ZASADA ZACHOWANIA
MOMENTU P
DU: PODSTAWY
DYNAMIKI BRYA
Y SZTYWNEJ
1. Wielkości w ruchu obrotowym
2. Moment pędu i moment siły
3. Zasada zachowania momentu pędu
4. Ruch obrotowy bryły sztywnej względem ustalonej osi
-II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
-moment bezwładności
-energia kinetyczna ruchu obrotowego
5. Precesja
WST
P
Dotychczas opisywaliśmy ruch (kinematykę) i przyczyny ruchu
(dynamikę) tylko dla punktu materialnego
Ale rzeczywiste obiekty są znacznie bardziej skomplikowane:
składają się z wielu punktów materialnych, czasem zupełnie ze
sobą nie powiązanych.
Jeśli wzajemne położenie punktów materialnych w ciele jest stałe, to
ciało takie nazywa się bryłą sztywną , a jego ruch jest szczególnie
prosty: da się opisać jako złożenie ruchu postępowego i ruchu
obrotowego.
kręciołek
WIELKOŚCI W RUCHU OBROTOWYM: PR
DKOŚĆ
K
TOWA
Ruch ciała obracającego się względem stałej osi można opisać
d�
� =
szybkością zmian kąta � zakreślonego przez wektor wodzący
dt
dowolnego punktu
�
�
Prędkość kątowa jest d�
r
r
r
� =
wektorem
�
dt
V
�
V
r
r
Kierunek wektora
r
r
v
v
V = �� r
V = �� r
prędkości kątowej zależy
od kierunku obrotu
Kierunek wektora prędkości
kątowej określony jest regułą
prawej dłoni
WIELKOŚCI W RUCHU OBROTOWYM:
PRZYŚPIESZENIE K
TOWE
d�
Przyśpieszenie ciała w ruchu obrotowym można opisać szybkością
� =
zmian prędkości kątowej �
dt
V
r
a s
�
d�
Przyśpieszenie kątowe r
as
� =
jest wektorem
dt
V
�
�
�
�
�
�
�
�
WIELKOŚCI W RUCHU OBROTOWYM:
PRZYŚPIESZENIE K
TOWE
d�
Przyśpieszenie punktu w ruchu po okręgu można opisać szybkością
� =
zmian prędkości kątowej �
dt
�
�
�
�
as
r
�
d�
Przyśpieszenie kątowe r
� =
jest wektorem
dt
V
as
Kierunek wektora
przyśpieszenia kątowego
r r r as- przyśpieszenie
zależy od kierunku zmian �
�
�
�
as = � � r
styczne do toru
r
�
Kierunek wektora r
as
przyśpieszenia kątowego
określony jest regułą
r
prawej dłoni
r
as
�
MOMENT SIA
Y
Efekt przyłożenie siły F do ciała, które może się obracać zależy od:
" wielkości siły
" odległości punktu przyłożenia od osi obrotu
" kąta przyłożenia siły w stosunku do prędkości punktu przyłożenia
mom. siły
Ruch obracającego się ciała można zmienić przykładając
z
do niego moment siły
N=r � F
Moment siły F przyłożonej do bryły w punkcie o wektorze
r
y
wodzącym r, w stosunku do początku inercjalnego układu
F
x
odniesienia wynosi
r r
r
N a" r � F
MOMENT SIA
Y
Efekt przyłożenie siły F do ciała, które może się obracać zależy od:
" wielkości siły
" odległości punktu przyłożenia od osi obrotu
" kąta przyłożenia siły w stosunku do prędkości punktu przyłożenia
mom. siły
Ruch obracającego się ciała można zmienić przykładając
z
do niego moment siły
N=r � F
F
1
r1 r
Moment siły F przyłożonej do bryły w punkcie o wektorze
y
wodzącym r, w stosunku do początku inercjalnego układu
F
x
odniesienia wynosi
r r
r
N1=r1 � F1
N a" r � F
r r
Jeśli sił jest więcej, to całkowity
N = ri �Fi
"r
moment jest sumą wektorową
i
wszystkich momentów
MOMENT P
DU
Efektem przyłożenie momentu siły N do ciała, jest nadanie mu ruchu obrotowego
�
Jeśli do ciała przyłożony jest moment siły, to zmienia się
moment pędu ciała
z
L=Łri � pi
p
1
Moment pędu bryły w stosunku do początku ri
y
inercjalnego układu odniesienia wynosi
r
x
L a" ri � pi
"r r
i
Moment pędu i moment siły to pojęcia, które można
stosować do dowolnego ruchu, nie tylko obrotowego
mom. pędu
ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU P
DU
z
z
z
W jakich okolicznościach moment pędu może się z
zmienić?
p
r
r r
dL d(r � p) dr dp
r r
r r
F
Szybkość zmiany = = � p + r �
dt dt dt dt p
p
momentu pędu
r F
r
wynosi:
dL dp F
r r r
= (v� mv) + r �
r
r
dt dt
F
p
r
r
r
y
y
y
y
dL dp r
r
dL
r
= r �
= r � F
x
x
x
x
x
x
x
dt dt
dt
Jeśli brak jest zewnętrznego momentu siły to moment pędu układu mas jest zachowany
r
r
N = 0
const
L =
zewn
Ff
Fi
r r
r r
ri �Fi = rf �Ff = 0
ale zachowanie L
RUCH OBROTOWY BRYA
Y SZTYWNEJ WZGL
DEM
NIERUCHOMEJ OSI
Bryła obraca się ze stałą prędkością kątową � wokół stałej osi z
�
�
�
z
z
z
z
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Jaki jest moment pędu bryły?
Lz
W ogólności jest to skomplikowane zagadnienie: trzeba
Li
Li
r
r
zsumować iloczyny , w wyniku czego moment riĄ"
riĄ"
ri � Vi"mi
pędu będzie zależał od rozłożenia masy w bryle.
Vi
Vii rill
V
Ponieważ jednak prędkość Vi każdego punktu bryły leży w
płaszczyz
nie xy dlatego wyrażenie na L rozpada się na dwie
y
y
y
y
części:
ri
r r r ri
r
L = r � Vi"mi = (r + riĄ")� Vi"mi =
"ri "rrill
x
x
x
x
r r r
r
= r � Vi"mi + riĄ" � Vi"mi = Lxy + Lz
"rill
ponieważ Vi leży w płaszczyz
nie xy. Tutaj:
Lxy jest składową L w płaszczyz
nie xy, a
obrót bryły
Lz jest składową L wzdłuż osi z
względem stałej
Obliczenie Lz jest proste:
osi w kierunku z
r r
2
Lz = r � Vi"mi = Vi"mi = ę riĄ"�"mi = ę�
"riĄ" "ęriĄ" "riĄ" "r "mi ,
iĄ"
ponieważ prędkość elementu "mi masy w położeniu ri wynosi Vi = ri�.
2
I =
I-moment bezwładności
"r "mi
iĄ"
RUCH OBROTOWY BRYA
Y SZTYWNEJ WZGL
DEM
NIERUCHOMEJ OSI
r
r
Stąd:
Lz = �I
z
�
�
�
�
Jeśli bryła obraca się ze stałą prędkością kątową � wokół
�
�
�
Lz
stałej osi to składowa jej momentu pędu wzdłuż tej osi wynosi
r
r
riĄ"
Lz = �I
Jeśli obracająca się bryła jest symetryczna względem
Vi
osi obrotu, to jej całkowity momentu pędu wynosi
r
r
L = �I
w jaki sposób można zmienić moment pędu takiej bryły?
r
r
r
dLz d�
r
r
= I �" = I �" �
Lz = �I
dt dt
r
r
dL
ale ponieważ
Nzewn,z = I �" �
= Nzewn czyli dLz
= Nzewn,z więc:
dt
dt
Składowa przyśpieszenia kątowego wzdłuż osi obrotu ustalonej w układzie inercjalnym
(lub przechodzącej przez środek masy), zależy od składowej zewnętrznego momentu
siły wzdłuż tej osi
r
r
Nzewn = I �" �
PRZYKA
AD: TOCZENIE PO RÓWNI
y
Pełny walec o masie M i promieniu r toczy się bez poślizgu po
R
równi o dl. L nachylonej pod kątem ą do poziomu. Ile wynosi
T
prędkość środka masy walca w najniżej położonym punkcie równi? r
r
x
ROZWI
ZANIE
G
Środek masy walca będzie się poruszał tak, jakby wszystkie siły
ą
ą
L
L
zewnętrzne (R, T i G) były do niego przyłożone, czyli będzie
poruszał się ruchem jedn. przyśp. wzdłuż równi. Walec będzie się
obracał względem osi przechodzącej przez ten środek masy.
r r r
r
Opisuje ruch środka masy
aM = R + G + T
r r r
r
Opisuje ruch obrotowy względem środka masy
�I = NR + NG + NT
Każdy z momentów NF to rXF tylko T ma niezerowy moment siły względem osi obrotu.
Rzut sił i przyśpieszenia na kierunek x
Ma=Mgsiną-T
Tr = I�
Rzut momentów sił i przyśpieszenia kątowego na kierunek z
Ponieważ I dla walca wynosi I=(1/2)Mr2, dlatego Tr=(1/2)Mr2*�.
Jeśli toczenie bez poślizgu, to ruch postępowy środka masy i ruch obrotowy wokół osi obrotu
walca są powiązane: a=�*r�! �=a/r.
4
Tr=(1/2)Mr*a T=(1/2)M*a a=2/3gsiną
V = 2La = gL sin ą
Ma=Mgsiną-T Ma=Mgsiną-T
3
(Ponieważ V=at i L=at2/2)
PRZYKA
AD: ZDERZENIE POCISKU Z WALCEM
y
Pocisk o masie m i prędkości V0 uderza w lity walec o
V0
masie M i promieniu R. Walec, mogący się obracać
względem nieruchomej osi przechodzącej przez oś, jest
d
początkowo w spoczynku, a miejsce uderzenia pocisku
x
jest w odległości dz
kątowa walca, jeśli pocisk utkwił tuż przy jego
powierzchni
p=mV0
ROZWI
ZANIE
d
Ponieważ zewnętrzny moment siły względem dowolnego punktu
x
r
na osi walca jest zero, dlatego moment pędu układu jest taki
sam przed jak i po zderzeniu.
r r
r r
(Walec się nie rusza)
Lprzed = r � p = (xx + dw
)� mV0 = mV0dę
Ć
r
(Walec się obraca, ale zmienił
1 1
r r
2 2 2 2
Lpo = �I = �( MR + mR ) = ę�( MR + mR )
się jego moment bezwładności)
2 2
mV0d
r r
� =
Lprzed = Lpo
1
2 2
MR + mR
2
MOMENTY BEZWA
ADNOŚCI: OBLICZANIE
�
�
�
�
Moment bezwładności względem osi obrotu, to suma mas i
odległości od osi obrotu ri
2 2
I =
"r "mi = dm
+"r
i
moment bezwładności obręczy
Ponieważ masa jest rozłożona symetrycznie i w odległości R
względem osi obrotu, to
R
2 2
I = dm = R m
+"r
moment bezwładności walca
dm
Walec składa się z pierścieni o masie dm i w odległości r
względem osi obrotu, to
R
R R
2
M M MR
2 2 2 3
I = dm = dm'= dr �" 2Ąr �" = 2�"
+"r +"r +"r 2 2 +"r dr =
ĄR R 2
0 0
MOMENTY BEZWA
ADNOŚCI: TWIERDZENIE STEINERA
Moment bezwładności względem osi śm
śm
2 2
I =
obrotu, to suma mas i odległości od
"r "mi = dm
+"r
i
osi obrotu
Oznaczmy przez I0 moment
a
bezwładności jeśli oś obrotu
I0
przechodzi przez środek masy
A jaki jest moment bezwładności względem innej osi, nie
przechodzącej przez środek masy?
I = I0 + a2
""m
i
Moment bezwładności względem dowolnej osi jest równy
momentowi bezwładności względem osi do niej równoległej i
przechodzącej przez środek masy plus iloczyn masy przez
kwadrat odległości między obiema osiami
oś obrotu
Przykład: moment
2 2
MR 3MR
bezwładności walca
2
R
I = + MR =
2 2
ENERGIA KINETYCZNA RUCHU OBROTOWEGO
Jeśli bryła obraca się wokół stałej osi to całkowita energia kinetyczna jest sumą energii
kinetycznych poszczególnych mas "m:
1
2
EK = = �2
""m vi = 1 ""m (ri�)2 1 ""m ri2
i i i
2 2 2
i i i
1
EK = �2I
2
PRZYKA
AD:
Ep=mgh
Korzystając z zasady zachowania energii obliczyć prędkość T
środka masy walca u podnóża równi
Energia potencjalna na szczycie przekształca się w energię
h
kinetyczna ruchu postępowego i obrotowego
ą
L
Ale:
(mV2+I�2)/2=mgh
Ep=EK
I=mr2/2 i �=V/r, to
EK=(mV2+I�2)/2
2 2
mV 1 mr V2
+ = mgL sin ą
2 2 2 r2
3 4
V2 = gL sin ą �! V = gL sin ą
4 3
ANALOGIE W RUCHU OBROTOWYM I POST
POWYM
Odpowiadające sobie wielkości i równania dla ruchu postępowego i obrotowego
Ruch obrotowy
Ruch liniowy
wielkości
położenie kąt
prędkość prędkość kątowa
przyśpieszenie
przyśpieszenie kątowe
�
�
�
�
masa
moment bezwładności
moment pędu
pęd
siła
N moment siły
Równania
kinematyczne
Równania dynamiczne
�
�
�
�
N =
EK= EK=
PRECESJA
Bąk symetryczny podparty u podstawy,
dL=rsmGsiną
wiruje z bardzo dużą prędkością kątową �.
Lsiną L
Jego chwilowy moment pędu wynosi L=I�
�,
�
�
czyli skierowany jest wzdłuż osi obrotu. Jaki
d�
będzie ruch bąka, jeśli przestanie działać
dL
podtrzymująca go siła?
rsm
rsm
ą
Na bąk działają dwie siły:
N
- ciężkości G=mg, (moment siły z nią
R
związany, obliczony względem punktu
G
podparcia, wynosi N=rsmXG i jest skierowany
ll do podłoża),
- siła reakcji R podłoża przyłożona do punktu podparcia (moment siły pochodzący od tej siły
wynosi 0).
Całkowity moment siły N=rsmX G powoduje zmianę momentu pędu dL=Ndt, czyli w kierunku Ą" do
L (bo N jest Ą" do rsm, a rsmll L). �! L obraca się (precesuje) wokół kierunku równoległego do
działającej siły.
dL G �" rsm �"sin ą �" dt G �" rsm �" dt
Ponieważ dL=rsmGsin(ą)dt, a kąt d� wynosi:
d� = = =
L �"sin ą L �"sin ą L
więc prędkość kątowa d� Grsm mgrsm
precesja
&! = = =
precesji &!:
dt L I�