MECHANIKA BUDOWLI semestr zimowy
Rozwiązywanie belki statyczne niewyznaczalnej Metodą Sił
Polecenie: Narysuj wykres sił wewnętrznych w belce. Zadanie rozwiąż metodą sił.
1
P=9kN
P1=12kN
q=6kN/m
0,5EI 2EI EI EI
4 4 4 2
Określenie stopnia statycznej niewyznaczalności układu:
5�[�5�`� = 5�Y�5�_� - 5�Y�5�]� - 3 = 5 - 0 - 3 = 2  układ dwukrotnie statycznie niewyznaczalny.
Schemat podstawowy metody sił:
X 1 X 1
X 2 X 2
0,5EI 2EI EI EI
4 4 4 2
Wykresy jednostkowe:
stan X1=1
X =1 X =1
1 1
0,5EI 2EI EI EI
4 4 4 2
M1
1
stan X2=1
X =1
X =1
2 2
0,5EI 2EI EI EI
4 4 4 2
M2
1
1 | S t r o n a mgr inż. Hanna Weber
MECHANIKA BUDOWLI semestr zimowy
Wykres M0 (moment zginający od obciążenia zewnętrznego):
1
P=9kN
P1=12kN
q=6kN/m
0,5EI 2EI EI EI
4 4 4 2
18
M0
2
ql /8=6 4 /8=12kNm
18
18,75
=
2
9
ql /8=6 4 /8=12kNm
+
9
Podział wykresów momentów do całkowania:
X =1 X =1
1 1
0,5EI 2EI EI EI
4 4 4 2
M1
0,25
X =1
1
X =1 2
2
0,5EI 2EI EI EI
4 4 4 2
M2
0,75
1
1
P=9kN
P1=12kN
q=6kN/m
0,5EI 2EI EI EI
4 4 4 2
18
M0
2 9
ql /8=6 4 /8=12kNm
2
ql /8=6 4 /8=12kNm
9
2 | S t r o n a mgr inż. Hanna Weber
MECHANIKA BUDOWLI semestr zimowy
Współczynniki układu równań kanonicznych:
d�11 - całkujemy wykres M1 sam przez siebie
1 1 2 1 1 2 10
ć� ć�
d�11 =� ��1��4�� ��1�� +� ��1��4�� ��1�� =�
�� �� �� ��
0,5EI 2 3 2EI 2 3 3EI
Ł� ł� Ł� ł�
d�12- całkujemy wykres M1 z M2
1 1 1 1
ć�
d�12 =� ��1��4�� ��1�� =�
�� ��
2EI 2 3 3EI
Ł� ł�
d�10- całkujemy wykres M1 z M0
1 2 1 1 ��2 1 1 2 1 1 2 ł� 175
ć�
d�10 =� ��12�� 4�� ��1�� +� ��12�� 4�� ��1+� ��9��3��ć� ��0,25 +� ��1�� +� ��9��1�� ��0,25ś� =�
�� ��
ę�3 2 2 �� 3 3 �� 2 3
0,5EI 3 2 2EI 4EI
Ł� ł� Ł� ł�
�� ��
d�21- całkujemy wykres M2 z M1
1
d�21 =� d�12 =�
3EI
d�22 - całkujemy wykres M2 sam przez siebie
1 1 2 1 1 2 2
ć� ć�
d�22 =� ��1��4�� ��1�� +� ��1��4�� ��1�� =�
�� �� �� ��
2EI 2 3 EI 2 3 EI
Ł� ł� Ł� ł�
d�20 - całkujemy wykres M2 z M0
1 ��2 1 1 2 1 2 1 ł� 1 1 1 5
ć�
d�20 =� ��12�� 4�� ��1+� ��9��3�� ��0,75 +� ��9��1��ć� ��0,75 +� ��1��ś� -� ��18�� 4�� ��1�� =�
ę�3 2 2 3 2 �� 3 3 �� EI �� 2 3 �� 4EI
2EI
Ł� ł� Ł� ł�
�� ��
Układ równań kanonicznych metody sił:
d�11 �� X1 +�d�12 �� X2 +�d�10 =� 0
��
��
�� X1 +�d�22 �� X2 +�d�20 =� 0
��d�21
10 1 175
��
��3EI �� X1 +� 3EI �� X 2 +� 4EI =� 0 /��12EI
��
��
1 2 5
��
��3EI �� X1 +� EI �� X 2 +� 4EI =� 0 /��12EI
��
40�� X1 +� 4�� X2 +� 525 =� 0
��
��
��4�� X1 +� 24�� X2 +�15 =� 0
Rozwiązanie układu równań:
X1 =� -�13,28kNm
��
��
=�1,59kNm
��X2
Wyznaczenie wartości sił tnących w zadanej belce:
x
P=9kN
P1=12kN
q=6kN/m
1,59kNm
13,28kNm
13,28kNm
13,28kNm 1,59kNm
13,28kNm 1,59kNm 1,59kNm
17,28kN
15,32kN
18,72kN 4,9kN
4 3 1 4 2
8,68kN 15,32kN 34,04kN 18,72kN 17,28kN 12,38kN
13,9kN
4,9kN
Wyznaczenie ekstremum (dla skrajnej części belki po lewej stronie):
8,68 1,452
T(x) =� 8,68 -� 6x =� 0 �� x =� =�1,45m M (x =�1,45m) =� 8,68��1,45 -� 6�� =� 6,28kNm
6 2
3 | S t r o n a mgr inż. Hanna Weber
MECHANIKA BUDOWLI semestr zimowy
Wykresy sił wewnętrznych w belce statycznie niewyznaczalnej:
1
P=9kN
P1=12kN
q=6kN/m
0,5EI 2EI EI EI
4 4 4 2
8,68kN
12,38kN
13,9kN
34,04kN
18,72
8,68 9
9
+
0,72
+ +
T
-
-
-
4,9
4,9 [kN]
11,28
15,32
17,28
18
13,28
M
[kNm]
1,59
6,28
15,87
Inne przykładowe schematy podstawowe dla rozwiązania tego zadania:
1)
X 1 X 2
2)
X 1 X 2
3)
X 1 X 2
4 | S t r o n a mgr inż. Hanna Weber
MECHANIKA BUDOWLI semestr zimowy
X =1 X =1
1 1
4)
X 2
X =1 X =1
1
1
5)
X 2
6)
X 2
X 1
5 | S t r o n a mgr inż. Hanna Weber