MOMENTY BEZWA
ADNOŚCI
FIGUR PA
ASKICH
Do wyznaczenia naprę\
eń w przypadku działania siły osiowej (rozciąganie i
ściskanie) jest potrzebna znajomość pola powierzchni przekroju pręta. Przy
występowaniu momentu gnącego lub skręcającego jest konieczne wprowadzenie
nowych wielkości geometrycznych, charakteryzujących przekrój pręta. Będą to:
moment bezwładności i moment zboczenia. Nazwa moment bezwładności
pochodzi z dynamiki, gdzie jest to moment masowy drugiego rzędu, określający w
pewnych warunkach bezwładność ciała.
Rys. 1. Biegunowy i osiowy moment bezwładności
Ogólnie moment bezwładności charakteryzuje w jaki sposób rozło\
ona jest masa
rozpatrywanego przekroju względem danego punktu, prostej lub prostych (rys.1).
Biegunowym momentem bezwładności IO figury płaskiej o polu powierzchni A
nazywamy moment bezwładności względem ustalonego punktu O, zwanego często
biegunem, zdefiniowany jako całka po polu tej figury z iloczynu elementu pola dA
i kwadratu odległości � zawartej pomiędzy tym polem a biegunem (punktem O).
I0 = �2dA m4
[ ]
+"
(1)
A
1
Osiowym momentem bezwładności Il figury płaskiej o polu powierzchni A
nazywamy moment bezwładności względem ustalonej prostej l, zdefiniowany jako
całka po polu tej figury z iloczynu elementu pola dA i kwadratu odległości r tego
pola od prostej l.
2
Il =
[ ]
+"r dA m4
(2)
A
Momenty bezwładności w prostokątnym układzie współrzędnych
Rys.2. Momenty bezwładności w układzie współrzędnych Oxy
W układzie współrzędnych Oxy (rys. 2) momentami bezwładności względem osi
x,y będą
Ix = y2dA (3)
+"
A
I = x2dA
y
+"
(4)
A
a momentem biegunowym względem początku układu O będzie
I0 = �2dA (5)
+"
A
Wartości tych momentów niezale\
nie od znaków współrzędnych będą zawsze
dodatnie. Wprowadzając zale\
ność
2
� = x2 + y2
2
otrzymamy związek pomiędzy osiowymi momentami bezwładności względem osi
x,y i biegunowym momentem bezwładności względem początku układu O.
I0 = �2dA = x2 + y2 dA = x2dA + y2dA = Ix + Iy
( )
+" +" +" +"
A A A A
Moment bezwładności biegunowy figury płaskiej względem początku układu
prostokątnego równa się sumie momentów bezwładności względem dwu osi
układu le\
ących w płaszczyz
nie tej figury.
I0 = Ix + Iy (6)
Moment bezwładności Il względem prostej l mo\
na przedstawić jako iloczyn
Il = Ail2
gdzie: A - pole figury płaskiej
il - wielkość nazywana promieniem bezwładności figury płaskiej.
Promień bezwładności oblicza się ze wzoru
Il
il =
(7)
A
W układzie prostokątnym
Iy
Ix
ix = iy =
A A
W prostokątnym układzie współrzędnych wprowadza się ponadto pojęcie
momentu względem układu osi, zwanego równie\
momentem zboczenia,
momentem dewiacji lub momentem odśrodkowym. Moment zboczenia figury
płaskiej dla układu osi Oxy definiuje się jako
Ixy = xydA
+"
(8)
A
gdzie: x, y - współrzędne elementu powierzchni o polu dA.
Moment ten w odró\
nieni od momentów biegunowych i osiowych mo\
e
przyjmować wartości ujemne oraz zero.
3
Momenty bezwładności figur zło\
onych
Momenty bezwładności skomplikowanej figury.
Dzieli się na figury składowe, liczy momenty bezwładności poszczególnych figur
składowych i następnie sumuje.
Przykładowo, je\
eli figurę o polu A (rys.5) podzieli się na figury składowe od I-IV
o polach powierzchni AI-AIV (A=AI+AII+AIII+AIV), obliczając momenty
bezwładności poszczególnych figur składowych i sumując je otrzymamy momenty
bezwładności całej figury.
Rys. 5.
Momenty bezwładności zło\
onej figury płaskiej równają się sumie momentów
bezwładności figur składowych
4
Rys. 6.
Podziału figury mo\
na dokonać w taki sposób, \
e będzie ona składać się z figur
"pełnych" i "pustych" (rys.6). Wówczas przy sumowaniu momentów
bezwładności lub zboczenia momenty otworów nale\
y uwa\
ać za ujemne.
Korzystanie z tego stwierdzenia, szczególnie w przypadku figur wielospójnych,
ma znaczenie praktyczne.
5