(6) Moment pędu
" moment pędu  definicja
" druga zasada dynamiki dla ruchu
obrotowego.
" moment bezwładności
" ruch w polu sił centralnych
" bryła sztywna
Moment pędu punktu materialnego
względem środka układu odniesienia.
L a" r �p = r � mv
z
L
p=mv
y
r
x
Moment pędu cząstki swobodnej.
- parametr zderzenia: r0=r siną
p=mv
r
z
L
2
ą
p=mv L Ą" (r, v)
r(t)siną(t)= const
r
y
L = mvr siną = const
ą
r siną
"
x
L a" r �p = r � mv = const
zmiana momentu pędu punktu
materialnego pod działaniem siły, F.
dp
= F
Siła prowadzi do zmiany pędu
dt
dL/dt
dp
r � = r � F
dt
z
d(r �p) dr dp dp
= �p + r � = r �
dt dt dt dt
L
T=r�F
dr
�p = mv � v = 0
dt
p=mv
F
y
dL d(r �p)
r
a" = r �F = T
x
dt dt
Moment siły prowadzi do zmiany momentu pędu
Moment bezwładności.
v = ��r
L = mr �(��r)= mr2�
� L
L = mr � v
A �(B�C)a" B(A �"B)- C(A �"B)
bo:
r Ą" � �! r �"� = 0
z
L
p=mv
�
L = I�
I a" mr2
y
r
x
I -moment bezwładności względem osi (�,L)
Ruch w polu siły centralnej.
- moment siły centralnej znika
* grawitacyjna,
* sprężysta,
* Coulomba, etc.)
p=mv
Tc a" r �F = 0
dL
y
= Tc = 0
F
dt
L = const
r
moment pędu całką ruchu
x
Ruch w polu siły centralnej.
- Drugie prawo Keplera.
Promień wodzący planety zakreśla równe pola w
równych czasach.
y
p=mv
L = const
vdt
ą
r
L
dS 1 1 1
= rvsiną = r � v =
1
dt 2 2 2 m
dS = r vdt siną
2
x
dS 1 d� 1 1 mr2� 1 L
ś#
= r�#r = r2� = =
ś# ź#
dt 2 dt 2 2 m 2 m
�# #
�
Ruch w polu siły centralnej 1/r2.
Ep = -
r
- Zasady zachowania.
2 2
mvr mvl2 � mvr m�2r2 �
E = + - = + -
L = const
2 2 r 2 2 r
Ekin(v)+ Ep(r)= const
L = mr2�
vl
Szukamy równania toru w postaci r(�)
y
v(r)
�# ś#
dr 2 L2 �
ś# -
ź#
vr a" = E +
ś# ź#
dt m 2m r
�# #
r
d� L
vr � a" =
dt mr2
�
�# ś#
dr mr2 2 L2 �
x
ś# -
ź#
= E +
ś# ź#
d� L m 2m r
�# #
p L2 2EL2
r(� )= p a" � a" 1+
2
1+ � cos� m� m�
równanie krzywych stożkowych we współrzędnych biegunowych
Ruch w polu siły centralnej 1/r2.
- krzywe stożkowe (koło, elipsa, parabola, hiperbola).
= Pierwsze prawo Keplera
L = const p L2 2EL2
r(� )= p a" � a" 1+
2
Ekin(v)+ Ep(r)= const
1+ � cos� m� m�
90
120 60
p-parametr (promień, f(L2))
�=1
2
�=1
150 30
� mimośród:
� =0 koło, E mała <0
�=0
�=0.5
0<�<1 elipsa, E <0
0
0 180 0
�=1 parabola, E =0
�>1 hiperbola, E >0
210 330
2
240 300
270
Ruch w polu siły centralnej 1/r2.
- Trzecie prawo Keplera (I).
p L2 2EL2
r(� )= p a" � a" 1+
2
1+ � cos� m� m�
90
120 60
p-parametr (promień, f(L2))
gdy p stały (koło) to:
150 30
2
L2 (I�) m2r4�2
r = p = = =
�=0
m� m� m�
0 180 0
0
2Ą
� = GMm � =
T
2
4Ą r3
2
210 330
T =
GM
240 300
Okres obiegu planety, T
270
" nie zależy od masy planety
" jest proporcjonalny do r3/2
Ruch w polu siły centralnej 1/r2.
- Trzecie prawo Keplera (II).
p L2 2EL2
r(� )= p a" � a" 1+
2
90 1+ � cos� m� m�
2.0
120 60
p p rmin + rmax p
1.5
rmin = rmax = 2a = =
2
1+ � 1- � 2 1- �
150 30
1.0
duża oś elipsy, a, zależy jedynie od
0.5
energii całkowitej
2 L
�
b =
0.0
0.0 180 0
a =
2m E
2E
�=0.9
0.5
pole elipsy:
�=0.5
1.0
dS 1 L
210 330
�=0
S = Ąab = T = T
dt 2 m
1.5
2
2
240 300
m 4Ą m
4Ą
2 2 2
2.0 3
T = Ą � = a3 2
T =
270
E=const
2 E �
G(M + m)a
(III) Gdy m<min
max
<------------ r
<---- r
Ruch w polu siły centralnej 1/r2.
- układ nie posiada stanu równowagi statycznej
Twierdzenie o wiriale:
E = E + Ekin
0 p
gdzie
E
-1
E < 0, E < 0, Ekin > 0
p
Ep
Ep(r)=-1/r
Ekin
to
-2
E = 2E Ekin = E
p
-3
-4
-5
Układ bezstratny pozostaje
0
w równowadze dynamicznej!!!
Promień
(elektron w atomie)
Energia potencjalna
Dynamika bryły sztywnej
" druga zasada dynamiki dla bryły,
" moment skręcający sił wewnętrznych znika,
" zasada zachowania momentu pędu
" moment bezwładności
" energia kinetyczna
Zasada zachowania momentu pędu.
dla układu
dLi
dL
(ri � Fi zewn)+ (ri � Fi wewn)
=
"(r � Fi )= "
= T i "
" "T Ttot =
i
dt
i i i
dt
i i
Moment obrotowy sił wewnętrznych znika
(względem dowolnego punktu odniesienia)
z
r2 wewn
Ttot = (ri � Fiwewn )= 0
"
F21
T1
i
dLtot
zewn
= Ttot
F12
dt
y
r1
zewn
x
Ttot = 0 �! Ltot = const
T2
Zasada zachowania momentu pędu.
zewn
Ttot = 0 �! Ltot = const
dLtot
zewn
= Ttot
dt
" II prawo Keplera
" żyroskop,
" piruety,
" mechanika kawantowa (fizyka atomu, chemia)
Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego.
dptot
dLtot
zewn
zewn
Bryła sztywna:
= Ftot
= Ttot
" odległość pomiędzy punktami stała,
dt
dt
" wspólna prędkość kątowa
Gdy moment pędu, L, równoległy do �,
v=��r
(gdy obrót wokół osi symetrii bryły
z
� =r sin(r,�)
składowe poprzeczne Lx, Ly=0)
L=mr�v
Ltot =
L�
"(r �pi )= "m (ri � vi)= "m (ri �(��ri ))
i i i
i i i
� r
v = ��r
�
L� = Ltot �" = �
"m ri2 sin2(ri,�)
i
�
i
y
L� = I�� I� =
"m �i2
i
x
i
Moment bezwładności I względem osi �
Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego.
dLtot
z
zewn
= Ttot
dt
T
dL/dt
F
r
�
dL/dt
L y
x
L
T
r
" jazda na rowerze,
F=mg
" precesja (dziecinny bączek)
" rezonans magnetyczny
Moment bezwładności brył
R
" Obręcz I = MR2
1
I = ML2
" Pręt
12
L L
3
2 2
M dM
L
1 2 L
2 2  a" =
I = 2 � dM = 2 � d� = 2 �3 2 = �# ś#
ś# ź#
L dL
+" +"
0
3 3 2
�# #
0 0
1 1
I = (L)L2 = ML2
12 12
Moment bezwładności brył
" Jednorodny walec
R
2 2
I = � dm = D � dV
+"+"
V
M dM
D a" =
R 2Ą L
V dV
2
I = D � d� �d� =
+" +" +"dl
V = ĄR2L
0 0 0
R2
M = DV = ĄDLR2
R 2Ą R
= DL �3d� �3d� =
� d�
+" +"d� = 2ĄDL+"
dl
0 0 0
R
1 1 1
4
d�
= 2ĄDL � = ĄDLR4 = MR2
0
4 2 2
�
dV = �d� �" d� �" dl
1
Iwalca = MR2
2
dl
Moment bezwładności brył
I = MR2
" Obręcz wzgl. osi
1
I = MR2
" Krążek, walec, wzgl. osi
2
1
I = MR2
" Krążek, walec, wzgl. osi w płaszczyz
nie
4
1
I = ML2
" Pręt wzgl. osi poprzecznej
12
2
I = MR2
" Kula pusta
3
Energia kinetyczna w ruchu obrotowym.
1
2
Gdy liczymy względem układu
Ekin = (VS )
"m vi2 = 1 "m + vi
i i
S
związanego z środkiem masy to:
2 2
i i
1
"m ri = 0 "m vi = 0
i i
S S
= VS2
"m + VS"m vi + 1 "m vi2
i i i
i i
S S
2 2
i i i
zS
vi=��ri
1 1
Ekin = MVS2 +
� =
"m vi2
i
S
�
2 2
=r sin(r,�)
i
yS
rS
Energia środka masy + energia względem środka masy
V
xS vi = ��ri
1 1
2
Ekin = (��ri ) = �2
"m "m �i2
i i
S S
S
2 2
i i
1 1
Ekin = MVS2 + I� �2
S
2 2
Praca sił wewnętrznych w ruchu obrotowym
" praca sił grawitacji w zagadnieniu Keplera.
Zasada zachowania momentu pędu: L = I� = const
Zasada zachowania energi: praca
r2
wykonana nad układem powoduje
1 1
2 2
W = �" dr = I1�1 - I1�2
wzrost energii (kinetycznej)
+"F
2 2
r1
Staczanie się bryły
dv mg siną - FT
�#
= a =
�#
dt m
Ź#a = łR
d� FT R
�#
= ł =
mgsiną
dt I �#
FT=?
ą
FT R2 mg siną - FT
P=mg
= a =
I m
�#
mg siną
mR2 ś#
FT =
ś#ź#
1
I
mR2
a = g siną ś#ź# = g siną
1+
mR2 ź# 1+ I
ś#
I
ś#1+ ź#
mR2
�# I #
Energia kinetyczna toczącej się bryły.
mv2 I�2 mv2 I mv2
Ekin = + = +
2 2 2 2mR2
R
mv2 I
�#1+ ś#
Ekin =
ś# ź#
2 mR2 #
�#
l
v
h
v
� =
ą
R
z zasady zachowania energii
at2
l(t)= v(t)= at
mv2 I
�#1+ ś# 2
mgh + = const = 0
ś# ź#
2 mR2 #
�#
gat2 siną g siną
2gh(t) 2gl(t)siną
at = a =
v(t)= =
I I
I I
1+ 1+
1+ 1+
mR2 mR2
mR2 mR2
Energia kinetyczna ruchu obrotowego
" staczanie a zsuwanie się,
" zabawa w  napędzany samochodzik,
" dlaczego stosuje się aluminiowe felgi,
" pocisk z gwintowanej lufy,
" jo-jo, opada powoli i wraca.
TN
rTN mg -TN
ż#
d� FNr
r = a =
�# = ł =
I m
�#
dt I
�#
�# ś#
mr2 ź#
a = łr
�# ś#
TN ś#1+ ź# = mg
I
�#
�# #
�#
r
1
I = mR2
mg mg
TN =
2
�# ś# �# ś#
mr2 2r2
ś#
ś#1+ I ź# ś# R2 ź#
ź# ś#1+ ź#
�# # �# #
mr2 2r2
I R2
2r2
a = g g
mg
a E" g
�# ś# �# ś#
mr2 2r2
ś# ś#
R2
ś#1+ I ź# ś#1+ R2 ź#
ź# ź#
�# # �# #
Moment bezwładności brył.
I� =
"m �i2
i
i
" cienki pierścień, oś symetrii I=mR2
" cienki pierścień, oś poprzeczna I=mR2/2
I� = MR2 + I�
0
" dysk, oś symetrii I=mR2/2
" dysk oś poprzeczna I=mR2/4
�0
�
" pręt, oś poprzeczna I=ml2/12
R
" walec, oś podłużna I=mr2/2
" kula pełna I=2mR2/5
" kula pusta I=2mR2/3
Tensor momentu bezwładności
~
" tensor związek pomiędzy
L = I�
wektorami
Ą# ń#Ą# ń#
Ixx Ixy Ixz �x
ó#I Ą#ó#� Ą#
L
Lą = Ią� �
[Lx, Ly, Lz]= I I
" �
yx yy yz y
ó# Ą#ó# Ą#
�
ó#Izx Izy Izz Ą#ó#�z Ą#
z
Ł# Ś#Ł# Ś#
�
" tensor diagonalny
Ixx 0 0 �x
Ą# ń#Ą# ń#
ó# Ą#ó#� Ą#
[Lx, Ly, Lz]= 0 I 0
Lx = Ixx�x y
yy y
ó# Ą#ó# Ą#
Ly = I �y
x
ó# Ą#ó# Ą#
y 0 0 Izz Ś#Ł#�z Ś#
Ł#
Lz = Iz�z
�#
1 1 L2 L2 L2 ś#
y
2 2 2
x z
ś# ź#
Ekin = (Ixx�x + I �y + Izz�z )= + +
yy
ś#
2 2 Ixx I Izz ź#
yy
�# #
obrót wokół osi o dużym momencie bezwładności odpowiada małej energii kinetycznej