MECHANIKA BUDOWLI
Rozwiązanie belki statyczne niewyznaczalnej Metodą Przemieszczeń
Liczenie przemieszczeń w konstrukcji bezpośrednio z układu równań
Zadanie 1.: Narysuj wykresy sił wewnętrznych w belce. Zadanie rozwiąż metodą przemieszczeń.
P=12kN
q =4kN/m
P=12kN
M=16kNm
EJ EJ EJ EJ
4 4 4 2
RozwiÄ…zanie
Schemat podstawowy (założenie minimalnej ilości blokad potrzebnej do rozwiązania zadania):
Przed przystąpieniem do realizacji zadania dobrze jest sprawdzić, z jakich elementów składa się dana belka po
założeniu blokad:
Wszystkie trzy elementy to belka utwierdzona z podporÄ… przegubowÄ…. Ostatni element ma dodatkowo wspornik
na końcu, ale ponieważ jest on częścią statycznie wyznaczalną, nie stwarza to problemu przy wrysowaniu
wykresu.
Wykresy jednostkowe:
Zwalniamy pierwszą blokadę i wykonujemy obrót zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Na podstawie tablic
i odkształcenia elementów rysujemy wykresy jednostkowe po stronach rozciąganych.
3EI 3EI
=
L 4
3EI 3EI
=
L 4
Zwalniamy drugą blokadę i wymuszamy jednostkowe przesunięcie na kierunku pionowym. Wrysowujemy
wykresy odpowiadające odkształceniom prętów.
3EI 3EI
=
16
L2
3EI 3EI
=
16
L2
1
1 | S t r o n a mgr inż. Hanna Weber
MECHANIKA BUDOWLI
Wykres od obciążenia zewnętrznego wykonujemy na podstawie tablic:
1. Ponieważ moment skupiony jest po lewej stronie przegubu to jest to obciążenie przęsłowe, które znajduje
siÄ™ na pierwszym elemencie.
2. Siła P w przegubie jest obciążeniem węzłowym, ponieważ znajduje się nad ustawioną blokadą,
w związku z tym, nie daje wykresu na pręcie.
3. Aby narysować wykres na skrajnym prawym elemencie, należy dokonać superpozycji wykresów. Wykres od
obciążenia q wykonujemy jak dla elementu "utwierdzenie-podpora przegubowa", obciążonego obciążeniem q na
całej długości. W celu narysowania wykresu od siły skupionej należy wyznaczyć wartość momentu nad podporą
przegubową od siły P umiejscowionej na końcu wspornika (24kNm), następnie wykres na pozostałej części belki
tworzymy jak dla elementu "utwierdzenie-podpora przegubowa" obciążonego momentem skupionym na końcu.
P=12kN
q =4kN/m
P=12kN
M=16kNm
4 4 4 2
q =4kN/m
P=12kN
M=16kNm
=
2
qL=8
M=16
8
2
M/2=8
qL=8
8
+ P=12kN
24
12
2 | S t r o n a mgr inż. Hanna Weber
MECHANIKA BUDOWLI
Zestawienie wykresów:
3EI 3EI
=
L 4
3EI 3EI
=
L 4
3EI 3EI 3EI 3EI
2
2 =
=
16
16 L
L
1
zewn.
obc.
P=12kN
24
16
8
4
8
Współczynniki układu równań metody przemieszczeń:
k11 - suma momentów w pierwszym węz
le na pierwszym wykresie
3EI 3EI 6EI 3EI
k11 = + = =
4 4 4 2
k12 - suma momentów w pierwszym węz
le na drugim wykresie
3EI
k12 =
16
k10 - suma momentów w pierwszym węz
le na wykresie od obciążenia zewnętrznego
k10 = 8 + 4 = 12
k21 - reakcja na drugiej podporze od pierwszego wykresu
3EI 3EI
16 4
0
0 3EI
16
3EI
0
16
k21 k21 =
3EI
16
k22 - reakcja na drugiej podporze od drugiego wykresu
3EI 3EI 3EI 3EI
16 64 64 16
3EI 3EI
64 64
3EI 3EI
64 64
3EI 3EI 6EI 3EI
k22
k22 = + = =
64 64 64 32
k20 - reakcja na drugiej podporze od wykresu od obciążenia zewnętrznego
P=12kN
q =4kN/m
6
6
16 8
8
6
24
10
=6 6
4
k20 = -6 -12 - 6 = -24
k20
3 | S t r o n a mgr inż. Hanna Weber
MECHANIKA BUDOWLI
Układ równań metody przemieszczeń:
k11 Å"Õ1 + k12 Å" "2 + k10 = 0
Å„Å‚
òÅ‚
Å"Õ1 + k22 Å" "2 + k20 = 0
ółk21
3EI 3EI
Å„Å‚
Å"Õ1 + Å" "2 +12 = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
2 16
òÅ‚
ôÅ‚3EI Å"Õ1 + 3EI Å" "2 - 24 = 0
ôÅ‚
ół 16 32
Rozwiązanie układu równań:
Å„Å‚Õ = - 53,33
1
ôÅ‚
ôÅ‚
EI
òÅ‚
ôÅ‚"2 = 362,67
ôÅ‚
ół EI
Ostateczny wykres momentów dla układu statycznie niewyznaczalnego:
Wykres momentów w poszczególnych punktach wyznaczamy na podstawie wzoru:
Õ1=1 "2 =1
Mi = M Å"Õ1 + M Å" "2 + M0i
i i
Zaznaczenie charakterystycznych punktów na konstrukcji:
D
E G
F
B
A C
3EI 362,67
M = 0 - Å" + 8 = -60kNm
A
16 EI
M = 0 + 0 +16 =16kNm
B
MC = 0 + 0 + 0 = 0kNm
3EI - 53,33 3EI 362,67
M = Å" + Å" + 8 = 36kNm
D
4 EI 16 EI
3EI - 53,33
M = Å" + 0 + 4 = -36kNm
E
4 EI
M = 0 + 0 + 24 = 24kNm
F
MG = 0 + 0 - 24 = -24kNm
Wyznaczenie wartości sił tnących:
P=12kN
P=12kN
q =4kN/m
q =4kN/m
36
36 36
36
16
60
1
17
17
11 1 11
11
11
44 17
=11
4
V=28kN
4 | S t r o n a mgr inż. Hanna Weber
MECHANIKA BUDOWLI
Wykresy sił wewnętrznych w zadanej belce statycznie niewyznaczalnej:
P=12kN
q =4kN/m
P=12kN
M=16kNm
EJ EJ EJ EJ
4 4 4 2
12 12
11 11 11
+ +
+
T
-
-
[kN]
17
5
1
60
36
M
24
[kNm]
16
20,875
Wyznaczenie ekstremum:
11
P=12kN
q =4kN/m
T (x) = 11- 4x = 0 x = = 2,75m
36
4
2,752
M (x = 2,75m) = -36 - 4 Å" +11Å" 2,75 = -20,875kNm
2
11
17
x
Zadanie 2: Dla podanego układu wyznacz wartość kąta obrotu z lewej strony przegubu
bezpośrednio z układu równań metody przemieszczeń.
P=12kN
q =4kN/m
P=12kN
M=16kNm
EJ EJ EJ EJ
4 4 4 2
RozwiÄ…zanie
Schemat podstawowy (założenie dodatkowej blokady na obrót po lewej stronie przegubu, w miejscu
poszukiwanego kÄ…ta obrotu):
Podział na elementy, z jakich składa się belka po założeniu blokad przemieszczeń:
W wyniku założenia dodatkowej blokady obrotu, lewy element stał się belką obustronnie utwierdzoną,
pozostałe nie uległy zmianie.
5 | S t r o n a mgr inż. Hanna Weber
MECHANIKA BUDOWLI
Wykresy jednostkowe i od obciążenia zewnętrznego:
3EI 3EI
=
L 4
3EI 3EI
=
L 4
4EI 4EI
EI
= =
L 4
2EI 2EI EI
= =
L 4 2
6EI 6EI 3EI 3EI
=
=
16
16 L2
L2
16EI
16
obc.zewn.
P=12kN
24
16
8
4
8
W tym przykładzie moment skupiony znajduje się w miejscu blokady obrotu, to powoduje, że nie jest to już
obciążenie przęsłowe, ale węzłowe, zatem nie daje wykresu na pręcie. Należy je jedynie uwzględnić przy liczeniu
współczynnika k20.
Współczynniki układu równań metody przemieszczeń:
3EI 3EI 6EI 3EI
k11 = + = =
4 4 4 2
k12 = 0
3EI
k13 =
16
k10 = 8 + 4 = 12
k21 = 0
k22 = EI
6EI 3EI
k23 = - = -
16 8
k20 = -16 Moment węzłowy kręcący zgodnie z ruchem wskazówek zegara ma znak "-"
3EI
k31 = k13 =
16
3EI
k32 = k23 = -
8
3EI 3EI 3EI 3EI
3EI
8 16 64 16
8
3EI 3EI
16 64
3EI 3EI
16 64
k33
3EI 3EI 15EI
k33 = + =
16 64 64
6 | S t r o n a mgr inż. Hanna Weber
MECHANIKA BUDOWLI
P=12kN
q =4kN/m
16
6
8
6
0 10
0
k30
k30 = -12 - 6 = -18
Układ równań metody przemieszczeń:
3EI 3EI
Å„Å‚
Å"Õ1 + 0 Å"Õ1 + Å" "3 +12 = 0
k11 Å"Õ1 + k12Õ2 + k13 Å" "3 + k10 = 0
Å„Å‚
ôÅ‚
2 16
ôÅ‚k Å"Õ1 + k22Õ2 + k23 Å" "3 + k20 = 0
ôÅ‚

òÅ‚
21
ôÅ‚0 Å"Õ1 + EI Å"Õ2 - 3EI
Å" "3 -16 = 0
ôÅ‚k Å"Õ1 + k32Õ2 + k33 Å" "3 + k30 = 0 òÅ‚
8
ół 31
ôÅ‚
3EI 3EI 15EI
ôÅ‚
Å"Õ1 - Å"Õ2 + Å" "3 -18 = 0
ôÅ‚
16 8 64
ół
Rozwiązanie układu równań:
Å„Å‚Õ = - 53,33
1
ôÅ‚
EI
ôÅ‚
ôÅ‚Õ = 152
òÅ‚
2
EI
ôÅ‚
ôÅ‚" = 362,67
3
ôÅ‚
EI
ół
Odp. Szukany kÄ…t obrotu po lewej stronie przegubu jest równy Õ2 =152 / EI .
Zadanie 3: Dla podanego układu wyznacz wartość przemieszczenia pionowego końca wspornika
bezpośrednio z układu równań metody przemieszczeń.
P=12kN
q =4kN/m
P=12kN
M=16kNm
EJ EJ EJ EJ
4 4 4 2
RozwiÄ…zanie
Schemat podstawowy (w celu obliczenia przemieszczenia pionowego końca wspornika, należy w tym
miejscu wstawić blokadę przesuwu, zmusza to jednocześnie do wstawienia
dodatkowej blokady obrotu na drugiej podporze przegubowej):
Podział na elementy, z jakich składa się belka po założeniu blokad przemieszczeń:
W wyniku założenia dodatkowej blokady obrotu i przesuwu liczba elementów wzrosła do czterech.
7 | S t r o n a mgr inż. Hanna Weber
MECHANIKA BUDOWLI
Wykresy jednostkowe i od obciążenia zewnętrznego:
3EI 3EI
=
2EI EI
L 4 2EI
= =
L 4 2
4EI 4EI
EI
=
=
L 4
4EI 4EI
EI
=
=
L 4
2EI 2EI EI
= =
L 4 2
3EI 3EI
=
L 2
3EI 3EI
=
16
3EI L2
=
16
L2
1
3EI 3EI
=
4
L2
1
zewn. 16
obc.
2 2
qL=4 4=5,33
P=12kN
P=12kN
8 12 12
5,33
4
8
Współczynniki układu równań metody przemieszczeń:
3EI 7EI
k11 = + EI =
4 4
EI
k12 =
2
3EI
k13 =
16
k14 = 0
k10 = 8 - 5,33 = 2,67
EI
k21 =
2
3EI 5EI
k22 = EI + =
2 2
k23 = 0
3EI
k24 = -
4
k20 = 5,33
3EI
k31 = k13 =
16
k32 = k23 = 0
8 | S t r o n a mgr inż. Hanna Weber
MECHANIKA BUDOWLI
3EI 3EI 3EI 3EI
16 64 64 16
3EI 3EI
64 64
3EI 3EI
64 64
k33
3EI 3EI 3EI
k33 = + =
64 64 32
0
0
0
0 0
0
k34
k34 = 0
P=12kN
q =4kN/m
6
6
16 8
8
6
24
10
=6 6
4
k30
k30 = -6 -12 - 6 = -24
k41 = k14 = 0
3EI
k42 = k24 = -
4
k43 = k34 = 0
3EI
3EI
3EI
4
8
8
3EI
k44
8
3EI
k44 =
8
P=12kN
0
0
0
k40 = -12
k40
Układ równań metody przemieszczeń:
7EI EI 3EI
Å„Å‚
Å"Õ1 + Å"Õ1 + Å" "3 + 0 Å" "4 + 2,67 = 0
k11 Å"Õ1 + k12Õ2 + k13 Å" "3 + k14 Å" "4 + k10 = 0 ôÅ‚
Å„Å‚
4 2 16
ôÅ‚
ôÅ‚k Å"Õ1 + k22Õ2 + k23 Å" "3 + k24 Å" "4 + k20 = 0
EI 5EI 3EI
ôÅ‚
21
ôÅ‚

Å"Õ1 + Å"Õ2 + 0 Å" "3 - Å" "4 + 5,33 = 0
òÅ‚
ôÅ‚
2 2 4
ôÅ‚k31 Å"Õ1 + k32Õ2 + k33 Å" "3 + k34 Å" "4 + k30 = 0
òÅ‚3EI
3EI
ôÅ‚k41 Å"Õ1 + k42Õ2 + k43 Å" "3 + k44 Å" "4 + k40 = 0
ôÅ‚
ół Å"Õ1 + 0 Å"Õ2 + Å" "3 + 0 Å" "4 - 24 = 0
ôÅ‚
16 32
ôÅ‚
3EI 3EI
Rozwiązanie układu równań:
ôÅ‚ - Å"Õ2 + 0 Å" "3 + Å" "4 - 12 = 0
0 Å"Õ1
ół 4 8
Å„Å‚Õ = - 53,33
1
ôÅ‚
EI
ôÅ‚
ôÅ‚Õ2 = 45,34
ôÅ‚
EI
òÅ‚
ôÅ‚"3 = 362,67
ôÅ‚
EI
ôÅ‚
122,68
ôÅ‚
"4 =
ół EI
Odp. Szukane przemieszczenie pionowe końca wspornika jest równe "4 =122,68 / EI .
9 | S t r o n a mgr inż. Hanna Weber