartości:
2
I + I I
�# - I
ś#
xc yc xc yc 2
ś# ź#
I1 = Imax = + + I =
xc yc
ś# ź#
2 2
�# #
2
4 4 4 4
�# ś#
136.31r +182.30r 2
4 4
ś#136.31r -182.30r ź#
= + + (-10.44r ) = 184.56r
ś# ź#
2 2
�# #
2
I + I I
�# - I
ś#
xc yc xc yc 2
I2 = Imin = - ś# ź#
+ I =
xc yc
ś# ź#
2 2
�# #
2
4 4 4 4
�# ś#
136.31r +182.30r 2
4 4
= - ś#136.31r -182.30r ź#
+ (-10.44r ) = 134.05r
ś# ź#
2 2
�# #
Kąt Ćo między osiami centralnymi x y i głównymi centralnymi osiami bezwładności
c c
spełnia równanie:
4
- 2 �" I
xc yc - 2 �"(-10.44r )
tg 2�o = = = -0.4540
4 4
I - I 136.31r -182.30r
xc yc
stąd 2�o = -0.4262rad , �o = -0.2131rad .
Główna oś bezwładności, względem której moment bezwładności ma wartość
I1 = Imax tworzy z osią xc kąt �1 , natomiast główna oś bezwładności, względem której
moment bezwładności ma wartość I2 = Imin tworzy z osią xc kąt �2 .
W związku z tym, że I < I to:
xc yc
Ą Ą
�# ś#rad
�1 = �o + = 0.2131+ = 1.3577rad , zaś �2 = �o = -0.2131rad .
ś#-
ź#
2 2
�# #
Kierunek maksymalnego
momentu bezwładności
yc
y
x
O
�1
xc
C
Kierunek minimalnego
�2
momentu bezwładności
3
Przykład 2.3. Figura złożona
Polecenie: Wyznaczyć główne centralne momenty bezwładności oraz kierunki główne dla
poniższej figury.
3r
3r
�
�
4r
W celu wyznaczenia środka ciężkości oraz obliczenia wartości momentów
bezwładności i momentu dewiacyjnego przyjmujemy dwa współśrodkowe prostokątne układy
współrzędnych Oxy i Ouv oraz dzielimy rozpatrywaną figurę na dwie figury podstawowe.
v y u
I
II
3r
3r
ą
�
�
O x
4r
Z wymiarów zadania wynika, że przeciwprostokątna trójkąta (figura II) ma długość
równą :
3 4
2 2
2
(3r) + (4r) = 25r = 5r , a więc sin ą = , cos ą = .
5 5
vc1
v y u
uc1
yc2
I
II
C1 C
3r
xc2
3r
C2
ą
�
�
O x
4r
Układ współrzędnych Ouv obrócony jest o kąt ą względem układu Oxy. Współrzędne
dowolnego punktu spełniają zależności:
u = x cos ą + y sin ą
v = y cos ą - x sin ą.
Współrzędne środka ciężkości trójkąta (II figury) w układzie Oxy są równe:
2 8 1
~ ~
xc 2 = �" 4 r = r , yc 2 = �" 3r = r
3 3 3
zaś w układzie Ouv przyjmują wartości:
8 4 3 41 4 8 3 4
~ ~
uc 2 = r �" + r �" = r , vc 2 = r �" - r �" = - r
3 5 5 15 5 3 5 5
Obliczamy pola figur składowych i określamy współrzędne ich środków ciężkości w
układzie Ouv.
1 9 4 �" 3r 4r 4 �" 3r 4r
2
2
~ ~
AI = �" Ą �"(3r) = Ąr , uc1 = = , vc1 = = ,
4 4 3Ą Ą 3Ą Ą
1 41 4
2
~ ~
AII = �" 4r �" 3r = 6r , uc 2 = r , vc 2 = - r .
2 15 5
Całkowite pole figury wynosi:
9
2 2 2
A = AI + AII = �" Ąr + 6r = 13.0686r
4
Moment statyczny względem osi v wynosi:
9 4r 41
�# ś#
2 2
~ ~
Sv = AI �" uc1 + AII �" uc2 = Ąr �" + 6r �" r = 25.4r3
ś# ź#
4 Ą 15
�# #
Moment statyczny względem osi u wynosi:
9 4r 4
�# ś# �# ś#
2 2
~ ~
Su = AI �" vc1 + AII �" vc2 = Ąr �" + 6r �" r = 4.2r3
ś# ź# ś#- ź#
4 Ą 5
�# # �# #
Współrzędne środka ciężkości rozpatrywanej figury w układzie Ouv wynoszą
odpowiednio:
Sv 25.4r3 Su 4.2r3
~ ~
uc = = = 1.9436r oraz vc = = = 0.3214r .
2 2
A 13.0686r A 13.0686r
v y
vc u
yc2 uc
I
II
C1
3r
C
xc2
3r
C2
ą
�
�
x
4r
Wyznaczymy momenty bezwładności i moment dewiacyjny dla obu figur składowych
w układzie osi Ouv. Dla pierwszej figury (ćwiartka koła) mamy
1 1
4 4
4 4
Iu I = Iv I = �" Ą �"(3r) = 15.904r , Iuv I = �"(3r) = 10.125r .
16 8
Dla drugiej figury (trójkąt) obliczenia przeprowadzimy w układzie osi Oxy.
2
1
II 3
4
I = �" 4r �"(3r) = 9r
x
12
W celu wyznaczenia momentu bezwładności względem osi y figury II, przedstawimy
ją jako różnicę dwu figur, zgodnie z poniższym rysunkiem.
y y
3r
x
x
O
O
4r 4r
1 1
II 3 3
4
I = �" 3r �"(4r) - �" 3r �"(4r) = 48r
y
3 12
Moment dewiacyjny figury II w układzie Oxy wyznaczymy korzystając z twierdzenia
Steinera
1 8
II II 2 2
2 4
~ ~
I = I + AII �" xc �" yc = �"(4r) �"(3r) + 6r �" r �" r = 18r .
xy xc yc
2 2
72 3
Momenty bezwładności i moment dewiacyjny figury II w obróconym układzie Ouv
wyznaczamy z zależności:
16 9 4 3
II II II
4 4 4 4
Iu II = I cos2ą + I sin2 ą - 2I sin ą cos ą = 9r �" + 48r �" -18r �" �" = 5.76r
x y xy
25 25 5 5
16 9 4 3
II II II
4 4 4 4
Iv II = I cos2 ą + I sin2 ą + 2I sin ą cos ą = 48r �" + 9r �" +18r �" �" = 51.24r
y x xy
25 25 5 5
II II II
Iuv II = (I - I )sin ą cos ą + I (cos2 ą - sin2 ą)=
x y xy
3 4 16 9
�# ś#
4 4 4 4
= (9r - 48r )�" �" +18r �" - ź# -13.68r
=
ś#
5 5 25 25
�# #
Momenty bezwładności i moment dewiacyjny rozważanej figury, będącej sumą figury
I i II, w obróconym układzie Ouv obliczymy jako sumy momentów dla figur składowych.
4 4 4
Iu = Iu I + Iu II = 15.904r + 5.76r = 21.664r
4 4 4
Iv = Iv I + Iv II = 15.904r + 51.24r = 67.144r
4 4 4
Iuv = Iuv I + Iuv II = 10.125r -13.68r = -3.555r .
Momenty bezwładności i moment dewiacyjny trójkąta w obróconym układzie Ouv
możemy obliczyć bez konieczności transformowania ich przez obrót układu. Trójkąt można
podzielić na dwa trójkąty prostokątne, których boki przyprostokątne są równoległe do osi
układu Ouv zgodnie z poniższym rysunkiem.
3 4
sin ą = , cos ą =
5 5
3 12
h = 4r �" sin ą = 4r �" = r
5 5
4 16
b2 = 4r �" cos ą = 4r �" = r
5 5
3
3 9
b3 = 3r �" sin ą = 3r �" = r
5 5
u
b3
y
vc3
v
III h
uc3
b2
vc2
�
3r
�
C3
uc2
ą C2 II
x
4r
Pola powierzchni figury II i III oraz współrzędne ich środków ciężkości w obróconym
układzie Ouv wynoszą
1 1 16 12 96 1 1 9 12 54
2 2
AII = �" b2 �" h = �" r �" r = r , AIII = �" b3 �" h = �" r �" r = r
2 2 5 5 25 2 2 5 5 25
2 2 16 32 1 16 1 9 19
~ ~
uc2 = �" b2 = �" r = r uc3 = b2 + �" b3 = r + �" r = r
3 3 5 15 3 5 3 5 5
1 1 12 4
~ ~
vc2 = vc3 = - �" h = - �" r = - r
3 3 5 5
Momenty bezwładności i moment dewiacyjny trójkąta, będącego sumą trójkątów II i
III, w obróconym układzie Ouv obliczymy jako sumy momentów dla figur składowych.
3
1 1 12 144
�# ś#
4 4
Iu II + Iu III = �"(b2 + b3)�" h3 = �" 5r �" �" r = r = 5.76r
ś# ź#
12 12 5 25
�# #
~ ~
Iv II + Iv III = Iv c2 II + AII�" uc2 2 + Iv c3III + AIII �" uc3 2 =
3 2 3 2
1 12 16 96 32 1 12 9 54 19
�# ś# �# ś# �# ś# �# ś#
2 2
= �" r �" r + r �" r + �" r �" r + r �" r = 51.24r4
ś# ź# ś# ź# ś# ź# ś# ź#
36 5 5 25 15 36 5 5 25 5
�# # �# # �# # �# #
~ ~ ~ ~
Iuv II + Iuv III = Iu vc II + AII �" uc2 �" vc2 + Iu vc III + AIII �" uc3�" vc3 =
c 2 2 c 3 3
2 2 2 2
1 16 12 96 32 4 1 9 12 54 19 4
�# ś# �# ś# �# ś# �# ś# �# ś# �# ś#
2 2
= - �" r �" r + r �" r �" r + �" r �" r + r �" r �" r =
ś# ź# ś# ź# ś#- ź# ś# ź# ś# ź# ś#- ź#
72 5 5 25 15 5 72 5 5 25 5 5
�# # �# # �# # �# # �# # �# #
4
= -13.68r
Momenty bezwładności i moment dewiacyjny rozważanej figury, będącej sumą figury
I, II i III w obróconym układzie Ouv obliczymy jako sumy momentów dla figur składowych.
4 4 4
Iu = Iu I + Iu II + Iu III = 15.904r + 5.76r = 21.664r
4 4 4
Iv = Iv I + Iv II + Iv III = 15.904r + 51.24r = 67.144r
4 4 4
Iuv = Iuv I + Iuv II + Iuv III = 10.125r -13.68r = -3.555r .
Otrzymane wyniki są identyczne z uzyskanymi przy zastosowaniu podziału na dwie
figury składowe.
Osiowe momenty bezwładności oraz dewiacyjny moment figury względem osi
centralnych ucvc wyznaczymy korzystając z przekształconych wzorów Steinera:
2
4 2 4
~
Iu = Iu - A �" vc 2 = 21.664r -13.0686r �"(0.3214r) = 20.3140r
c
4
2
4 2 4
~
Iv = Iv - A�" uc 2 = 67.144r -13.0686r �"(1.9436r) = 17.7763r
c
4 2 4
~ ~
Iu vc = Iuv - A �" uc �" vc = -3.555r -13.0686r �"1.9436r �" 0.3214r = -11.7186r .
c
Kąt Ćo między osiami prostokątnego układu ucvc i układu głównych osi bezwładności
spełnia równanie:
- 2Iu vc - 2 �"(-11.7186r 4
)
c
tg 2�o = = = 9.2356
4 4
Iu - Iv 20.3140r -17.7763r
c c
stąd 2�o = 1.4629rad , a więc �o = 0.7315rad .
Główna oś bezwładności, względem której moment bezwładności ma wartość
I1 = Imax tworzy z osią uc kąt �1 , natomiast główna oś bezwładności, względem której
moment bezwładności ma wartość I2 = Imin tworzy z osią uc kąt �2 .
Ą Ą
�#0.7315 + ś#rad = 2.3023rad
Iu > Iv to �1 = �o = 0.7315rad , a �2 = �o + =
ś# ź#
c c
2 2
�# #
Momenty bezwładności względem głównych osi bezwładności ucvc osiągają wartości
ekstremalne:
2
Iu + Iv Iu - Iv
�# ś#
c c c c
ś# ź#
I1 = Imax = + + Iu vc 2 =
c
ś# ź#
2 2
�# #
2
4 4 4 4
�# ś#
20.3140r +17.7763r 20.3140r -17.7763r 2
4 4
ś# ź#
= + + (-11.7186r ) = 30.8322r
ś# ź#
2 2
�# #
2
Iu + Iv Iu - Iv
�# ś#
c c c c
I2 = Imin = - ś# ź#
+ Iu vc 2 =
c
ś# ź#
2 2
�# #
2
4 4 4 4
�# ś#
20.3140r +17.7763r 20.3140r -17.7763r 2
4 4
= - ś# ź#
+ (-11.7186r ) = 7.2581r
ś# ź#
2 2
�# #
Kierunek maksymalnego
momentu bezwładności
vc
uc
�1
�2
Kierunek minimalnego
momentu bezwładności
C
5
Przykład 2.4. Figura z dwiema osiami symetrii
Polecenie: Wyznaczyć główne centralne momenty bezwładności oraz kierunki główne dla
poniższej figury.
4a
2a
2a
4a
4a 2a 2a 4a
Dla rozważanej figury przyjmiemy dwa współśrodkowe układy współrzędnych xy oraz
��. Oba układy są układami centralnymi. Układ �� jest ponadto układem osi głównych,
ponieważ osie � i � są osiami symetrii figury. Należy oczywiście ustalić, która z osi układu ��
jest osią maksymalnego momentu bezwładności, a która osią minimalnego momentu
bezwładności.
y y
�
I
4a
2a
x II x
III
C
C
2a
4a
�
4a 2a 2a 4a 4a 2a 2a 4a
Moment bezwładności rozpatrywanej figury względem osi x policzymy jako
podwojoną sumę momentów bezwładności figur składowych (figury I, II i III).
1 1 1
Ą# 3 3 3 ń#
I = 2 �" �" 2a �"(6a) + �" 4a �"(2a) + �" 2a �"(2a) = 312a4
x
ó#3 Ą#
3 12
Ł# Ś#
Moment bezwładności figury względem osi y ma taką samą wartość.
I = I = 312a4
y x
Wyznaczymy teraz moment bezwładności względem osi �, stosując nowy podział na
figury składowe. Figury II i IV traktujemy jako pola "ujemne". Momenty bezwładności figury
I i II mnożymy przez dwa, natomiast moment bezwładności figury IV mnożymy przez cztery.
�
� �
II
I
6a
2 2a
2a
IV
III
4a
6a
2a
2 2a
4a
Centralny moment bezwładności kwadratu nie zależy od kierunku osi centralnej. Oś �
jest osią centralną dla kwadratu I, II i III.
4 3
1 1 1 1 1
Ą# 4 4 ń#
I� = 2 �" �"(6a) - �"(4a) + �"(2 2a) - 4 �" �"(2 2a)�"(2 2a) = 177 a4
ó#12 Ą#
12 12 12 3
Ł# Ś#
W dalszych obliczeniach wykorzystamy to, że suma momentów bezwładności
względem obu osi układów współśrodkowych jest stała.
I + I = I� + I�
x y
1 2
czyli I� = I + I - I� = 2 �" I - I� = 2 �" 312a4 -177 a4 = 446 a4
x y x
3 3
Z porównania wartości głównych momentów bezwładności wynika, że oś � jest kierunkiem
maksymalnego momentu bezwładności a oś � jest kierunkiem minimalnego momentu
bezwładności.
1 2
I� = Imin = I2 = 177 a4 , I� = Imax = I1 = 446 a4
3 3
� -kierunek minimalnego
momentu bezwładności
Ą
�2 =
4
x
C
Ą
�1 = -
4
�-kierunek maksymalnego
momentu bezwładności
2
Przykład 2.5. Figura z dwiema osiami symetrii
Polecenie: Wyznaczyć główne centralne momenty bezwładności oraz kierunki główne dla
poniższej figury korzystając z metody analitycznej i graficznej (konstrukcja koła Mohra).
5a
a
2a
2a
a
5a
5a a 2a 2a a 5a
Dla rozważanej figury przyjmiemy dwa współśrodkowe układy współrzędnych xy oraz
��. Oba układy są układami centralnymi. Układ �� jest ponadto układem osi głównych
ponieważ osie � i � są osiami symetrii figury. Należy oczywiście ustalić, która z osi układu ��
jest osią maksymalnego momentu bezwładności, a która osią minimalnego momentu
bezwładności.
y
�
5a
a
2a
x
C
2a
a
5a
�
5a a 2a 2a a 5a
W celu wyznaczenia momentu bezwładności względem osi x dokonamy podziału
rozpatrywanej figury na figury składowe.
y
yc4
5a
yc4
xc4
C4
a
IV
xc
2a
C3 4 II I x
III
C
2a
a
5a
5a a 2a 2a a 5a
Moment bezwładności rozpatrywanej figury względem osi x policzymy jako
podwojoną sumę momentów bezwładności względem osi x figur składowych (figury I, II, III i
IV). Moment bezwładności figury względem osi y ma taką samą wartość. W przypadku figury
IV należy zastosować twierdzenie Steinera. Pole powierzchni figury III i IV wynosi
1
AIII = AIV = �" 2a �" 6a = 6a2
2
I II III IV
I = I = 2 �"(I + I + I + I )=
x y x x x x
2
ż# �#
Ą# ń#�#
1 1 1 1 1
�# �#2a
3 3 3 3
= 2 �" �" 3a �"(3a) + �" 2a �"(2a) + �" 6a �"(2a) + �" 2a �"(6a) + 6a2 �" + �" 6aś# Ą#Ź# =
ó# ś# ź#
�#
3 12 3
�# #
�#12 ó#36 Ą#�#
Ł# Ś#�#
�#
1
= 248 a4
6
Dewiacyjny moment rozpatrywanej figury w układzie xy policzymy jako podwojoną
sumę momentów dewiacyjnych figur składowych (figury I, II, III i IV). W przypadku figury
III i IV należy zastosować twierdzenie Steinera. Momenty dewiacyjne tych dwóch figur w
układzie xy mają te same wartości, można więc w obliczeniach uwzględnić to, licząc
podwojoną wartość momentu dewiacyjnego np. dla figury III.
I II III IV I II III
I = 2 �"(I + I + I + I )= 2 �"(I + I + 2 �" I )=
xy xy xy xy xy xy xy xy
ż# �#
1 1 Ą# 1 1 1 ń#
2 2 2 2 2 2 �# �#2a
= 2 �" (3a) �"(3a) - (2a) �"(2a) + 2 �" (2a) �"(6a) + 6a2 �" �" 2aś# �" + �" 6aś#Ą#Ź# =
ś#- ź# ś# ź#
�#
ó#72
4 3 3
�# # �# #
Ł# Ś#
�#24 �#
1
= -57 a4
4
Główna oś bezwładności, względem której moment bezwładności ma wartość
2
I1 = Imax tworzy z osią x kąt �1 , natomiast główna oś bezwładności, względem której
moment bezwładności ma wartość I2 = Imin tworzy z osią x kąt �2 .
Ą Ą
Ponieważ Ix = Iy , Ixy < 0 to �1 = , natomiast �2 = - .
4 4
Momenty bezwładności względem głównych centralnych osi bezwładności osiągają
wartości ekstremalne:
2
2
I + I I - I
�# ś#
1 1 5
x y x y 2 2 �#
ś# ź#
I1 = Imax = + + I = I + I = 248 a4 + 57 a4 ś# = 305 a4
ś#-
ź#
xy x xy
ś# ź#
2 2 6 4 12
�# #
�# #
2
2
I + I I - I
�# ś#
1 1 11
x y x y 2 2 �#
I2 = Imin = - ś# ź#
+ I = I - I = 248 a4 - ś#- 57 a4 ś# = 190 a4
ź#
xy x xy
ś# ź#
2 2 6 4 12
�# #
�# #
� - kierunek maksymalnego
momentu bezwładności
Ą
�1 =
4
x
C
Ą
�2 =
4
� - kierunek minimalnego
momentu bezwładności
Główne centralne momenty bezwładności możemy wyznaczyć w inny sposób.
4 2a
3 2
a
3 2a 3 2
2
a
2
I
II
III
2 2a
3 2a
� � �
3
Obliczymy wartość momentu bezwładności względem osi �, stosując nowy podział na
figury składowe. Figurę III traktujemy jako pole "ujemne". Momenty bezwładności figury I i
III mnożymy przez cztery.
3
3 4 �# ś# �# ś#
1 1 1 3 2 3 2 11
ś# ś#
I� = 4 �" �" 2 2a �"(4 2a) + �"(3 2a) - 4 �" �" aź# �" aź# = 190 a4
ś# ź# ś# ź#
12 12 12 2 2 12
�# # �# #
W dalszych obliczeniach wykorzystamy to, że suma momentów bezwładności
względem obu osi układów współśrodkowych jest stała.
I + I = I� + I�
x y
1 11 5
czyli I� = I + I - I� = 2 �" I - I� = 2 �" 248 a4 -190 a4 = 305 a4
x y x
6 12 12
Z porównania wartości głównych momentów bezwładności wynika, że oś � jest
kierunkiem maksymalnego momentu bezwładności, a oś � jest kierunkiem minimalnego
momentu bezwładności.
11 5
I� = Imin = I2 = 190 a4 , I� = Imax = I1 = 305 a4
12 12
Główne centralne momenty bezwładności oraz kierunki główne można wyznaczyć metodą
graficzną, stosując konstrukcję koła Mohra. Korzystamy z wyznaczonych wartości
momentów bezwładności w układzie xy
1
I = I = 248 a4 = 248.167a4
x y
6
oraz wartości momentu dewiacyjnego
1
I = -57 a4 = -57.250a4 .
xy
4
Kolejność postępowania przy wyznaczaniu głównych momentów bezwładności i kierunków
głównych metodą graficzną jest następująca:
1. Wyznaczenie położenia punktów A i B
Wartości momentów bezwładności w układzie xy I = I = 248.167a4 stanowią odpowiednio
x y
współrzędne punktów A(I = 248.167a4 ,0) i B(I = 248.167a4 ,0). W rozpatrywanym
x y
zadaniu położenie punktów A(248.167a4 ,0) i B(248.167a4 ,0) jest wspólne.
2. Wyznaczenie położenia punktu C
Punkt C(0.5 �"(I + I )= 248.167a4 ,0), czyli C(248.167a4 ,0), jest środkiem odcinka AB i
x y
środkiem koła Mohra. W rozpatrywanym zadaniu położenie punktów C, A i B jest wspólne.
3. Wyznaczenie położenia punktu D
Po uwzględnieniu wartości I = 248.167a4 oraz I = -57.250a4 otrzymamy współrzędne
x xy
punktu D(I = 248.167a4 ,-I = -(- 57.250a4)), czyli D(248.167a4 ,57.250a4).
x xy
4. Wyznaczenie promienia koła Mohra
A
ączymy punkty C i D odcinkiem CD , który stanowi promień R koła Mohra. Promieniem
tym zataczamy okrąg.
5. Wyznaczenie głównych momentów bezwładności
Koło Mohra przecina oś poziomą w dwu punktach: E i F. Współrzędne tych punktów są
następujące: E(190.917a4 ,0), F(305.417a4 ,0). Długość odcinka OE odpowiada
minimalnemu momentowi bezwładności I2 , natomiast długość odcinka O F odpowiada
maksymalnemu momentowi bezwładności I1 .
6. Wyznaczenie kierunków głównych
4
Oś przechodząca przez punkty E i D jest osią maksymalnego momentu bezwładności, a oś
przechodząca przez punkty F i D jest osią minimalnego momentu bezwładności.
Przyjęta skala: 50 r4
kierunek maksymalnego
momentu bezwładności
Ą
�1 =
D
4
Ą
�2 = -
R
4 A(I ,0)
x
F
E
B(I ,0)
O
A=B=C y
Momenty bezwładności
I + I
I2 �# ś#
ś# ź#
Cś# x y ,0ź#
kierunek minimalnego
2
I + I �# #
x y
momentu bezwładności
I = I =
x y
D(I ,-I )
2 x xy
E(I2 ,0)
I1 F(I1 ,0)
5
Momenty dewiacyjne
Przykład 2.6. Przekrój złożony z trzech kształtowników walcowanych.
Polecenie: Wyznaczyć główne centralne momenty bezwładności oraz kierunki główne dla
poniższego przekroju złożonego z trzech kształtowników walcowanych.
120x80x10
240
80x80x10
Dane dotyczące kształtowników przyjęto wg: Mikołaj Żyburtowicz Konstrukcje stalowe,
WSiP, 1974.
Kształtownik I - ceownik [ 240
y
h = 240mm
s = 85mm
e = 2.23cm
I = 3600cm4
x
x x h
I = 248cm4
y
F = 42.3cm2
e y
s
Kształtownik II - kątownik nierównoramienny L 120x80x10
�
a = 80mm
b = 120mm
y
�
b
e = 1.96cm
y
x x
ex
� ex = 3.93cm
x1
x1
y
I = 279cm4
x
�
e
y
I = 99.6cm4
y
a
I� = 57.7cm4
I = 575cm4
x1
F = 19.2cm2
Kształtownik III - kątownik równoramienny L 80x80x10
�
a = 80mm
�
y
e = 2.35cm
a
x x
I = I = 88.4cm4
e x y
y �
I� = 140cm4
�
e
a I� = 36.5cm4
F = 15.1cm2
W tablicach do projektowania konstrukcji stalowych nie są podane wartości
momentów dewiacyjnych, których znajomość jest nieodzowna do wyznaczenia głównych
centralnych momentów bezwładności oraz kierunków głównych dla rozpatrywanego
przekroju złożonego. Moment dewiacyjny ceownika względem jego osi centralnych jest
równy zero, gdyż oś x jest osią symetrii przekroju. Momenty dewiacyjne obu kątowników w
układzie xy są różne od zera. W celu wyznaczenia momentu dewiacyjnego skorzystamy ze
wzorów na główne momenty bezwładności:
2
I + I I - I
�# ś#
x y x y 2
ś# ź#
I1 = Imax = + + I
xy
ś# ź#
2 2
�# #
2
I + I I - I
�# ś#
x y x y 2
I2 = Imin = - ś# ź#
+ I .
xy
ś# ź#
2 2
�# #
Po odjęciu stronami otrzymamy:
2
I
�# - I
ś#
x y 2
ś# ź#
I1 - I2 = 2 �" + I .
xy
ś# ź#
2
�# #
Następnie po przekształceniu wzór na moment dewiacyjny przyjmie postać:
2
2
�# ś#
I1
�# - I2 I x - I y
ś#
I = ą .
ś# ź# - ś# ź#
xy
ś# ź#
2 2
�# #
�# #
W tablicach do projektowania konstrukcji stalowych kierunek maksymalnego
momentu bezwładności oznaczony jest przez �, natomiast kierunek minimalnego momentu
bezwładności oznaczony jest przez �. Uwzględniając to otrzymamy wzór:
2 2
I�
�# - I� I - I
ś# �# ś#
x y
ś# ź# - ś# ź#
I = ą .
xy
ś# ź# ś# ź#
2 2
�# # �# #
Wyznaczamy momenty dewiacyjne dla kątowników.
Kształtownik II - kątownik nierównoramienny L 120x80x10
W tablicach do projektowania konstrukcji stalowych podana jest tylko wartość
minimalnego momentu bezwładności I� . W celu wyznaczenia wartości I� skorzystamy z
zależności
I + I = I� + I� ,
x y
czyli
I� = I + I - I� .
x y
2
Po podstawieniu wartości odczytanych z tablic otrzymamy
I� = I + I - I� = 279cm4 + 99.6cm4 - 57.7cm4 = 320.9cm4
x y
Wyznaczamy moment dewiacyjny
2 2 2 2
I�
�# - I� I - I
ś# �# ś# �# ś# �# ś#
320.9cm4 - 57.7cm4 ź# ś# 279cm4 - 99.6cm4 ź#
x y
ś# ź# - ś# ź# ś#
I = ą = ą - =
xy
ś# ź# ś# ź# ś# ź# ś# ź#
2 2 2 2
�# # �# # �# # �# #
= ą96.29cm4
Znak momentu dewiacyjnego zależy od położenia kątownika nierównoramiennego w
stosunku do układu osi centralnych xy.
y
x
C
W rozpatrywanym przypadku w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych, w
których iloczyn współrzędnych x�y jest dodatni, znajduje się większa część pola figury (na
powyższym rysunku są to ciemniejsze fragmenty figury). Na tej podstawie można stwierdzić,
że moment dewiacyjny kątownika nierównoramiennego jest dodatni.
I = 96.29cm4
xy
Kształtownik III - kątownik równoramienny L 80x80x10
W przypadku kątownika równoramiennego w tablicach podane są wartości obu
głównych centralnych momentów bezwładności I� i I� . Poza tym I = I , a więc wzór na
x y
moment dewiacyjny uprości się.
2 2 2
I�
�# - I� I - I I� I� - I� 140cm4 36.5cm4
ś# �# ś# �# - I�
ś#
-
x y
ś# ź# - ś# ź# ś# ź#
I = ą = ą = ą = ą =
xy
ś# ź# ś# ź# ś# ź#
2 2 2 2 2
�# # �# # �# #
= ą51.75cm4
Znak momentu dewiacyjnego zależy od położenia kątownika równoramiennego w
stosunku do układu osi centralnych xy.
y
C
x
W rozpatrywanym przypadku w drugiej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych, w
których iloczyn współrzędnych x�y jest ujemny, znajduje się większa część pola figury (na
powyższym rysunku są to ciemniejsze fragmenty figury). Na tej podstawie można stwierdzić,
że moment dewiacyjny kątownika równoramiennego jest ujemny.
I = -51.75cm4
xy
3
Dla przekroju złożonego z trzech kształtowników walcowanych przyjmujemy układ osi Oxy.
8cm 4cm
II
y
yc2
yc1
I
xc2
C2
O
x
yc3
xc1
C1
C3 xc3
III
12cm 12cm
8cm
W celu wyznaczenia współrzędnych środka ciężkości figury złożonej określamy pola
powierzchni i współrzędne środków ciężkości w układzie Oxy dla figur składowych na
podstawie tablic do projektowania konstrukcji stalowych.
~
AI = 42.3cm2 ~ = 0 yc1 = -2.23cm
xc1
~
AII = 19.2cm2 ~ = -(4 +1.96)cm = -5.96cm yc2 = 3.93cm
xc2
~
AIII = 15.1cm2 ~ = (12 + 2.35)cm = 14.35cm yc3 = -(8.5 - 2.35)cm = -6.15cm
xc3
Pole powierzchni figury złożonej wynosi
A = AI + AII + AIII = 42.3cm2 +19.2cm2 +15.1cm2 = 76.6cm2
Moment statyczny figury złożonej względem osi y wynosi
~ ~ ~
S = AI �" xc1 + AII �" xc2 + AIII �" xc3 =
y
= 42.3cm2 �" 0 +19.2cm2 �"(- 5.96cm)+15.1cm2 �"14.35cm = 102.253cm3
Moment statyczny figury złożonej względem osi x wynosi
~ ~ ~
Sx = AI �" yc1 + AII �" yc2 + AIII �" yc3 =
= 42.3cm2 �"(- 2.23cm)+19.2cm2 �" 3.93cm +15.1cm2 �"(- 6.15cm) = -111.738cm3
Współrzędne środka ciężkości figury złożonej są równe
Sy 102.253cm3
Sx -111.738cm3
~ ~
xc = = = 1.335cm yc = = = -1.459cm
A 76.6cm2 A 76.6cm2
Moment bezwładności figury złożonej względem osi x wynosi
I II III I II III
~ ~
I = I + I + I = I + AI �" yc12 + I + I + AIII �" yc3 2 =
x x x x xc1 x xc 3
2 2
= 248cm4 + 42.3cm2 �"(- 2.23cm) + 575cm4 + 88.4cm4 +15.1cm2 �"(- 6.15cm) = 1692.9cm4
Moment bezwładności figury złożonej względem osi y wynosi
I II III I II III
~ ~
I = I + I + I = I + I + AII �" xc2 2 + I + AIII �" xc3 2 =
y y y y y yc 2 yc 3
2 2
= 3600cm4 + 99.6cm4 +19.2cm2 �"(- 5.96cm) + 88.4cm4 +15.1cm2 �"(14.35cm) = 7579.4cm4
Moment dewiacyjny figury złożonej w układzie xy wynosi
I II III I II III
~ ~ ~ ~
I = I + I + I = I + I + AII �" xc2 �" yc2 + I + AIII �" xc3 �" yc3 =
xy xy xy xy xy xc 2 yc 2 xc 3 yc 3
= 0 + 96.29cm4 +19.2cm2 �"(- 5.96cm)�" 3.93cm - 51.75cm4 +15.1cm2 �"14.35cm �"(- 6.15cm) =
= -1737.8cm4
4
8cm
0.5cm
8.5cm
12cm
Znając wartości momentów bezwładności i momentu dewiacyjnego figury złożonej w
układzie Oxy możemy korzystając z twierdzenia Steinera wyznaczyć momenty bezwładności
i moment dewiacyjny w układzie osi centralnych xc yc .
2
~
I = I - A �" yc 2 = 1692.9cm4 - 76.6cm2 �"(-1.459cm) = 1529.8cm4
xc x
2
~
I = I - A�" xc 2 = 7579.4cm4 - 76.6cm2 �"(1.335cm) = 7442.9cm4
yc y
~ ~
I = I - A �" xc �" yc = -1737.8cm4 - 76.6cm2 �"1.335cm �"(-1.459cm) = -1588.6cm4 .
xc yc xy
Momenty bezwładności względem głównych centralnych osi bezwładności przyjmują
wartości:
2
I + I I
�# - I
ś#
xc yc xc yc 2
ś# ź#
I1 = Imax = + + I =
xc yc
ś# ź#
2 2
�# #
2
�# ś#
1529.8cm4 + 7442.9cm4 ś#1529.8cm4 - 7442.9cm4 ź# 2
= + + (-1588.6cm4) = 7842.7cm4
ś# ź#
2 2
�# #
2
I + I I
�# - I
ś#
xc yc xc yc 2
I2 = Imin = - ś# ź#
+ I =
xc yc
ś# ź#
2 2
�# #
2
�# ś#
1529.8cm4 + 7442.9cm4 ś#1529.8cm4 - 7442.9cm4 ź# 2
= - + (-1588.6cm4) = 1130.0cm4
ś# ź#
2 2
�# #
Kąt Ćo między osiami prostokątnego układu xc yc i układu głównych osi bezwładności
spełnia równanie:
- 2I
xc yc - 2 �"(-1588.6cm4)
tg 2�o = = = -0.5373
I - I 1529.8cm4 - 7442.9cm4
xc yc
stąd 2�o = -0.4930rad , �o = -0.2465rad .
Główna oś bezwładności, względem której moment bezwładności ma wartość
I1 = Imax tworzy z osią xc kąt �1 , natomiast główna oś bezwładności, względem której
moment bezwładności ma wartość I2 = Imin tworzy z osią xc kąt �2 .
Ą Ą
�# ś#rad
Ponieważ I < I to kąt �1 = �o + = 0.2465 + = 1.3243rad , natomiast kąt
ś#-
ź#
xc yc
2 2
�# #
�2 = �o = -0.2456rad .
y kierunek maksymalnego
yc
momentu bezwładności
�1
x
O
xc
C
�2
kierunek minimalnego
momentu bezwładności
5
Przykład 2.7. Przekrój złożony z dwuteownika i płaskowników.
Polecenie: Dobrać grubość g płaskownika o szerokości 90mm tak, aby moment bezwładności
I figury złożonej był co najmniej dwa razy większy od momentu bezwładności względem
x
osi x dla dwuteownika .
240
Wyznaczyć przyrost momentów bezwładności I , I oraz pola powierzchni figury złożonej
x y
F w stosunku do charakterystyk geometrycznych dwuteownika.
y
y
I = 4250cm4
x
I = 221cm4
y
F = 46.1cm2
x x
x x
240 240
y
y
90mm
Dane dotyczące dwuteownika oraz płaskownika przyjęto wg: Władysław Bogucki, Mikołaj
Żyburtowicz Tablice do projektowania konstrukcji metalowych. Wyd. V, "Arkady" 1984, s.
20, 73.
Moment bezwładności względem osi x dla przekroju złożonego wynosi
2
Ą# ń#
1 1
�#12cm ś#
3
I = 4250cm4 + 2 �" �" 9cm �" g + 9cm �" g �" + �" g e" 2 �" 4250cm4
ó# ś# ź# Ą#
x
2
�# #
ó#12 Ą#
Ł# Ś#
Po przekształceniu otrzymujemy nierówność w postaci
3 2
6cm �" g + 216cm2 �" g + 2592cm3 �" g - 4250cm4 e" 0 ,
która spełniona jest dla ge"1.4559cm.
Płaskowniki o szerokości 90mm są dostępne w następujących grubościach: 6, 8, 10,
12, 14, 16, 20, 25, 30 i 40mm. Najmniejsza grubość płaskownika spełniająca warunek
ge"1.4559cm wynosi 16mm=1.6cm. Wartości momentów bezwładności i pola przekroju
poprzecznego złożonego wynoszą
2
Ą# ń#
1 1
3 �#12cm
I = 4250cm4 + 2 �" �" 9cm �"(1.6cm) + 9cm �"1.6cm �" + �"1.6cmś# Ą# =
ó# ś# ź#
x
2
�# #
ó#12 Ą#
Ł# Ś#
= 4250cm4 + 4724cm4 = 8974cm4
1
3
I = 221cm4 + 2 �" �"1.6cm �"(9cm) = 221cm4 +194.4cm4 = 415.4cm4
y
12
F = 46.1cm2 + 2 �"1.6cm �" 9cm = 46.1cm2 + 28.8cm2 = 74.9cm2
Przyrosty momentów bezwładności I , I oraz pola powierzchni figury złożonej F w
x y
stosunku do charakterystyk geometrycznych dwuteownika są równe:
g
240mm
g
"I = 4724cm4
x
"I = 194.4cm4
y
"F = 28.8cm2
Przyrosty względne momentów bezwładności I , I oraz pola powierzchni figury złożonej F
x y
w stosunku do dwuteownika są równe:
"I 4724cm4
x
= �"100% = 111%
I 4250cm4
x
"I
194.4cm4
y
= �"100% = 88%
I 221cm4
y
"F 28.8cm2
= �"100% = 62% .
F 46.1cm2
Z porównania wartości przyrostów momentów bezwładności przekroju złożonego
"I = 4724cm4 oraz "I = 194.4cm4 widać, że momenty bezwładności zwiększają się
x y
znacznie, gdy duża część pola przekroju znajdzie się możliwie daleko od osi, względem której
jest obliczony moment.
2