Wyznaczanie sił normalnych w kratownicach płaskich J Dębiński


WM 4. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH R4.1
4. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH
4.1. Definicja kratownicy płaskiej
Jak wiadomo kratownicą płaską nazywamy układ prętów prostych leżących na jednej płaszczyznie,
które są połączone między sobą przegubami. Przeguby nazywa się węzłami kratownicy. Kratownica
następnie jest podparta do podłoża za pomocą podpór przegubowo-przesuwnej i przegubowo-nieprzesuwnej.
W tym miejscu rozszerzymy tą definicję o fakt, że wszystkie siły czynne i bierne (reakcje) są przyłożone
w węzłach (przegubach) kratownicy płaskiej. Kratownicę zgodną z powyższą definicją przedstawia
rysunek 4.1.
P2
P4 2 5 4 6 6 7 8 8 10
9 10 11 12 13
H1
1 2 3 4
1 9
3 5 7
P1
P3
V1
V9
Rys. 4.1. Obciążona kratownica płaska
4.2. Siła normalna w pręcie kratownicy
Wytnijmy z kratownicy przedstawionej na rysunku 4.1 pręt numer 2. Na pręt ten będą działy dwie
reakcje działające na obu końcach wyciętego pręta. Zgodnie z rysunkiem 3.23 i wzorem (3.23) aby pręt ten
znajdował się w równowadze reakcje te muszą działać na jednej prostej, na której też leży pręt numer 2 oraz
muszą mieć te same wartości ale przeciwne zwroty. Przedstawia to rysunek 4.2.
R 2 R
3 5
L2
Rys. 4.2. Pręt kratownicy płaskiej w równowadze
Przetnijmy pręt numer 2 w dowolnym miejscu na jego długości. Punkt przecięcia znajduje się w od-
ległości x od lewego końca pręta. Przedstawia to rysunek 4.3 a). Jak widać na tym rysunku obie części pręta
nie znajdują się w równowadze. Aby były one w równowadze w miejscu przecięcia musi działać pewna siła
N. Siła ta jest równa co do wartości reakcji R działających na cały pręt numer 2 ale musi mieć przeciwny
zwrot, czyli jej wartość spełnia warunek
N =R . (4.1)
Siłę N nazywamy siłą normalną. Jest to jedna z tak zwanych sił przekrojowych. Siłę normalną
działającą w przekroju pręta przedstawia rysunek 4.4. Jak widać przyłożona ona jest w środku ciężkości
przekroju pręta (punkt sc) a jej kierunek pokrywa się z osią X związaną z prętem. Rysunek ten przedstawia
także układ YZ związany z przekrojem pręta kratownicy.
Siła normalna w pręcie kratownicy będzie miała swój znak. Będzie ona dodatnia, jeżeli będzie
działała od przekroju pręta. Przedstawia to rysunek 4.5 a). Będzie ona ujemna, jeżeli będzie działa do
Dr inż. Janusz Dębiński
16
1
7
5
4
1
1
WM 4. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH R4.2
przekroju pręta. Przedstawia to rysunek 4.5 b). Innymi słowy dodatnia siła normalna będzie rozciągała
(wydłużała) pręt kratownicy natomiast ujemna siła normalna będzie ściskała (skracała) pręt
kratownicy.
a)
R 2 2 R
3 5
L2-x
x
b)
R 2 N N 2 R
3 5
L2-x
x
Rys. 4.3. Części pręta kratownicy płaskiej. a) nie będące w równowadze, b) będące w równowadze
sc
Y=Y0
N
X
Z=Z0
Rys. 4.4. Siła normalna w przekroju pręta kratownicy płaskiej
a)
N N
b)
N N
Rys. 4.5. Siła normalna. a) dodatnia, b) ujemna
4.3. Metoda zrównoważenia węzłów
Pierwszą z metod wyznaczenia wartości i zwrotów sił normalnych w prętach kratownicy płaskiej jest
metoda zrównoważenia węzłów. W metodzie tej wycinamy każdy węzeł kratownicy płaskiej i rozpatru-
jemy równowagę wszystkich sił działających w nim. W każdym węzle mamy do dyspozycji dwa równania
sumy rzutów wszystkich sił działających w węzle na oś poziomą X i pionową Y.
Rysunek 4.6 przedstawia przykładową kratownicę płaską. Jak widać spełnia ona warunki konieczny
i dostateczne geometrycznej niezmienności. Dla kratownicy tej przyjmujemy początkowe zwroty reakcji
podporowych. Musimy także wyznaczyć wartości sinusa i kosinusa kąta ą pomiędzy prętami pasa dolnego
i górnego a krzyżulcami.
Dr inż. Janusz Dębiński
WM 4. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH R4.3
P2
P4 2 5 4 6 6 7 8 8 10
ą ą ą ą
9 10 11 12 13
H1 ą 1
ą 2 3 ą
4 ą
Y 1 9
3 5 7
P1
P3
V1
X V9
a a a a
Rys. 4.6. Kratownica płaska
N9
N14
Y
9
H1 ą N1
1
X
1
V1
Rys. 4.7. Siły działające w węzle numer 1
Rysunek 4.7 przedstawia wszystkie siły działające w wyciętym węzle numer 1. Siły normalne w prę-
tach kratownicy płaskiej przyjmujemy na początku obliczeń jako dodatnie czyli rozciągające. Równa-
nia równowagi w tym węzle mają postać
śą 1źą
ą X =-H1ą N1ą N14"cosśąąźą=0 , (4.2)
ą Yśą 1źą=V ąN ąN "sinśąąźą=0 . (4.3)
1 9 14
Rysunek 4.8 przedstawia wszystkie siły działające w wyciętym węzle numer 2. Równania równowagi
w tym węzle mają postać
śą2źą
ą X =P ąN =0 , (4.4)
4 5
śą źą
2
ą Y =N =0 . (4.5)
9
P4 2 5
Y N5
9
X
N9
Rys. 4.8. Siły działające w węzle numer 2
Dr inż. Janusz Dębiński
b
1
6
17
5
4
1
1
14
WM 4. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH R4.4
Y
N10
N15
X
10
N1 1 ą 2 N2
3
P1
Rys. 4.9. Siły działające w węzle numer 3
Rysunek 4.9 przedstawia wszystkie siły działające w wyciętym węzle numer 3. Równania równowagi
w tym węzle mają postać
śą 3źą
ą X =-N ąN ąN "cosśąąźą=0 , (4.6)
1 2 15
śą3źą
ą Y =N10-P1ą N15"sinśąąźą=0 . (4.7)
N5 5 4 6 N6
ą
Y
10
N14
X
N10
Rys. 4.10. Siły działające w węzle numer 4
Rysunek 4.10 przedstawia wszystkie siły działające w wyciętym węzle numer 4. Równania równowa-
gi w tym węzle mają postać
śą 4źą
ą X =-N ąN -N "cosśąąźą=0 , (4.8)
5 6 14
ą Yśą 4 źą=-N10- N14"sinśąąźą=0 . (4.9)
Y
N11
X
11
N2 2 3 N3
5
Rys. 4.11. Siły działające w węzle numer 5
Rysunek 4.11 przedstawia wszystkie siły działające w wyciętym węzle numer 5. Równania równowa-
gi w tym węzle mają postać
Dr inż. Janusz Dębiński
5
1
4
1
WM 4. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH R4.5
śą źą
5
ą X =-N ąN =0 , (4.10)
2 3
ą Yśą 5źą= N11=0 . (4.11)
P2
N6 6 6 7 N7
Y
ą ą
11
X
N15
N16
N11
Rys. 4.12. Siły działające w węzle numer 6
Rysunek 4.12 przedstawia wszystkie siły działające w wyciętym węzle numer 6. Równania równowa-
gi w tym węzle mają postać
śą6źą
ą X =-N ąN -N "cos śąąźąąN "cosśąąźą=0 , (4.12)
6 7 15 16
śą 6źą
ą Y =-P2- N11-N "sinśąąźą- N16"sinśąąźą=0 . (4.13)
15
N16
N12
Y
12
X
N3 3 ą 4 N4
7
P3
Rys. 4.13. Siły działające w węzle numer 7
Rysunek 4.13 przedstawia wszystkie siły działające w wyciętym węzle numer 7. Równania równowa-
gi w tym węzle mają postać
śą 7źą
ą X =-N ąN -N "cosśąąźą=0 , (4.14)
3 4 16
ą Yśą 7źą=-P3ą N12ąN "sinśąąźą=0 . (4.15)
16
Rysunek 4.14 przedstawia wszystkie siły działające w wyciętym węzle numer 8. Równania równowa-
gi w tym węzle mają postać
śą8źą
ą X =-N ąN ąN "cosśąąźą=0 , (4.16)
7 8 17
Dr inż. Janusz Dębiński
1
6
15
16
WM 4. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH R4.6
śą 8źą
ą Y =-N -N "sinśąąźą=0 . (4.17)
12 17
N7 7 8 8 N8
Y
ą
12
X
N17
N12
Rys. 4.14. Siły działające w węzle numer 8
Y
N17 N13
X
13
N4
ą
4
9
V9
Rys. 4.15. Siły działające w węzle numer 9
Rysunek 4.15 przedstawia wszystkie siły działające w wyciętym węzle numer 9. Równania równowa-
gi w tym węzle mają postać
śą 9źą
ą X =-N -N "cosśąąźą=0 , (4.18)
4 17
śą9źą
ą Y =V ąN ąN "sinśąąźą=0 . (4.19)
9 13 17
N8 8 10
Y
13
X
N13
Rys. 4.16. Siły działające w węzle numer 10
Rysunek 4.16 przedstawia wszystkie siły działające w wyciętym węzle numer 10. Równania równo-
wagi w tym węzle mają postać
śą źą
10
ą X =-N =0 , (4.20)
8
ą Yśą 10źą=-N =0 . (4.21)
13
Dr inż. Janusz Dębiński
1
7
1
7
WM 4. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH R4.7
Równania od (4.2) do (4.21) tworzą układ 20 równań z 20 niewiadomymi. Równań jest tyle samo ile
stopni swobody mają wszystkie węzły kratownicy płaskiej. Niewiadomymi w układzie równań są wartości
i zwroty 3 reakcji podporowych oraz 17 sił normalnych w prętach kratownicy płaskiej. Jeżeli wyznacznik
główny tego układu równań jest różny od zera to kratownica jest układem geometrycznie niezmien-
nym i statycznie wyznaczalnym. Rozwiązując układ równań wyznaczymy wartości i zwroty reakcji podpo-
rowych oraz sił normalnych w prętach.
Jeżeli po rozwiązaniu układu równań jakaś reakcja jest dodatnia oznacza to, że ma ona zwrot
taki sam jak przyjęty na początku obliczeń czyli dany pręt jest rozciągany. Jeżeli po rozwiązaniu
układu równań jakaś reakcja jest ujemna oznacza to, że ma ona zwrot przeciwny do przyjętego na
początku obliczeń czyli dany pręt jest ściskany.
Na rysunku kratownicy pręty rozciągane będziemy oznaczali tak jak na rysunku 4.17 a) natomiast pręt
ściskany będziemy oznaczali jak na rysunku 4.17 b). Obok pręta będziemy wpisywali wartość bezwzględną
siły normalnej w tym pręcie.
#"N#"
a)
b)
#"N#"
Rys. 4.17. Oznaczenie pręta. a) rozciąganego, b) ściskanego
Jeżeli jednak kratownica posiada strukturę prostą i tworzy tarczę sztywną reakcje w podporach
możemy wyznaczyć z trzech warunków równowagi dla tej tarczy sztywnej. Dla kratownicy na rysunku 4.6
równania równowagi będą miały postać
ą X =-H1ąP =0
, (4.22)
4
ą M =V "4"a-P1"3"a-P "2"a-P3"aąP4"b=0
, (4.23)
9 1 2
ą M =-V "4"aąP1"aąP "2"aąP3"3"aąP4"b=0
. (4.24)
1 9 2
Z równania (4.22) wyznaczymy reakcję H . Z równania (4.23) wyznaczymy reakcję V . Z równania
1 1
(4.24) wyznaczymy reakcję V .
9
Dla sprawdzenia obliczeń reakcji V oraz V zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił na
1 9
kierunek pionowy Y czyli
ą Y =V ąV -P1-P -P3=0
. (4.25)
1 9 2
Jeżeli warunek (4.25) jest spełniony wartości i zwroty reakcji V oraz V są wyznaczone poprawnie i może-
1 9
my przystąpić do dalszych obliczeń.
Obliczenia sił normalnych w prętach kratownicy płaskiej zaczynamy od tego węzła, w którym
schodzą się dwa pręty, w których nie znamy wartości sił normalnych. Węzłem takim jest węzeł numer 2. Z
równania (4.4) wyznaczymy siłę normalną N . Z równania (4.5) wyznaczymy siłę normalną N .
5 9
Dalej przechodzimy do węzła numer 1. Z równania (4.3) wyznaczymy siłę normalną N . Z równania
14
(4.2) wyznaczymy siłę normalną N .
1
Dr inż. Janusz Dębiński
WM 4. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH R4.8
Kolejnym węzłem będzie węzeł numer 4. Z równania (4.9) wyznaczymy siłę normalną N . Z rów-
10
nania (4.8) wyznaczymy siłę normalną N .
6
W dalszej kolejności rozpatrujemy węzeł numer 3. Z równania (4.7) wyznaczymy siłę N . Z równania
15
(4.6) wyznaczymy siłę N .
2
Dalej przechodzimy do węzła numer 5. Z równania (4.11) wyznaczymy siłę normalną N . Z równania
11
(4.10) wyznaczymy siłę normalną N
3.
Kolejnym węzłem będzie węzeł numer 6. Z równania (4.13) wyznaczymy siłę normalną N . Z rów-
16
nania (4.12) wyznaczymy siłę normalną N .
7
W dalszej kolejności rozpatrujemy węzeł numer 7. Z równania (4.15) wyznaczymy siłę normalną N .
12
Z równania (4.14) wyznaczymy siłę normalną N .
4
Dalej przechodzimy do węzła numer 8. Z równania (4.17) wyznaczymy siłę normalną N . Z równania
17
(4.16) wyznaczymy siłę normalną N .
8
Ostatnim węzłem będzie węzeł numer 9. Z równania (4.19) wyznaczymy siłę normalną N W ten
13.
sposób wyznaczyliśmy siły normalne we wszystkich prętach kratownicy płaskiej. Zostały nam jeszcze trzy
równania równowagi (4.18), (4.20) i (4.21). Wykorzystamy je do sprawdzenia poprawności obliczeń.
4.4. Pręty zerowe
Prętem zerowym nazywamy pręt, w którym siła normalna wynosi zero. Nie oznacza to, że pręt ten
jest niepotrzebny. Usunięcie pręta zerowego spowodowałoby, że kratownica stałaby się geometrycznie
zmienna.
Jeżeli w nieobciążonym węzle schodzą się dwa pręty kratownicy płaskiej to oba są zerowe. Przedsta-
wia to rysunek 4.18.
1
Rys. 4.18. Pręty zerowe
Jeżeli w obciążonym węzle schodzą się dwa pręty kratownicy i ponadto siła przyłożona w węzle ma
kierunek jednego z prętów to drugi pręt jest zerowy. Przedstawia to rysunek 4.19.
P
1
Rys. 4.19. Pręt zerowy
Jeżeli w nieobciążonym węzle schodzą się trzy pręty kratownicy płaskiej i ponadto dwa z nich leżą na
jednej prostej to trzeci pręt jest zerowy. Przedstawia to rysunek 4.20.
1
Rys. 4.20. Pręt zerowy
Dr inż. Janusz Dębiński
WM 4. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH R4.9
4.5. Metoda Rittera
Metoda Rittera jest metodą przydatną do wyznaczenia siły normalnej w jednym, ściśle określonym
pręcie kratownicy płaskiej. Warunkiem jej zastosowania jest wcześniejsze wyznaczenie wszystkich reakcji
podporowych. Metodę tę możemy więc zastosować głównie do kratownic o strukturze prostej.
Metoda ta polega na przecięciu kratownicy płaskiej i rozpatrywaniu równowagi wyciętej części.
Drugim warunkiem jej zastosowania będzie więc przecięcie kratownicy tylko przez trzy pręty. Istnieją
jednak odstępstwa od tego warunku. Omówimy je w dalszej części niniejszego rozdziału.
Istotą tej metody jest wyznaczenie siły normalnej w jednym pręcie z jednego równania równo-
wagi. Aby to uczynić należy zastosować równanie sumy momentów wszystkich sił działających na odciętą
część kratownicy płaskiej względem punktu przecięcia się kierunków dwóch pozostałych prętów
w przekroju. Punkt ten nazywamy punktem Rittera. Jeżeli dwa pręty w przekroju są do siebie równoległe
to aby wyznaczyć siłę normalną w trzecim pręcie należy zastosować równanie sumy rzutów wszystkich sił
działających na odciętą część kratownicy płaskiej na oś prostopadłą do kierunku prętów równoległych.
Rysunek 4.21 przedstawia kratownicę płaską, w której chcemy wyznaczyć siły normalne w prętach
numer 2, 6 i 15. W tym celu przecinamy kratownicę płaską przekrojem A-A przedstawionym na rysunku
4.21.
Rysunek 4.22 przedstawia siły działające na odciętą lewą część kratownicy płaskiej. Punktem Rittera
dla pręta numer 2 jest punkt przecięcia się kierunków prętów numer 6 i 15 czyli węzeł numer 6. Odpo-
wiednie równanie, z którego będziemy mogli wyznaczyć siłę normalną w tym pręcie będzie miało postać
P2
A
P4 2 5 4 6 6 7 8 8 10
9 10 11 12 13
H1
1 2 3 4
Y 1 9
3 5 7
P1 A
P3
V1
X V9
a a a a
Rys. 4.21. Kratownica płaska
P4 2 N6 6
5 6
4
N15
Y 9 10
N2
H1
ą 2
1
1
X
3
V1 P1
a a
Rys. 4.22. Siły działające na lewą część kratownicy płaskiej
ą M =-N "bąV "2"aąH1"b-P1"a=0
. (4.26)
6 2 1
Punktem Rittera dla pręta numer 6 jest punkt przecięcia się kierunków prętów numer 2 i 15 czyli
węzeł numer 3. Odpowiednie równanie, z którego będziemy mogli wyznaczyć siłę normalną w tym pręcie
będzie miało postać
Dr inż. Janusz Dębiński
b
b
1
6
17
5
4
1
1
4
1
5
1
WM 4. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH R4.10
ą M = N6"bąV "aąP "b=0
. (4.27)
3 1 4
Siłę normalną w pręcie numer 5 wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na
odciętą część kratownicy płaskiej na oś pionową Y
ą Y= N15"sin ą ąV -P1=0 . (4.28)
śą źą
1
Rysunek 4.23 przedstawia kratownicę płaską, która posiada nierównoległe do siebie pasy górny
i dolny. Chcąc wyznaczyć siły normalne w prętach numer 2, 6 i 15 stosujemy przekrój A-A przedstawiony
na rysunku 4.23.
Punktem Rittera dla pręta numer 2 jest punkt przecięcia się kierunków prętów numer 6 i 15 czyli
węzeł numer 6. Siłę normalną w tym pręcie liczymy podobnie jak w przypadku podanym powyżej.
Punktem Rittera dla pręta numer 6 jest punkt przecięcia się kierunków prętów numer 2 i 15 czyli
węzeł numer 5. Lewą część kratownicy płaskiej przedstawia rysunek 4.24.
P2 A
P3
6
6
7
4
8
8
P1 2 5
11
10
10 12
13
H1 1 9
9
1 2 3 4
3 5 7
A
V1
V9
a a a a
Rys. 4.23. Kratownica płaska z nierównoległymi pasami
N6Y
N6
P2
6
6 N6X
4
Y P1 2 5
N15
10
H1 1 9
X
1 2 N2 5
3
V1
a a
Rys. 4.24. Siły działające na lewą część kratownicy płaskiej
Najwygodniej siłę normalną w pręcie numer 6 jest przyłożyć w węzle numer 6, który znajduje się
powyżej punktu Rittera 5. Następnie siłę N rozkładamy na dwie siły składowe po kierunkach osi X i Y. Kie-
6
runki obu sił składowych przecinają się w punkcie 6 znajdującym się na kierunku siły N . Chcąc wyznaczyć
6
siłę normalną w pręcie numer 6 stosujemy równanie sumy momentów wszystkich sił działających na lewą
część kratownicy płaskiej względem punktu 5. Przyłożenie sił składowych N oraz N powoduje to, że od
6X 6Y
siły składowej pionowej N moment wynosi zero i w równaniu równowagi będziemy mieli tylko siłę
6Y
składową N .
6X
Dr inż. Janusz Dębiński
b
c
b
c
1
5
6
14
1
7
1
15
1
4
WM 4. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH R4.11
6
6
2
2'
K
2
5
x a a a a
Rys. 4.25. Punkt Rittera dla pręta numer 15
Punktem Rittera dla pręta numer 15 jest punkt przecięcia się kierunków prętów numer 2 i 6 czyli
punkt K przedstawiony na rysunku 4.25. Aby znalezć odległość x należy zastosować twierdzenie Talesa.
Będzie ono miało postać
62' 65
= . (4.29)
22' 5K
Ostatecznie będzie on miał postać
b-c b
= . (4.30)
2"a xą2"a
P2
N6
6
4
P1 2 5
10
H1 9
Y N15X
K 5
1
N2
1 2
3
X
N15Y
V1
N15
a a
Rys. 4.26. Siły działające na lewą część kratownicy płaskiej
Najwygodniej siłę normalną w pręcie numer 15 jest przyłożyć w węzle numer 5, który znajduje się na
jednej linii z punktem Rittera K. Przedstawia to rysunek 4.26. Następnie siłę N rozkładamy na dwie siły
15
składowe po kierunkach osi X i Y. Kierunki obu sił składowych przecinają się w punkcie 5 znajdującym się
na kierunku siły N . Chcąc wyznaczyć siłę normalną w pręcie numer 15 stosujemy równanie sumy
15
momentów wszystkich sił działających na lewą część kratownicy płaskiej względem punktu K. Przyłożenie
sił składowych N oraz N powoduje to, że od siły składowej poziomej N moment wynosi zero i do
15X 15Y 15X
równania równowagi wchodzi tylko siła składowa N .
15Y
Rysunek 4.27 b) przedstawia kratownicę płaską z drugorzędnym zakratowaniem. Rysunek 4.27 a)
przedstawia pierwszorzędne zakratowanie. Chcąc wyznaczyć siły normalne w prętach D2, K1 oraz K2,
przedstawionych na rysunku 4.28, należy w pierwszej kolejności wyznaczyć siłę normalną w pręcie pasa
górnego G wykonując przekrój A-A. Znając już siłę normalną w tym pręcie przecinamy kratownicę z dru-
gorzędnym zakratowaniem przekrojem B-B, w którym nie znamy wartości sił normalnych już tylko w trzech
prętach czyli D2, K1 oraz K2. Możemy więc siły normalne w tych prętach wyznaczyć stosując klasyczną
metodę Rittera. Zastosowaliśmy więc pośrednią metodę Rittera do wyznaczenia sił normalnych w prętach
D2, K1 oraz K2.
Dr inż. Janusz Dębiński
b
c
c
1
5
1
5
1
4
WM 4. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH R4.12
a)
b)
Rys. 4.27. Kratownica płaska. a) pierwszorzędne zakratowanie, b) pierwszorzędne i drugorzędne zakratowanie
B A
G
D2 D1
B A
Rys. 4.28. Przekroje kratownicy płaskiej z drugorzędnym zakratowaniem
A
6
G
S1
5
S2
D
4 A
Rys. 4.29. Kratownica półkrzyżulcowa
Rysunek 4.29 przedstawia kratownicę płaską nazywaną półkrzyżulcową. W kratownicy tej możemy
stosując metodę Rittera wyznaczyć siły normalne w pręcie pasa górnego G oraz pasa dolnego D. Aby to
uczynić należy wykonać przekrój A-A przedstawiony na rysunku 4.29. W przekroju A-A kierunki trzech sił
normalnych przecinają się w jednym punkcie. W węzle numer 4 przecinają się kierunki sił w prętach pasa
dolnego D oraz dwóch słupków S i S . W węzle numer 6 przecinają się kierunki sił w prętach pasa górnego
1 2
G oraz dwóch słupków S i S . Stosując równanie sumy momentów wszystkich sił działających na odciętą
1 2
część kratownicy półkrzyżulcowej względem punktu 4 wyznaczymy wartość siły normalnej w pręcie pasa
górnego G. Stosując równanie sumy momentów wszystkich sił działających na odciętą część kratownicy
półkrzyżulcowej względem punktu 6 wyznaczymy siłę normalną w pręcie pasa dolnego D.
Dr inż. Janusz Dębiński
K
1
2
K
WM Z4/1. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH 1
ZADANIE 1
Z4/1. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH
PAASKICH - ZADANIE 1
Z4/1.1. Zadanie 1
Wyznaczyć siły normalne we wszystkich prętach kratownicy przedstawionej na rysunku Z4/1.1
metodą zrównoważenia węzłów. Następnie siły normalne w prętach numer 3, 6 i 15 wyznaczyć metodą
Rittera. Wszystkie wymiary kratownicy płaskiej podane są w metrach.
29,0 kN
20,0 kN
5 6 7 8
2 4 6 8 10
9 10 11 12 13
1 9
3 5 7
1 2 3 4
25,0 kN 30,0 kN
[m]
6,0 6,0 6,0 6,0
Rys. Z4/1.1. Kratownica płaska wraz z siłami czynnymi
Z4/1.2. Analiza kinematyczna kratownicy płaskiej
Kratownica płaska przedstawiona na rysunku Z4/1.1 składa się z 10 węzłów, 17 prętów kratownicy.
Podpory odbierają ponadto trzy stopnie swobody. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności będzie
miał więc postać
2"10=17ą3 . (Z4/1.1)
Jak więc widać kratownica płaska na rysunku Z4/1.1 spełnia warunek konieczny geometrycznej
niezmienności. Może ona być układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Kratownica na rysunku Z4/1.1 zbudowana jest z trójkątów, może więc stanowić tarczę sztywną.
Rysunek Z4/1.2 przedstawia tą tarczę sztywną wraz z prętami podporowymi.
I
1
2 3
Rys. Z4/1.2. Zastępcza tarcza sztywna
Tarcza sztywna numer I jest podparta trzema prętami podporowymi 1, 2 i 3. Posiada ona trzy stopnie
swobody, które odbierają jej trzy pręty podporowe. Został więc spełniony warunek konieczny geometrycznej
niezmienności.
Kierunki prętów podporowych numer 1, 2 i 3 nie przecinają się w jednym punkcie. Został tym samym
spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności. Tarcza sztywna numer I jest więc geomet-
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
1
1
4
5
7
16
1
WM Z4/1. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH 2
ZADANIE 1
rycznie niezmienna i statycznie wyznaczalna. Także więc i kratownica płaska będzie układem geometrycznie
niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Z4/1.3. Wyznaczenie reakcji podporowych
Rysunek Z4/1.3 przedstawia założone zwroty reakcji podporowych na podporze przegubowo-
nieprzesuwnej i przegubowo-przesuwnej.
29,0 kN
20,0 kN
2 5 4 6 6 7 8 8
10
9 10 11 12 13
H1
1 9
3 5 7
1 2 3 4
Y
25,0 kN 30,0 kN
X
V1
V9 [m]
6,0 6,0 6,0 6,0
Rys. Z4/1.3. Założone zwroty reakcji podporowych
Reakcję poziomą H wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na kratownicę
1
płaską na oś poziomą X. Wynosi ona
ą X =H -20,0=0
1
. (Z4/1.2)
H =20,0 kN
1
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Reakcję pionową V wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na
1
kratownicę płaską względem punktu 9. Wynosi ona
ą M =V "4"6,0-25,0"3"6,0-29,0"2"6,0-30,0"6,0-20,0"3,0=0
9 1
. (Z4/1.3)
V =43,25 kN
1
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Reakcję pionową V wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na
9
kratownicę płaską względem punktu 1. Wynosi ona
ą M =-V "4"6,0ą25,0"6,0ą29,0"2"6,0ą30,0"3"6,0-20,0"3,0=0
1 9
. (Z4/1.4)
V =40,75 kN
9
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na
kratownicę płaską na oś pionową Y. Wynosi ona
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
1
1
4
5
7
16
1
WM Z4/1. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH 3
ZADANIE 1
ą Y =V ąV -25,0-29,0-30,0=43,25ą40,75-25,0-29,0-30,0=0
. (Z4/1.5)
1 9
Pionowe reakcje V oraz V zostały więc wyznaczone poprawnie. Rysunek Z4/1.4 przedstawia prawidłowe
1 9
wartości i zwroty reakcji podporowych.
29,0 kN
20,0 kN
5 6 7 8
2 4 6 8 10
9 10 11 12 13
20,0 kN
1 9
3 5 7
1 2 3 4
25,0 kN 30,0 kN
43,25 kN [m]
40,75 kN
6,0 6,0 6,0 6,0
Rys. Z4/1.4. Kratownica płaska w równowadze
Z4/1.4. Wyznaczenie sił normalnych w prętach kratownicy płaskiej metodą zrównoważenia
węzłów
Rysunek Z4/1.5 przedstawia kratownicę płaską z działającymi na nią siłami czynnymi i reakcjami
będącymi w równowadze.
29,0 kN
20,0 kN
5 6 7 8
2 4 6 8 10
ą ą ą
ą
9 10 11 12 13
20,0 kN ą ą ą
ą
1 9
3 5 7
1 2 3 4
25,0 kN 30,0 kN
43,25 kN [m]
40,75 kN
6,0 6,0 6,0 6,0
Rys. Z4/1.5. Kratownica płaska w równowadze
Wartości funkcji sinus i kosinus kąta nachylenia krzyżulców do poziomu, zgodnie z wymiarami
kratownicy płaskiej wynoszą
3,0
sin ą = =0,4472
śą źą
, (Z4/1.6)
3,02ą6,02
ćą
6,0
cos ą = =0,8944
śą źą
. (Z4/1.7)
3,02ą6,02
ćą
Wyznaczanie sił normalnych metodą zrównoważenia węzłów rozpoczniemy od węzła numer 1.
Rysunek Z4/1.6 przedstawia siły działające w tym węzle.
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
3,0
1
1
4
5
7
16
1
1
1
4
5
7
16
1
WM Z4/1. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH 4
ZADANIE 1
N9
9
20,0 kN N1
1
1
Y
43,25 kN
X
Rys. Z4/1.6. Siły działające w węzle numer 1
Równania równowagi w tym węzle mają postać
śą źą
1
ą X =N ą20,0=0 , (Z4/1.8)
1
śą źą
1
ą Y = N9ą43,25=0 . (Z4/1.9)
Z równań (Z4/1.8) i (Z4/1.9) możemy wyznaczyć siły normalne w prętach numer 1 i 9. Siły te mają wartości
N =-20,0 kN
, (Z4/1.10)
1
N =-43,25 kN
. (Z4/1.11)
9
Oba pręty są więc ściskane.
20,0 kN N5
5
2
ą
Y
9
N14
X
N9
Rys. Z4/1.7. Siły działające w węzle numer 2
Rysunek Z4/1.7 przedstawia siły działające w węzle numer 2. Równania równowagi w tym węzle
mają postać
śą2źą
ą X =N ąN "cosśąąźą-20,0=0 , (Z4/1.12)
5 14
ą Yśą 2 źą=-N9-N14"sinśąąźą=0 . (Z4/1.13)
Z równań (Z4/1.12) i (Z4/1.13) możemy wyznaczyć siły normalne w prętach numer 14 i 5. Siły te mają
wartości
Dr inż. Janusz Dębiński
1
4
WM Z4/1. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH 5
ZADANIE 1
-N
-śą-43,25źą=96,71 kN ,
9
N = = (Z4/1.14)
14
0,4472
sin ą
śą źą
N =-N14"cos ą ą20,0=-96,71"0,8944ą20,0=-66,50 kN . (Z4/1.15)
śą źą
5
Pręt numer 14 jest rozciągany natomiast pręt numer 5 ściskany.
N10
N14
N1 ą 10 N2
Y
3
1 2
X
25,0 kN
Rys. Z4/1.8. Siły działające w węzle numer 3
Rysunek Z4/1.8 przedstawia siły działające w węzle numer 3. Równania równowagi w tym węzle
mają postać
śą 3źą
ą X =-N -N "cos śąąźąąN =0 , (Z4/1.16)
1 14 2
ą Yśą 3źą=N10ą N14"sinśąąźą-25,0=0 . (Z4/1.17)
Z równań (Z4/1.16) i (Z4/1.17) możemy wyznaczyć siły normalne w prętach numer 2 i 10. Siły te mają
wartości
N =N ąN "cos ą =-20,0ą96,71"0,8944=66,50 kN , (Z4/1.18)
śą źą
2 1 14
N =25,0-N "sin ą =25,0-96,71"0,4472=-18,25 kN . (Z4/1.19)
śą źą
10 14
Pręt numer 2 jest rozciągany natomiast pręt numer 10 ściskany.
N5 5 4 6 N6
ą
10
Y
N15
N10
X
Rys. Z4/1.9. Siły działające w węzle numer 4
Rysunek Z4/1.9 przedstawia siły działające w węzle numer 4. Równania równowagi w tym węzle
mają postać
Dr inż. Janusz Dębiński
1
4
1
5
WM Z4/1. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH 6
ZADANIE 1
śą 4źą
ą X =-N ąN "cosśąąźąąN =0 , (Z4/1.20)
5 15 6
śą 4 źą
ą Y =-N10- N15"sinśąąźą=0 . (Z4/1.21)
Z równań (Z4/1.20) i (Z4/1.21) możemy wyznaczyć siły normalne w prętach numer 6 i 15. Siły te mają
wartości
-N
-śą-18,25źą
10
N = = =40,81 kN , (Z4/1.22)
15
0,4472
sin ą
śą źą
N =N -N "cos ą =-66,50-40,81"0,8944=-103,0 kN . (Z4/1.23)
śą źą
6 5 15
Pręt numer 15 jest rozciągany natomiast pręt numer 6 ściskany.
N6 29,0 kN 6 N7
Y
6 7
11
N11
X
Rys. Z4/1.10. Siły działające w węzle numer 6
Rysunek Z4/1.10 przedstawia siły działające w węzle numer 6. Równania równowagi w tym węzle
mają postać
śą źą
6
ą X =-N ąN =0 , (Z4/1.24)
6 7
śą źą
6
ą Y =-N -29,0=0 . (Z4/1.25)
11
Z równań (Z4/1.24) i (Z4/1.25) możemy wyznaczyć siły normalne w prętach numer 7 i 11. Siły te mają
wartości
N =N =-103,0 kN
, (Z4/1.26)
7 6
N =-29,0 kN
. (Z4/1.27)
11
Oba pręty są ściskane.
Rysunek Z4/1.11 przedstawia siły działające w węzle numer 5. Równania równowagi w tym węzle
mają postać
śą 5źą
ą X =-N -N "cos śąąźąąN "cos śąąźąąN =0 , (Z4/1.28)
2 15 16 3
Dr inż. Janusz Dębiński
WM Z4/1. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH 7
ZADANIE 1
Y
N11
N16
N15
X
11
N2 ą N3
ą
5
2 3
Rys. Z4/1.11. Siły działające w węzle numer 5
ą Yśą 5źą= N15"sinśąąźąąN11ą N16"sinśąąźą=0 . (Z4/1.29)
Z równań (Z4/1.28) i (Z4/1.29) możemy wyznaczyć siły normalne w prętach numer 16 i 3. Siły te mają
wartości
N "sin ą ąN
śą źą
40,81"0,4472-29,0
15 11
N =- =- =24,04 kN , (Z4/1.30)
16
0,4472
sin ą
śą źą
N =N ąN "cos ą "cos ą =66,50ą40,81"0,8944-24,04"0,8944=81,50 kN . (Z4/1.31)
śą źą-N
śą źą
3 2 15 16
Oba pręty są rozciągane.
7 8 8
N7 ą N8
Y
12
N16 N12
X
Rys. Z4/1.12. Siły działające w węzle numer 8
Rysunek Z4/1.12 przedstawia siły działające w węzle numer 8. Równania równowagi w tym węzle
mają postać
śą8źą
ą X =-N -N "cos śąąźąąN =0 , (Z4/1.32)
7 16 8
ą Yśą 8źą=-N "sinśąąźą-N =0 . (Z4/1.33)
16 12
Z równań (Z4/1.32) i (Z4/1.33) możemy wyznaczyć siły normalne w prętach numer 8 i 12. Siły te mają
wartości
N =N ąN "cos ą =-103,0ą24,04"0,8944=-81,50 kN , (Z4/1.34)
śą źą
8 7 16
N =-N "sin ą =-24,04"0,4472=-10,75 kN . (Z4/1.35)
śą źą
12 16
Oba pręty są ściskane.
Dr inż. Janusz Dębiński
1
5
16
6
1
WM Z4/1. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH 8
ZADANIE 1
N12
N17
12
N3 N4
ą
Y
7
3 4
X
30,0 kN
Rys. Z4/1.13. Siły działające w węzle numer 7
Rysunek Z4/1.13 przedstawia siły działające w węzle numer 7. Równania równowagi w tym węzle
mają postać
śą 7źą
ą X =-N ąN "cos śąąźąąN =0 , (Z4/1.36)
3 17 4
śą7źą
ą Y =N12ąN "sinśąąźą-30,0=0 . (Z4/1.37)
17
Z równań (Z4/1.36) i (Z4/1.37) możemy wyznaczyć siły normalne w prętach numer 17 i 4. Siły te mają
wartości
30,0- N12 30,0-śą-10,75źą=91,12
N = = kN , (Z4/1.38)
17
0,4472
sin ą
śą źą
N =N -N "cos ą =81,50-91,12"0,8944=0,00227H"0 . (Z4/1.39)
śą źą
4 3 17
Pręt numer 17 jest rozciągany natomiast pręt numer 4 jest prętem zerowym.
N13
Y
13
N4
X 9
4
40,75 kN
Rys. Z4/1.14. Siły działające w węzle numer 9
Rysunek Z4/1.14 przedstawia siły działające w węzle numer 9. Równania równowagi w tym węzle
mają postać
śą źą
9
ą X =-N =0 , (Z4/1.40)
4
Dr inż. Janusz Dębiński
7
1
WM Z4/1. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH 9
ZADANIE 1
śą9źą
ą Y =N13ą40,75=0 . (Z4/1.41)
Równanie (Z4/1.40) posłuży nam do sprawdzenia obliczenia siły normalnej w pręcie numer 4. Jak widać
jest to pręt zerowy (Z4/1.39). Z równania (Z4/1.41) możemy wyznaczyć wartość siły normalnej w pręcie
numer 13. Wynosi ona
N =-40,75 kN
. (Z4/1.42)
13
Pręt ten jest więc ściskany.
N8
8 10
ą
13
Y
N17
X
N13
Rys. Z4/1.15. Siły działające w węzle numer 10
Rysunek Z4/1.15 przedstawia siły działające w węzle numer 10. Równania równowagi w tym węzle
posłużą nam do sprawdzenia obliczeń. Mają postać
śą 10źą
ą X =-N -N17"cosśąąźą=-śą-81,50 (Z4/1.43)
źą-91,12"0,8944=0,00227H"0 ,
8
śą 10źą
ą Y =-N -N "sinśąąźą=-śą-40,75 (Z4/1.44)
źą-91,12"0,4472=0,00114H"0 .
13 17
Oba równania równowagi zostały spełnione. Obliczenia sił normalnych w prętach kratownicy płaskiej prze-
prowadziliśmy poprawnie.
Rysunek Z4/1.16 przedstawia kratownicę płaską wraz z siłami czynnymi i reakcjami działającymi na
nią oraz siłami normalnymi w prętach.
29,0 kN
20,0 kN
66,50 103,0 103,0 81,50
20,0 kN
0
20,0
66,50 81,50
25,0 kN 30,0 kN
[m]
43,25 kN
40,75 kN
6,0 6,0 6,0 6,0
Rys. Z4/1.16. Kratownica płaska z siłami czynnymi, reakcjami oraz siłami normalnymi w prętach
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
29,0
43,25
40,75
18,25
10,75
7
1
12
04
,
,
91
9
4
24
6
0
,7
,81
1
WM Z4/1. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH 10
ZADANIE 1
Z4/1.5. Wyznaczenie sił normalnych metodą Rittera
Aby wyznaczyć siły normalne w prętach numer 6 i 15 należy wykonać przekrój A-A przedstawiony na
rysunku Z4/1.17. Natomiast aby wyznaczyć siłę normalną w pręcie numer 3 należy wykonać przekrój B-B
tak przedstawiony na rysunku Z4/1.17.
29,0 kN
A B
20,0 kN
5 6 7 8
2 4 6 8 10
9 10 11 12 13
20,0 kN
1 9
3 5 7
1 2 3 4
A B
25,0 kN 30,0 kN
43,25 kN [m]
40,75 kN
6,0 6,0 6,0 6,0
Rys. Z4/1.17. Przekroje A-A i B-B
Aby wyznaczyć siły normalne w prętach numer 6 i 15 będziemy rozpatrywali równowagę lewej części
kratownicy płaskiej. Siły działające na tę część kratownicy płaskiej przedstawia rysunek Z4/1.18.
20,0 kN N6
2 5 4 6
ą
9 10
N15
20,0 kN
1
N2
3 5
1 2
Y
25,0 kN
43,25 kN
X
[m]
6,0 6,0
Rys. Z4/1.18. Siły działające na lewą część kratownicy płaskiej w przekroju A-A
Punktem Rittera dla pręta numer 6 jest węzeł numer 5. Siłę normalną w tym pręcie wyznaczymy
z równania sumy momentów wszystkich sił działających na lewą część kratownicy płaskiej względem tego
punktu. Równanie to ma postać
ą M =N "3,0-25,0"6,0ą43,25"2"6,0-20,0"3,0=0
. (Z4/1.45)
5 6
Siła normalna w pręcie numer 6 wynosi więc
N =-103,0 kN
(Z4/1.46)
6
i równa się wartości wyznaczonej ze wzoru (Z4/1.23).
Pręty numer 2 i 6 są do siebie równoległe więc siłę normalną w pręcie numer 15 wyznaczymy z rów-
nania sumy rzutów wszystkich sił działających na lewą część kratownicy płaskiej na oś pionową Y. Równa-
nie to ma postać
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
3,0
1
1
4
5
7
16
1
14
1
5
WM Z4/1. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH 11
ZADANIE 1
ą Y=-N "sin ą . (Z4/1.47)
śą źą-25,0ą43,25=0
15
Siła normalna w pręcie numer 15 wynosi więc
N =40,81 kN
(Z4/1.48)
15
i równa się wartości wyznaczonej ze wzoru (Z4/1.22).
Aby wyznaczyć siłę normalną w pręcie numer 3 będziemy rozpatrywali równowagę prawej części
kratownicy płaskiej. Siły działające na tę część kratownicy płaskiej przedstawia rysunek Z4/1.19.
N7 7 8
8 10
N16
12 13
9
N3 3
7
4
30,0 kN
[m]
40,75 kN
6,0
Rys. Z4/1.19. Siły działające na prawą część kratownicy płaskiej w przekroju B-B
Punktem Rittera dla pręta numer 3 jest węzeł numer 8. Siłę normalną w tym pręcie wyznaczymy
z równania sumy momentów wszystkich sił działających na prawą część kratownicy płaskiej względem tego
punktu. Równanie to ma postać
ą M =N "3,0-40,75"6,0=0
. (Z4/1.49)
8 3
Siła normalna w pręcie numer 3 wynosi więc
N =81,50 kN
(Z4/1.50)
3
i równa się wartości wyznaczonej ze wzoru (Z4/1.31).
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
7
1
16
WM Z4/2. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH 1
ZADANIE 2
Z4/2. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH
PAASKICH - ZADANIE 2
Z4/2.1. Zadanie 2
Wyznaczyć metodą Rittera siły normalne w prętach numer 2, 6 i 15 kratownicy przedstawionej na
rysunku Z4/2.1. Pręty pasa górnego z lewej i prawej strony tej kratownicy leżą na jednej prostej.
17,0 kN
6
4
8
2 10 18,0 kN
10 11 12
9 13
1
9
3
1 2 5 3 7 4
30,0 kN
[m]
6,0 6,0 6,0 6,0
Rys. Z4/2.1. Kratownica płaska
Z4/2.2. Analiza kinematyczna kratownicy płaskiej
Kratownica płaska przedstawiona na rysunku Z4/2.1 składa się z 10 węzłów, 17 prętów kratownicy.
Podpory odbierają ponadto trzy stopnie swobody. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności będzie
miał więc postać
2"10=17ą3 . (Z4/2.1)
Jak więc widać kratownica płaska na rysunku Z4/2.1 spełnia warunek konieczny geometrycznej niezmien-
ności. Może ona być układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Kratownica na rysunku Z4/2.1 zbudowana jest z trójkątów, może więc stanowić tarczę sztywną.
Rysunek Z4/2.2 przedstawia tą tarczę sztywną wraz z prętami podporowymi.
I
1
2 3
Rys. Z4/2.2. Zastępcza tarcza sztywna
Tarcza sztywna numer I jest podparta trzema prętami podporowymi 1, 2 i 3. Posiada ona trzy stopnie
swobody, które odbierają jej trzy pręty podporowe. Został więc spełniony warunek konieczny geometrycznej
niezmienności (2.4).
Kierunki prętów podporowych numer 1, 2 i 3 nie przecinają się w jednym punkcie. Został tym samym
spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności. Tarcza sztywna numer I jest więc geomet-
rycznie niezmienna i statycznie wyznaczalna. Także więc i kratownica płaska będzie układem geometrycznie
niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
2,0
7
6
5
8
16
5
1
1
4
7
1
WM Z4/2. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH 2
ZADANIE 2
Z4/2.3. Wyznaczenie reakcji podporowych
Rysunek Z4/2.3 przedstawia założone zwroty reakcji podporowych na podporze przegubowo-
nieprzesuwnej i przegubowo-przesuwnej.
17,0 kN
6
4 8
18,0 kN
2
10 11 12
10
13
H1 9 1
9
3 5 7
1 2 3 4
V1
Y V9
30,0 kN
[m]
6,0 6,0 6,0 6,0
X
Rys. Z4/2.3. Założone zwroty reakcji podporowych
Reakcję poziomą H wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na kratownicę
1
płaską na oś poziomą X. Wynosi ona
ą X =H -18,0=0
1
. (Z4/2.2)
H =18,0 kN
1
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Reakcję pionową V wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na
1
kratownicę płaską względem punktu 9. Wynosi ona
ą M =V "4"6,0-30,0"3"6,0-17,0"6,0-18,0"2,0=0
9 1
. (Z4/2.3)
V =28,25 kN
1
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Reakcję pionową V wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na
9
kratownicę płaską względem punktu 1. Wynosi ona
ą M =-V "4"6,0ą30,0"6,0ą17,0"3"6,0-18,0"2,0=0
1 9
. (Z4/2.4)
V =18,75 kN
9
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na
kratownicę płaską na oś pionową Y. Wynosi ona
ą Y =V ąV -30,0-17,0=28,25ą18,75-30,0-17,0=0
. (Z4/2.5)
1 9
Pionowe reakcje V oraz V zostały więc wyznaczone poprawnie. Rysunek Z4/2.4 przedstawia prawidłowe
1 9
wartości i zwroty reakcji podporowych.
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
2,0
7
6
5
8
1
6
5
1
14
7
1
WM Z4/2. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH 3
ZADANIE 2
17,0 kN
6
4
8
2 10 18,0 kN
10 11 12
9 13
18,0 kN
1
9
3 5 7
1 2 3 4
30,0 kN
28,25 kN
18,75 kN
[m]
6,0 6,0 6,0 6,0
Rys. Z4/2.4. Kratownica płaska w równowadze
Z4/2.4. Wyznaczenie sił normalnych metodą Rittera
Aby wyznaczyć siły normalne w prętach numer 2, 6 i 15 należy wykonać przekrój A-A przedstawiony
na rysunku Z4/2.5.
17,0 kN
A
6
4
8
2 10 18,0 kN
10 11 12
9 13
18,0 kN
1
9
3 5 7
1 2 3 4
A
30,0 kN
28,25 kN
18,75 kN
[m]
6,0 6,0 6,0 6,0
Rys. Z4/2.5. Przekrój A-A
6
N6
4
2
N15
10
9
N2
18,0 kN
1
1 2
3
30,0 kN
[m]
28,25 kN
6,0 6,0
Rys. Z4/2.6. Siły działające na lewą część kratownicy płaskiej w przekroju A-A
Do obliczeń sił normalnych w prętach numer 2, 6 i 15 będziemy rozpatrywali równowagę lewej części
kratownicy płaskiej. Siły działające na tę część kratownicy płaskiej przedstawia rysunek Z4/2.6.
Punktem Rittera dla pręta numer 2 jest węzeł numer 6. Siłę normalną w tym pręcie wyznaczymy
z równania sumy momentów wszystkich sił działających na lewą część kratownicy płaskiej względem tego
punktu. Równanie to ma postać
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
2,0
3,0
2,0
3,0
2,0
7
6
5
8
1
6
5
1
14
7
1
7
6
5
8
1
6
5
1
14
7
1
6
5
14
5
1
WM Z4/2. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH 4
ZADANIE 2
ą M =-N "3,0ą28,25"2"6,0-30,0"6,0-18,0"3,0=0
. (Z4/2.6)
6 2
Siła normalna w pręcie numer 2 wynosi więc
N =35,0 kN
. (Z4/2.7)
2
Pręt ten jest więc rozciągany.
N6
ą
6
0,08305"N6
2 4
0,9965"N6
N15
10
9
N2
18,0 kN
1
1 2
3
30,0 kN
[m]
28,25 kN
6,0 6,0
Rys. Z4/2.7. Siły działające na lewą część kratownicy płaskiej w przekroju A-A
Punktem Rittera dla pręta numer 6 jest węzeł numer 3. Przedstawia go rysunek Z4/2.7. Długość
słupka numer 10 wynosi 2,5 metra, ponieważ jego koniec w węzle numer 4 znajduje się w środku odcinka
łączącego węzły numer 2 i 6. Ze względu na to, że pręt numer 6 jest prętem pochyłym najwygodniej będzie
nam rozłożyć siłę normalną w tym pręcie na dwie siły składowe. Funkcje kąta nachylenia tego pręta
wynoszą
3,0-2,5
sin ą = =0,08305
śą źą
, (Z4/2.8)
0,52ą6,02
ćą
6,0
cos ą = =0,9965
śą źą
. (Z4/2.9)
0,52ą6,02
ćą
Pozioma siła składowa siły normalnej w pręcie numer 6 wynosi
N =N "cosśąąźą=0,9965"N6 . (Z4/2.10)
6X 6
Pionowa siła składowa siły normalnej w pręcie numer 6 wynosi
N =N "sinśąąźą=0,08305"N . (Z4/2.11)
6Y 6 6
Zwroty sił składowych siły normalnej w pręcie numer 6 przedstawia rysunek Z4/2.7. Obie siły składowe są
przyłożone w węzle numer 4.
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
2,5
2,0
6
5
1
4
5
1
WM Z4/2. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH 5
ZADANIE 2
Siłę normalną w pręcie numer 6 wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił
działających na lewą część kratownicy płaskiej względem węzła 3. Równanie to ma postać
ą M =0,9965"N "2,5ą28,25"6,0=0
. (Z4/2.12)
3 6
Siła normalna w pręcie numer 6 wynosi więc
N =-68,04 kN
. (Z4/2.13)
6
Pręt ten jest więc ściskany.
4
6
2
2'
K 3
1
5
x 6,0 6,0
[m]
Rys. Z4/2.8. Położenie punktu Rittera dla pręta numer 15
Rysunek Z4/2.8 przedstawia położenie punktu Rittera dla pręta numer 15, który znajduje się w miej-
scu przecięcia się kierunków prętów numer 2 i 6. Korzystając z twierdzenia Talesa otrzymamy
62' 21
= (Z4/2.14)
22' 1K
czyli otrzymamy
3,0-2,0 2,0
= . (Z4/2.15)
2"6,0 x
Ostatecznie odległość punktu K od węzła numer 1 wynosi
x=24,0 m . (Z4/2.16)
Rysunek Z4/2.9 przedstawia wszystkie siły działające na odciętą lewą część kratownicy płaskiej.
Funkcje kąta nachylenia pręta numer 15 do poziomu wynoszą
3,0
sin ą = =0,4472
śą źą
, (Z4/2.17)
3,02ą6,02
ćą
6,0
cos ą = =0,8944
śą źą
. (Z4/2.18)
3,02ą6,02
ćą
Dr inż. Janusz Dębiński
2,0
2,0
3,0
WM Z4/2. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH 6
ZADANIE 2
6
N6
2
4
N15
10
9
N2
18,0 kN 
1
1 3 2
5
30,0 kN
[m]
28,25 kN
6,0 6,0
Rys. Z4/2.9. Siły działające na lewą część kratownicy płaskiej
N6
2 4
10
N15
0,4472"N15
9
N2
18,0 kN 
K
1
1 3 2
0,8944"N15
30,0 kN
[m]
28,25 kN
24,0 6,0
Rys. Z4/2.10. Siły działające na lewą część kratownicy płaskiej
Pozioma siła składowa siły normalnej w pręcie numer 15 wynosi
N =N "cosśąąźą=0,8944"N15 . (Z4/2.19)
15X 15
Pionowa siła składowa siły normalnej w pręcie numer 15 wynosi
N =N "cos śąąźą=0,4472"N15 . (Z4/2.20)
15Y 15
Zwroty sił składowych siły normalnej w pręcie numer 15 przedstawia rysunek Z4/2.9. Obie siły składowe
przyłożone są w węzle numer 3.
Siłę normalną w pręcie numer 15 wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działa-
jących na lewą część kratownicy płaskiej względem punktu K. Równanie to ma postać
ą M =-0,4472"N15"śą24,0ą6,0źąą30,0"śą24,0ą6,0źą-28,25"24,0=0 . (Z4/2.21)
K
Siła normalna w pręcie numer 15 wynosi więc
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
2,5
2,0
2,0
6
5
1
4
5
1
5
6
14
5
1
WM Z4/2. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH 7
ZADANIE 2
N =16,55 kN
. (Z4/2.22)
15
Pręt ten jest więc rozciągany.
Dr inż. Janusz Dębiński
WM Z4/3. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH 1
ZADANIE 3
Z4/3. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH
PAASKICH - ZADANIE 3
Z4/3.1. Zadanie 3
Wyznaczyć metodą Rittera siły normalne w prętach numer 3, 21 i 22 kratownicy z drugorzędnym
zakratowaniem przedstawionej na rysunku Z4/3.1.
30,0 kN
19,0 kN
2 30 6 31 10 32 14 33
18
4 8 12 16
13
9 17
11 15
12
14 16
10
1 2 3 4 5 6 7 8
1
17
3
5 7 9 11 13 15
20,0 kN
2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0
[m]
4,0 4,0 4,0 4,0
Rys. Z4/3.1. Kratownica z drugorzędnym zakratowaniem
Z4/3.2. Analiza kinematyczna kratownicy płaskiej
Kratownica płaska przedstawiona na rysunku Z4/3.1 składa się z 18 węzłów, 33 prętów kratownicy.
Podpory odbierają ponadto trzy stopnie swobody. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności będzie
miał więc postać
2"18=33ą3 . (Z4/3.1)
Jak więc widać kratownica płaska na rysunku Z4/3.1 spełnia warunek konieczny geometrycznej niezmien-
ności. Może ona być układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Kratownica na rysunku Z4/3.1 zbudowana jest z trójkątów, może więc stanowić tarczę sztywną.
Rysunek Z4/3.2 przedstawia tą tarczę sztywną wraz z prętami podporowymi.
I
1
2 3
Rys. Z4/3.2. Zastępcza tarcza sztywna
Tarcza sztywna numer I jest podparta trzema prętami podporowymi 1, 2 i 3. Posiada ona trzy stopnie
swobody, które odbierają jej trzy pręty podporowe. Został więc spełniony warunek konieczny geometrycznej
niezmienności (2.4).
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
1,5
1,5
22
2
8
5
2
19
2
23
2
26
0
1
9
8
7
2
24
1
2
WM Z4/3. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH 2
ZADANIE 3
Kierunki prętów podporowych numer 1, 2 i 3 nie przecinają się w jednym punkcie. Został tym samym
spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności. Tarcza sztywna numer I jest więc geomet-
rycznie niezmienna i statycznie wyznaczalna. Także więc i kratownica płaska będzie układem geometrycznie
niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Z4/3.3. Wyznaczenie reakcji podporowych
Rysunek Z4/3.3 przedstawia założone zwroty reakcji podporowych na podporze przegubowo-nieprze-
suwnej i przegubowo-przesuwnej.
30,0 kN
19,0 kN
2 6 10 14
30 31 32 33
18
4 8 12
16
13
9 17
11 15
12 14 16
10
H1
1 2 3 4 5 6 7 8
1 17
3 5 7 9 11 13 15
Y
V1
V17
20,0 kN
X [m]
2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0
4,0 4,0 4,0 4,0
Rys. Z4/3.3. Założone zwroty reakcji podporowych
Reakcję poziomą H wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na kratownicę
1
płaską na oś poziomą X. Wynosi ona
ą X = H1-19,0=0
. (Z4/3.2)
H =19,0 kN
1
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Reakcję pionową V wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na kratow-
1
nicę płaską względem punktu 17. Wynosi ona
ą M =V "4"4,0-20,0"3"4,0-30,0"4,0-19,0"3,0=0
17 1
. (Z4/3.3)
V =26,06 kN
1
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Reakcję pionową V wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na kra-
17
townicę płaską względem punktu 1. Wynosi ona
ą M =-V "4"4,0ą20,0"4,0ą30,0"3"4,0-19,0"3,0=0
1 17
. (Z4/3.4)
V =23,94 kN
17
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
1,5
1,5
2
2
2
8
9
25
1
2
2
2
2
0
1
3
9
4
6
8
7
2
2
1
2
WM Z4/3. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH 3
ZADANIE 3
W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na
kratownicę płaską na oś pionową Y. Wynosi ona
ą Y =V ąV -30,0-20,0=26,06ą23,94-30,0-20,0=0 . (Z4/3.5)
1 17
Pionowe reakcje V oraz V zostały więc wyznaczone poprawnie. Rysunek Z4/3.4 przedstawia prawidłowe
1 17
wartości i zwroty reakcji podporowych.
30,0 kN
19,0 kN
2 30 6 31 10 32 14 33
18
4 8 12 16
13
9 17
11 15
12
14 16
10
19,0 kN
1 2 3 4 5 6 7 8
1
17
3
5 7 9 11 13 15
20,0 kN
26,06 kN
23,94 kN
[m]
2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0
4,0 4,0 4,0 4,0
Rys. Z4/3.4. Kratownica płaska w równowadze
Z4/3.4. Wyznaczenie sił normalnych metodą Rittera
Aby wyznaczyć siły normalne w prętach numer 3, 21 i 22 należy wykonać w pierwszej kolejności
przekrój A-A przedstawiony na rysunku Z4/3.5. W przekroju tym wyznaczymy wartości siły normalnej
w pręcie numer 31. Następnie wykonamy przekrój B-B. W przekroju tym wyznaczymy wartości sił normal-
nych w prętach numer 3, 21 i 22.
30,0 kN
19,0 kN
B
2 6 A 10 14
30 31 32 33
18
4 8 12 16
13
9 17
11 15
12
14 16
10
19,0 kN
1 2 4 5 6 7 8
3
1
17
A
3 B 7 9 11 13 15
5
20,0 kN
26,06 kN
23,94 kN
[m]
2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0
4,0 4,0 4,0 4,0
Rys. Z4/3.5. Przekroje A-A i B-B
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
1,5
1,5
3,0
1,5
1,5
22
2
8
5
19
2
2
23
29
2
0
1
6
8
2
24
1
27
2
8
5
19
2
22
2
29
2
0
2
6
8
3
24
1
27
1
2
WM Z4/3. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH 4
ZADANIE 3
N31
2 30 6 31
ą
4 8
9
11
12
10
19,0 kN
1 2 ą 3 4
1
N4 9
3 5 7
20,0 kN
26,06 kN
2,0 2,0 2,0 2,0
[m]
4,0 4,0
Rys. Z4/3.6. Siły normalne w przekroju A-A
Rysunek Z4/3.6 przedstawia siły normalne działające w przekroju A-A. Punktem Rittera dla pręta
numer 31 jest węzeł numer 9. Przedstawia go rysunek Z4/3.6. Równaniem równowagi dla wyznaczenia siły
normalnej w pręcie numer 31 będzie suma momentów wszystkich sił działających na odciętą część kratow-
nicy względem punktu 9. Ma ono postać
ą M =N "3,0-20,0"4,0ą26,06"8,0=0 (Z4/3.6)
9 31
Siła normalna w pręcie numer 31 wynosi więc
N =-42,83 kN
. (Z4/3.7)
31
Pręt ten jest więc ściskany.
30,0 kN
19,0 kN
2 6 10 14
30 31 32 33
ą
18
4 8 12 16
13
9 17
11 15
12
14 16
10
19,0 kN
1 2 ą 3
4 5 6 7 8
1
17
3
5 7 9 11 13 15
20,0 kN
26,06 kN
23,94 kN
[m]
2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0
4,0 4,0 4,0 4,0
Rys. Z4/3.7. Kąt nachylenia krzyżulców numer 21 i 22 do poziomu
Mając wyznaczoną siłę normalną w pręcie numer 31 możemy teraz dokonać przekroju B-B. Rysunek
Z4/3.7 przedstawia kąt nachylenia krzyżulców numer 21 i 22 do poziomu. Funkcje kąta nachylenia tych
prętów wynoszą
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
1,5
1,5
3,0
1,5
1,5
9
1
2
2
23
20
N
2
18
1
3
2
2
8
5
2
19
2
2
2
1
23
29
2
0
2
6
8
24
1
27
WM Z4/3. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH 5
ZADANIE 3
3,0
sinśąąźą= =0,6
, (Z4/3.8)
3,02ą4,02
ćą
4,0
cosśąąźą= =0,8
. (Z4/3.9)
3,02ą4,02
ćą
0,8"N22 N31
2 30 6 31
ą
4
9
11
10
19,0 kN
1 2 ą
1
3
N3
3 5
20,0 kN
26,06 kN
2,0 2,0 2,0 2,0
[m]
4,0 4,0
Rys. Z4/3.8. Siły działające w przekroju B-B
Rysunek Z4/3.8 przedstawia siły normalne działające w przekroju B-B. Ze względu na to, że krzy-
żulec numer 22 jest prętem pochyłym najwygodniej będzie nam rozłożyć siłę normalną w tym pręcie na
dwie siły składowe. Pozioma składowa wynosi
N =N "cosśąąźą=0,8"N . (Z4/3.10)
22X 22 22
Pionowa składowa wynosi
N =N "sinśąąźą=0,6"N . (Z4/3.11)
22Y 22 22
Punktem Rittera dla pręta numer 22 jest węzeł numer 5. Przedstawia go rysunek Z4/3.8. Równaniem
równowagi dla wyznaczenia siły normalnej w pręcie numer 22 będzie suma momentów wszystkich sił
działających na odciętą część kratownicy względem punktu 5. Ma ono postać
ą M =0,8"N "3,0ą N31"3,0ą26,06"4,0=0
5 22
. (Z4/3.12)
2,4"N -42,83"3,0ą26,06"4,0=0
22
Siła normalna w pręcie numer 22 wynosi więc
N =10,10 kN
. (Z4/3.13)
22
Pręt ten jest więc rozciągany.
Dr inż. Janusz Dębiński
22
0,6
"
N
3,0
1,5
1,5
22
9
1
N
22
20
18
1
1
2
2
N
WM Z4/3. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH 6
ZADANIE 3
2 30 6 31
ą
N31
4
11
9
10
19,0 kN N3 9
1 2 ą
1
3
3 5 0,8"N21
26,06 kN
20,0 kN
2,0 2,0 2,0 2,0
[m]
4,0 4,0
Rys. Z4/3.9. Siły działające w przekroju B-B
Rysunek Z4/3.9 przedstawia siły normalne działające w przekroju B-B. Ze względu na to, że krzy-
żulec numer 21 jest prętem pochyłym najwygodniej będzie nam rozłożyć siłę normalną w tym pręcie na
dwie siły składowe. Pozioma składowa wynosi
N =N "cosśąąźą=0,8"N . (Z4/3.14)
21X 21 21
Pionowa składowa wynosi
N =N "sinśąąźą=0,6"N . (Z4/3.15)
21Y 21 21
Punktem Rittera dla pręta numer 21 jest węzeł numer 9. Przedstawia go rysunek Z4/3.9. Równaniem
równowagi dla wyznaczenia siły normalnej w pręcie numer 21 będzie suma momentów wszystkich sił
działających na odciętą część kratownicy względem punktu 9. Ma ono postać
ą M =0,6"N "4,0ąN "3,0-20,0"4,0ą26,06"8,0=0
9 21 31
. (Z4/3.16)
2,4"N -42,83"3,0-20,0"4,0ą26,06"8,0=0
21
Siła normalna w pręcie numer 21 wynosi więc
N =0,0042 kNH"0
. (Z4/3.17)
21
Pręt ten jest więc prętem zerowym. Można to łatwo udowodnić. W nieobciążonym węzle numer 7 pręt
numer 12 jest zerowy. Następnie w nieobciążonym węzle numer 8 pręt numer 21 będzie zerowym.
Rysunek Z4/3.10 przedstawia siły normalne działające w przekroju B-B. Punktem Rittera dla pręta
numer 3 jest węzeł numer 8. Przedstawia go rysunek Z4/3.10. Równaniem równowagi dla wyznaczenia siły
normalnej w pręcie numer 3 będzie suma momentów wszystkich sił działających na odciętą część kratow-
nicy względem punktu 8. Ma ono postać
ą M =-N "1,5ąN "1,5-20,0"2,0ą26,06"6,0-19,0"1,5=0
8 3 31
. (Z4/3.18)
-N "1,5-42,83"1,5-20,0"2,0ą26,06"6,0-19,0"1,5=0
3
Dr inż. Janusz Dębiński
21
3,0
0,6
"
N
1,5
1,5
N
22
9
22
1
2
21
N
0
18
1
2
WM Z4/3. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH 7
ZADANIE 3
N31
2 30 6 31
4 8
9
11
10
19,0 kN
1 2
1
3
N3
3 5
20,0 kN
26,06 kN
2,0 2,0 2,0 2,0
[m]
4,0 4,0
Rys. Z4/3.10. Siły działające w przekroju B-B
Siła normalna w pręcie numer 3 wynosi więc
N =15,74 kN
. (Z4/3.19)
3
Pręt ten jest więc rozciągany.
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
1,5
1,5
N
22
9
22
1
20
18
21
1
N
2
WM Z4/4. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH 1
ZADANIE 4
Z4/4. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH
PAASKICH - ZADANIE 4
Z4/4.1. Zadanie 4
Wyznaczyć metodą Rittera siły normalne w prętach numer 2 i 6 kratownicy półkrzyżulcowej przed-
stawionej na rysunku Z4/4.1.
30,0 kN
17,0 kN
3 6 8 11 14
5 6 7 8
10 17
12 15
2 13
5 10 13
14
9
16
11
1 2 3 4
1 12
4 7 9
25,0 kN
[m]
4,0 4,0 4,0 4,0
Rys. Z4/4.1. Kratownica półkrzyżulcowa
Z4/4.2. Analiza kinematyczna kratownicy płaskiej
Kratownica płaska przedstawiona na rysunku Z4/4.1 składa się z 14 węzłów, 25 prętów kratownicy.
Podpory odbierają ponadto trzy stopnie swobody. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności będzie
miał więc postać
2"14=25ą3 . (Z4/4.1)
Jak więc widać kratownica płaska na rysunku Z4/4.1 spełnia warunek konieczny geometrycznej niezmien-
ności. Może ona być układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Kratownica na rysunku Z4/4.1 zbudowana jest z trójkątów, może więc stanowić tarczę sztywną. Rysu-
nek Z4/4.2 przedstawia tą tarczę sztywną wraz z prętami podporowymi.
I
1
2 3
Rys. Z4/4.2. Zastępcza tarcza sztywna
Tarcza sztywna numer I jest podparta trzema prętami podporowymi 1, 2 i 3. Posiada ona trzy stopnie
swobody, które odbierają jej trzy pręty podporowe. Został więc spełniony warunek konieczny geometrycznej
niezmienności.
Kierunki prętów podporowych numer 1, 2 i 3 nie przecinają się w jednym punkcie. Został tym samym
spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności. Tarcza sztywna numer I jest więc geomet-
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
1,5
1,5
2
23
1
5
9
2
1
2
1
0
8
2
4
2
2
WM Z4/4. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH 2
ZADANIE 4
rycznie niezmienna i statycznie wyznaczalna. Także więc i kratownica płaska będzie układem geometrycznie
niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Z4/4.3. Wyznaczenie reakcji podporowych
Rysunek Z4/4.3 przedstawia założone zwroty reakcji podporowych na podporze przegubowo-nieprze-
suwnej i przegubowo-przesuwnej.
30,0 kN
17,0 kN
3 6 8 11
5 6 7 8 14
10 17
12 15
13
2 5 10 13
9 14
11 16
H1
1 2 3 4
1 12
4 7 9
25,0 kN
V1
Y V12 [m]
X 4,0 4,0 4,0 4,0
Rys. Z4/4.3. Założone zwroty reakcji podporowych
Reakcję poziomą H wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na kratownicę
1
płaską na oś poziomą X. Wynosi ona
ą X = H1-17,0=0
. (Z4/4.2)
H =17,0 kN
1
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Reakcję pionową V wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na kratow-
1
nicę płaską względem punktu 12. Wynosi ona
ą M =V "4"4,0-30,0"3"4,0-25,0"4,0-17,0"3,0=0
12 1
. (Z4/4.3)
V =31,94 kN
1
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Reakcję pionową V wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na kra-
12
townicę płaską względem punktu 1. Wynosi ona
ą M =-V "4"4,0ą30,0"4,0ą25,0"3"4,0-17,0"3,0=0
1 12
. (Z4/4.4)
V =23,06 kN
12
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na
kratownicę płaską na oś pionową Y. Wynosi ona
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
1,5
1,5
25
2
1
3
2
19
20
18
2
4
2
2
WM Z4/4. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH 3
ZADANIE 4
ą Y =V ąV -30,0-25,0=31,94ą23,06-30,0-25,0=0 . (Z4/4.5)
1 17
Pionowe reakcje V oraz V zostały więc wyznaczone poprawnie. Rysunek Z4/4.4 przedstawia prawidłowe
1 12
wartości i zwroty reakcji podporowych.
30,0 kN
17,0 kN
3 6 8
5 6 7 11 8 14
10 17
12 15
13
2 5 10 13
14
9
16
11
17,0 kN
1 2 3 4
1 12
4 7 9
25,0 kN
[m]
31,94 kN
23,06 kN
4,0 4,0 4,0 4,0
Rys. Z4/4.4. Kratownica płaska w równowadze
Z4/4.4. Wyznaczenie sił normalnych metodą Rittera
Rysunek Z4/4.5 przedstawia przekrój A-A, jaki musimy wykonać aby wyznaczyć wartości sił normal-
nych w prętach numer 2 i 6.
30,0 kN
17,0 kN
3 6 A 8
5 6 7 11 8 14
10 17
12 15
13
2 5 10 13
14
9
16
11
17,0 kN
1 2 3 4
1 12
4 A 7 9
25,0 kN
[m]
31,94 kN
23,06 kN
4,0 4,0 4,0 4,0
Rys. Z4/4.5. Przekrój A-A
Rysunek Z4/4.6 przedstawia siły normalne działające w przekroju A-A. Punktem Rittera dla pręta
numer 2 jest węzeł numer 6. Przedstawia go rysunek Z4/4.6. Równaniem równowagi dla wyznaczenia siły
normalnej w pręcie numer 2 będzie suma momentów wszystkich sił działających na odciętą część kratow-
nicy względem punktu 6. Ma ono postać
ą M =-N "3,0-17,0"3,0ą31,91"4,0=0 (Z4/4.6)
6 2
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
1,5
1,5
3,0
1,5
1,5
2
2
1
5
3
9
2
1
2
1
0
8
4
22
2
2
2
1
5
3
9
2
1
2
1
0
8
4
22
2
WM Z4/4. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH 4
ZADANIE 4
30,0 kN
17,0 kN
3 6
5 6
12 N6
10
N12
2
N11
9
17,0 kN N2
11
1 2
1
4
31,94 kN
[m]
4,0
Rys. Z4/4.6. Siły normalne w przekroju A-A
Siła normalna w pręcie numer 2 wynosi więc
N =25,55 kN
. (Z4/4.7)
2
Pręt ten jest więc rozciągany.
Punktem Rittera dla pręta numer 6 jest węzeł numer 4. Przedstawia go rysunek Z4/4.6. Równaniem
równowagi dla wyznaczenia siły normalnej w pręcie numer 6 będzie suma momentów wszystkich sił działa-
jących na odciętą część kratownicy względem punktu 4. Ma ono postać
ą M =N "3,0-17,0"3,0ą31,91"4,0=0 (Z4/4.8)
4 6
Siła normalna w pręcie numer 6 wynosi więc
N =-25,55 kN
. (Z4/4.9)
6
Pręt ten jest więc ściskany.
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
1,5
1,5
9
1
1
8
WM Z4/5. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH 1
ZADANIE 5
Z4/5. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH
PAASKICH - ZADANIE 5
Z4/5.1. Zadanie 5
Dana jest kratownica płaska przedstawiona na rysunku Z4/5.1. Kratownica ta jest obciążona siłami
czynnymi oraz reakcjami. Przyjmujemy, że wszystkie te siły są niezerowe oraz, że mają zwroty zgodne z na-
rysowanymi na rysunku Z4/5.1. Określić, które pręty będą zerowe przy danym obciążeniu.
P2
P3
2 30 6 31 10 32 14 33
18
4 8 12 16
13
9 17
11 15
12 14 16
10
H1
1 2 3 4 5 6 7 8
1 17
3 5 7 9 11 13 15
V1
P1
V17
P4
Rys. Z4/5.1. Kratownica płaska
Z4/5.2. Pręty zerowe
W nieobciążonym węzle numer 2 schodzą się pręty numer 9 i 30. Oba te pręty są prętami zerowymi.
Przedstawia to rysunek Z4/5.2.
P2
P3
2 30 6 31 10 32 14 33
18
4 8 12 16
13
9 17
11 15
12 14 16
10
H1
1 2 3 4 5 6 7 8
1 17
3 5 7 9 11 13 15
V1
P1
V17
P4
Rys. Z4/5.2. Pierwsze dwa pręty zerowe
W nieobciążonym węzle numer 10 pręty numer 31 i 32 leżą na jednej prostej. Wobec tego pręt numer
13 jest prętem zerowym. Przedstawia to rysunek Z4/5.3.
W węzle numer 18 siła czynna P leży na kierunku pręta numer 33. Prętem zerowym będzie więc pręt
3
numer 17. Przedstawia to rysunek Z4/5.4.
W nieobciążonym węzle numer 3 pręty numer 1 i 2 leżą na jednej prostej. Wobec tego pręt numer 10
jest prętem zerowym. Przedstawia to rysunek Z4/5.5.
Dr inż. Janusz Dębiński
2
28
2
5
9
2
1
20
2
29
2
3
4
6
7
21
2
18
2
2
28
2
5
9
2
1
20
2
29
2
3
4
6
7
21
2
18
2
WM Z4/5. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH 2
ZADANIE 5
P2
P3
2 30 6 31 10 32 14 33
18
4 8 12 16
13
9 17
11 15
12 14 16
10
H1
1 2 3 4 5 6 7 8
1 17
3 5 7 9 11 13 15
V1
P1
V17
P4
Rys. Z4/5.3. Trzeci pręt zerowy
P2
P3
2 30 6 31 10 32 14 33
18
4 8 12 16
13
9 17
11 15
12 14 16
10
H1
1 2 3 4 5 6 7 8
1 17
3 5 7 9 11 13 15
V1
P1
V17
P4
Rys. Z4/5.4. Czwarty pręt zerowy
P2
P3
2 30 6 31 10 32 14 33
18
4 8 12 16
13
9 17
11 15
12 14 16
10
H1
1 2 3 4 5 6 7 8
1 17
3 5 7 9 11 13 15
V1
P1
V17
P4
Rys. Z4/5.5. Piąty pręt zerowy
W nieobciążonym węzle numer 4 pręty numer 18 i 19 leżą na jednej prostej. Wobec tego pręt numer
20 jest prętem zerowym. Przedstawia to rysunek Z4/5.6.
W nieobciążonym węzle numer 7 pręty numer 3 i 4 leżą na jednej prostej. Wobec tego pręt numer 12
jest prętem zerowym. Przedstawia to rysunek Z4/5.7.
W nieobciążonym węzle numer 8 pręty numer 22 i 23 leżą na jednej prostej. Wobec tego pręt numer
21 jest prętem zerowym. Przedstawia to rysunek Z4/5.8.
Dr inż. Janusz Dębiński
2
28
2
5
9
2
1
20
2
29
2
3
4
6
7
21
2
18
2
2
28
2
9
5
1
2
20
2
29
2
3
4
6
7
21
2
18
2
2
28
2
5
9
2
1
20
2
29
2
3
4
6
7
21
2
18
2
WM Z4/5. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH 3
ZADANIE 5
P2
P3
2 30 6 31 10 32 14 33
18
4 8 12 16
13
9 17
11 15
12 14 16
10
H1
1 2 3 4 5 6 7 8
1 17
3 5 7 9 11 13 15
V1
P1
V17
P4
Rys. Z4/5.6. Szósty pręt zerowy
P2
P3
2 30 6 31 10 32 14 33
18
4 8 12 16
13
9 17
11 15
12 14 16
10
H1
1 2 3 4 5 6 7 8
1 17
3 5 7 9 11 13 15
V1
P1
V17
P4
Rys. Z4/5.7. Siódmy pręt zerowy
P2
P3
2 30 6 31 10 32 14 33
18
4 8 12 16
13
9 17
11 15
12 14 16
10
H1
1 2 3 4 5 6 7 8
1 17
3 5 7 9 11 13 15
V1
P1
V17
P4
Rys. Z4/5.8. Ósmy pręt zerowy
W nieobciążonym węzle numer 15 pręty numer 7 i 8 leżą na jednej prostej. Wobec tego pręt numer 16
jest prętem zerowym. Przedstawia to rysunek Z4/5.9.
W nieobciążonym węzle numer 16 pręty numer 28 i 29 leżą na jednej prostej. Wobec tego pręt numer
27 jest prętem zerowym. Przedstawia to rysunek Z4/5.10.
Pręty zerowe przedstawione na rysunku Z4/5.10 są wszystkimi prętami zerowymi, jakie występują
w kratownicy płaskiej przy danym obciążeniu.
Dr inż. Janusz Dębiński
2
28
2
5
9
2
1
20
2
29
2
3
4
6
7
21
2
18
2
2
28
2
5
9
2
1
20
2
29
2
3
4
6
7
21
2
18
2
2
28
2
5
9
2
1
20
2
29
2
3
4
6
7
21
2
18
2
WM Z4/5. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH 4
ZADANIE 5
P2
P3
2 30 6 31 10 32 14 33
18
4 8 12 16
13
9 17
11 15
12 14 16
10
H1
1 2 3 4 5 6 7 8
1 17
3 5 7 9 11 13 15
V1
P1
V17
P4
Rys. Z4/5.9. Dziewiąty pręt zerowy
P2
P3
2 30 6 31 10 32 14 33
18
4 8 12 16
13
9 17
11 15
12 14 16
10
H1
1 2 3 4 5 6 7 8
1 17
3 5 7 9 11 13 15
V1
P1
V17
P4
Rys. Z4/5.10. Dziesiąty pręt zerowy
Dr inż. Janusz Dębiński
2
28
2
5
9
2
1
20
2
29
2
3
4
6
7
21
2
18
2
2
28
2
9
5
1
2
20
2
29
2
3
4
6
7
21
2
18
2
WM Z4/6. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH 1
ZADANIE 6
Z4/6. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH
PAASKICH - ZADANIE 6
Z4/6.1. Zadanie 6
Dana jest kratownica płaska przedstawiona na rysunku Z4/6.1. Kratownica ta jest obciążona siłami
czynnymi oraz reakcjami. Przyjmujemy, że wszystkie te siły są niezerowe oraz, że mają zwroty zgodne z na-
rysowanymi na rysunku Z4/6.1. Określić, które pręty będą zerowe przy danym obciążeniu.
P2
P3
2 30 6 31 10 32 14 33
18
4 8 12 16
13
9 17
11 15
12 14 16
10
H1
1 2 3 4 5 6 7 8
1 17
3 5 7 9 11 13 15
V1 P1
V17
P4
Rys. Z4/6.1. Kratownica płaska
Z4/6.2. Pręty zerowe
W nieobciążonym węzle numer 2 schodzą się pręty numer 9 i 30. Oba te pręty są prętami zerowymi.
Przedstawia to rysunek Z4/6.2.
P2
P3
2 30 6 31 10 32 14 33
18
4 8 12 16
13
9 17
11 15
12 14 16
10
H1
1 2 3 4 5 6 7 8
1 17
3 5 7 9 11 13 15
V1 P1
V17
P4
Rys. Z4/6.2. Pierwsze dwa pręty zerowe
W nieobciążonym węzle numer 10 pręty numer 31 i 32 leżą na jednej prostej. Wobec tego pręt numer
13 jest prętem zerowym. Przedstawia to rysunek Z4/6.3.
W węzle numer 18 siła czynna P leży na kierunku pręta numer 33. Prętem zerowym będzie więc pręt
3
numer 17. Przedstawia to rysunek Z4/6.4.
W nieobciążonym węzle numer 11 pręty numer 5 i 6 leżą na jednej prostej. Wobec tego pręt numer 14
jest prętem zerowym. Przedstawia to rysunek Z4/6.5.
Dr inż. Janusz Dębiński
2
28
2
5
9
2
1
20
2
29
2
3
4
6
7
21
2
18
2
2
28
2
5
9
2
1
20
2
29
2
3
4
6
7
21
2
18
2
WM Z4/6. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH 2
ZADANIE 6
P2
P3
2 30 6 31 10 32 14 33
18
4 8 12 16
13
9 17
11 15
12 14 16
10
H1
1 2 3 4 5 6 7 8
1 17
3 5 7 9 11 13 15
V1 P1
V17
P4
Rys. Z4/6.3. Trzeci pręt zerowy
P2
P3
2 30 6 31 10 32 14 33
18
4 8 12 16
13
9 17
11 15
12 14 16
10
H1
1 2 3 4 5 6 7 8
1 17
3 5 7 9 11 13 15
V1 P1
V17
P4
Rys. Z4/6.4. Czwarty pręt zerowy
P2
P3
2 30 6 31 10 32 14 33
18
4 8 12 16
13
9 17
11 15
12 14 16
10
H1
1 2 3 4 5 6 7 8
1 17
3 5 7 9 11 13 15
V1 P1
V17
P4
Rys. Z4/6.5. Piąty pręt zerowy
W nieobciążonym węzle numer 12 pręty numer 24 i 25 leżą na jednej prostej. Wobec tego pręt numer
26 jest prętem zerowym. Przedstawia to rysunek Z4/6.6.
W nieobciążonym węzle numer 15 pręty numer 7 i 8 leżą na jednej prostej. Wobec tego pręt numer 16
jest prętem zerowym. Przedstawia to rysunek Z4/6.7.
W nieobciążonym węzle numer 16 pręty numer 28 i 29 leżą na jednej prostej. Wobec tego pręt numer
27 jest prętem zerowym. Przedstawia to rysunek Z4/6.8.
Dr inż. Janusz Dębiński
2
28
2
5
9
2
1
20
2
29
2
3
4
6
7
21
2
18
2
2
28
2
5
9
2
1
20
2
29
2
3
4
6
7
21
2
18
2
2
28
2
5
9
2
1
20
2
29
2
3
4
6
7
21
2
18
2
WM Z4/6. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH 3
ZADANIE 6
P2
P3
2 30 6 31 10 32 14 33
18
4 8 12 16
13
9 17
11 15
12
14 16
10
H1
1 2 3 4 5 6 7 8
1
17
3 5 7 9
11 13 15
V1 P1
V17
P4
Rys. Z4/6.6. Szósty pręt zerowy
P2
P3
2 30 6 31 10 32 14 33
18
4 8 12 16
13
9 17
11 15
12
14 16
10
H1
1 2 3 4 5 6 7 8
1
17
3
5 7 9 11 13 15
V1
V17
P1 P4
Rys. Z4/6.7. Siódmy pręt zerowy
P2
P3
2 30 6 31 10 32 14 33
18
4 8 12 16
13
9 17
11 15
12 14 16
10
H1
1 2 3 4 5 6 7 8
1 17
3 5 7 9 11 13 15
V1 P1
V17
P4
Rys. Z4/6.8. Ósmy pręt zerowy
W nieobciążonym węzle numer 13 pręty numer 6 i 7 leżą na jednej prostej. Wobec tego pręt numer 15
jest prętem zerowym. Przedstawia to rysunek Z4/6.9.
Pręty zerowe przedstawione na rysunku Z4/6.9 są wszystkimi prętami zerowymi, jakie występują
w kratownicy płaskiej przy danym obciążeniu.
Dr inż. Janusz Dębiński
2
28
2
5
9
2
1
20
2
29
2
3
4
6
7
21
2
18
2
2
28
2
5
9
2
1
20
2
29
2
3
4
6
7
21
2
18
2
2
28
2
5
9
2
1
20
2
29
2
3
4
6
7
21
2
18
2
WM Z4/6. WYZNACZANIE SIA NORMALNYCH W KRATOWNICACH PAASKICH 4
ZADANIE 6
P2
P3
2 30 6 31 10 32 14 33
18
4 8 12 16
13
9 17
11 15
12 14 16
10
H1
1 2 3 4 5 6 7 8
1 17
3 5 7 9 11 13 15
V1 P1
V17
P4
Rys. Z4/6.9. Dziewiąty pręt zerowy
Dr inż. Janusz Dębiński
2
28
2
5
9
2
1
20
2
29
2
3
4
6
7
21
2
18
2


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Wyznaczanie sił normalnych w kratownicach płaskich
Zad 2 wyznaczenie sił w kratownicy metodą Rittera
Zad 1 wyznaczanie sił w kratownicy metodą zrównoważoną węzłów oraz Rittera
Zad 3 wyznaczanie sił w kratownicy metodą Rittera
Zad 4 wyznaczanie sił w kratownicy metodą Rittera
Wyznaczenie sił skrawania przy toczeniu, wierceniu i frezowaniu
kratownice płaskie
Wyznaczanie sił przekrojowych, ramach i łukach statycznie wyznaczalnych
WYZNACZANIE SIŁ W PRĘTACH
WYZNACZANIE SIŁ W PRĘTACH
LINIE WPŁYWOWE W UKŁADACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH m mk lw 3 Kratownica linie wplywu
Wyznaczanie sił działajacych na przewodniki w polu mag
Metoda sił projekt kratownica
metoda sił kratownica
Reakcje podporowe kratownicy statycznie wyznaczalnej
Linie wplywowe w ukladach statycznie wyznaczalnych kratownica2

więcej podobnych podstron