WM Z4/4. WYZNACZANIE SIA
NORMALNYCH W KRATOWNICACH PA
ASKICH 1
ZADANIE 4
Z4/4. WYZNACZANIE SIA
NORMALNYCH W KRATOWNICACH
PA
ASKICH - ZADANIE 4
Z4/4.1. Zadanie 4
Wyznaczyć metodą Rittera siły normalne w prętach numer 2 i 6 kratownicy półkrzyżulcowej przed-
stawionej na rysunku Z4/4.1.
30,0 kN
17,0 kN
3 6 8 11 14
5 6 7 8
10 17
12 15
2 13
5 10 13
14
9
16
11
1 2 3 4
1 12
4 7 9
25,0 kN
[m]
4,0 4,0 4,0 4,0
Rys. Z4/4.1. Kratownica półkrzyżulcowa
Z4/4.2. Analiza kinematyczna kratownicy płaskiej
Kratownica płaska przedstawiona na rysunku Z4/4.1 składa się z 14 węzłów, 25 prętów kratownicy.
Podpory odbierają ponadto trzy stopnie swobody. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności będzie
miał więc postać
2Å"14=25ƒÄ…3 . (Z4/4.1)
Jak więc widać kratownica płaska na rysunku Z4/4.1 spełnia warunek konieczny geometrycznej niezmien-
ności. Może ona być układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Kratownica na rysunku Z4/4.1 zbudowana jest z trójkątów, może więc stanowić tarczę sztywną. Rysu-
nek Z4/4.2 przedstawia tą tarczę sztywną wraz z prętami podporowymi.
I
1
2 3
Rys. Z4/4.2. Zastępcza tarcza sztywna
Tarcza sztywna numer I jest podparta trzema prętami podporowymi 1, 2 i 3. Posiada ona trzy stopnie
swobody, które odbierają jej trzy pręty podporowe. Został więc spełniony warunek konieczny geometrycznej
niezmienności.
Kierunki prętów podporowych numer 1, 2 i 3 nie przecinają się w jednym punkcie. Został tym samym
spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności. Tarcza sztywna numer I jest więc geomet-
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
1,5
1,5
2
23
1
5
9
2
1
2
1
0
8
2
4
2
2
WM Z4/4. WYZNACZANIE SIA
NORMALNYCH W KRATOWNICACH PA
ASKICH 2
ZADANIE 4
rycznie niezmienna i statycznie wyznaczalna. Także więc i kratownica płaska będzie układem geometrycznie
niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Z4/4.3. Wyznaczenie reakcji podporowych
Rysunek Z4/4.3 przedstawia założone zwroty reakcji podporowych na podporze przegubowo-nieprze-
suwnej i przegubowo-przesuwnej.
30,0 kN
17,0 kN
3 6 8 11
5 6 7 8 14
10 17
12 15
13
2 5 10 13
9 14
11 16
H1
1 2 3 4
1 12
4 7 9
25,0 kN
V1
Y V12 [m]
X 4,0 4,0 4,0 4,0
Rys. Z4/4.3. Założone zwroty reakcji podporowych
Reakcję poziomą H wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na kratownicę
1
płaską na oś poziomą X. Wynosi ona
²Ä… X = H1-17,0=0
. (Z4/4.2)
H =17,0 kN
1
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Reakcję pionową V wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na kratow-
1
nicę płaską względem punktu 12. Wynosi ona
²Ä… M =V Å"4Å"4,0-30,0Å"3Å"4,0-25,0Å"4,0-17,0Å"3,0=0
12 1
. (Z4/4.3)
V =31,94 kN
1
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Reakcję pionową V wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na kra-
12
townicę płaską względem punktu 1. Wynosi ona
²Ä… M =-V Å"4Å"4,0ƒÄ…30,0Å"4,0ƒÄ…25,0Å"3Å"4,0-17,0Å"3,0=0
1 12
. (Z4/4.4)
V =23,06 kN
12
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na
kratownicę płaską na oś pionową Y. Wynosi ona
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
1,5
1,5
25
2
1
3
2
19
20
18
2
4
2
2
WM Z4/4. WYZNACZANIE SIA
NORMALNYCH W KRATOWNICACH PA
ASKICH 3
ZADANIE 4
²Ä… Y =V ƒÄ…V -30,0-25,0=31,94ƒÄ…23,06-30,0-25,0=0 . (Z4/4.5)
1 17
Pionowe reakcje V oraz V zostały więc wyznaczone poprawnie. Rysunek Z4/4.4 przedstawia prawidłowe
1 12
wartości i zwroty reakcji podporowych.
30,0 kN
17,0 kN
3 6 8
5 6 7 11 8 14
10 17
12 15
13
2 5 10 13
14
9
16
11
17,0 kN
1 2 3 4
1 12
4 7 9
25,0 kN
[m]
31,94 kN
23,06 kN
4,0 4,0 4,0 4,0
Rys. Z4/4.4. Kratownica płaska w równowadze
Z4/4.4. Wyznaczenie sił normalnych metodą Rittera
Rysunek Z4/4.5 przedstawia przekrój A-A, jaki musimy wykonać aby wyznaczyć wartości sił normal-
nych w prętach numer 2 i 6.
30,0 kN
17,0 kN
3 6 A 8
5 6 7 11 8 14
10 17
12 15
13
2 5 10 13
14
9
16
11
17,0 kN
1 2 3 4
1 12
4 A 7 9
25,0 kN
[m]
31,94 kN
23,06 kN
4,0 4,0 4,0 4,0
Rys. Z4/4.5. Przekrój A-A
Rysunek Z4/4.6 przedstawia siły normalne działające w przekroju A-A. Punktem Rittera dla pręta
numer 2 jest węzeł numer 6. Przedstawia go rysunek Z4/4.6. Równaniem równowagi dla wyznaczenia siły
normalnej w pręcie numer 2 będzie suma momentów wszystkich sił działających na odciętą część kratow-
nicy względem punktu 6. Ma ono postać
²Ä… M =-N Å"3,0-17,0Å"3,0ƒÄ…31,91Å"4,0=0 (Z4/4.6)
6 2
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
1,5
1,5
3,0
1,5
1,5
2
2
1
5
3
9
2
1
2
1
0
8
4
22
2
2
2
1
5
3
9
2
1
2
1
0
8
4
22
2
WM Z4/4. WYZNACZANIE SIA
NORMALNYCH W KRATOWNICACH PA
ASKICH 4
ZADANIE 4
30,0 kN
17,0 kN
3 6
5 6
12 N6
10
N12
2
N11
9
17,0 kN N2
11
1 2
1
4
31,94 kN
[m]
4,0
Rys. Z4/4.6. Siły normalne w przekroju A-A
Siła normalna w pręcie numer 2 wynosi więc
N =25,55 kN
. (Z4/4.7)
2
Pręt ten jest więc rozciągany.
Punktem Rittera dla pręta numer 6 jest węzeł numer 4. Przedstawia go rysunek Z4/4.6. Równaniem
równowagi dla wyznaczenia siły normalnej w pręcie numer 6 będzie suma momentów wszystkich sił działa-
jących na odciętą część kratownicy względem punktu 4. Ma ono postać
²Ä… M =N Å"3,0-17,0Å"3,0ƒÄ…31,91Å"4,0=0 (Z4/4.8)
4 6
Siła normalna w pręcie numer 6 wynosi więc
N =-25,55 kN
. (Z4/4.9)
6
Pręt ten jest więc ściskany.
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
1,5
1,5
9
1
1
8