WM Z4/2. WYZNACZANIE SIA
NORMALNYCH W KRATOWNICACH PA
ASKICH 1
ZADANIE 2
Z4/2. WYZNACZANIE SIA
NORMALNYCH W KRATOWNICACH
PA
ASKICH - ZADANIE 2
Z4/2.1. Zadanie 2
Wyznaczyć metodą Rittera siły normalne w prętach numer 2, 6 i 15 kratownicy przedstawionej na
rysunku Z4/2.1. Pręty pasa górnego z lewej i prawej strony tej kratownicy leżą na jednej prostej.
17,0 kN
6
4
8
2 10 18,0 kN
10 11 12
9 13
1
9
3
1 2 5 3 7 4
30,0 kN
[m]
6,0 6,0 6,0 6,0
Rys. Z4/2.1. Kratownica płaska
Z4/2.2. Analiza kinematyczna kratownicy płaskiej
Kratownica płaska przedstawiona na rysunku Z4/2.1 składa się z 10 węzłów, 17 prętów kratownicy.
Podpory odbierają ponadto trzy stopnie swobody. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności będzie
miał więc postać
2Å"10=17ƒÄ…3 . (Z4/2.1)
Jak więc widać kratownica płaska na rysunku Z4/2.1 spełnia warunek konieczny geometrycznej niezmien-
ności. Może ona być układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Kratownica na rysunku Z4/2.1 zbudowana jest z trójkątów, może więc stanowić tarczę sztywną.
Rysunek Z4/2.2 przedstawia tą tarczę sztywną wraz z prętami podporowymi.
I
1
2 3
Rys. Z4/2.2. Zastępcza tarcza sztywna
Tarcza sztywna numer I jest podparta trzema prętami podporowymi 1, 2 i 3. Posiada ona trzy stopnie
swobody, które odbierają jej trzy pręty podporowe. Został więc spełniony warunek konieczny geometrycznej
niezmienności (2.4).
Kierunki prętów podporowych numer 1, 2 i 3 nie przecinają się w jednym punkcie. Został tym samym
spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności. Tarcza sztywna numer I jest więc geomet-
rycznie niezmienna i statycznie wyznaczalna. Także więc i kratownica płaska będzie układem geometrycznie
niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
2,0
7
6
5
8
16
5
1
1
4
7
1
WM Z4/2. WYZNACZANIE SIA
NORMALNYCH W KRATOWNICACH PA
ASKICH 2
ZADANIE 2
Z4/2.3. Wyznaczenie reakcji podporowych
Rysunek Z4/2.3 przedstawia założone zwroty reakcji podporowych na podporze przegubowo-
nieprzesuwnej i przegubowo-przesuwnej.
17,0 kN
6
4 8
18,0 kN
2
10 11 12
10
13
H1 9 1
9
3 5 7
1 2 3 4
V1
Y V9
30,0 kN
[m]
6,0 6,0 6,0 6,0
X
Rys. Z4/2.3. Założone zwroty reakcji podporowych
Reakcję poziomą H wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na kratownicę
1
płaską na oś poziomą X. Wynosi ona
²Ä… X =H -18,0=0
1
. (Z4/2.2)
H =18,0 kN
1
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Reakcję pionową V wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na
1
kratownicę płaską względem punktu 9. Wynosi ona
²Ä… M =V Å"4Å"6,0-30,0Å"3Å"6,0-17,0Å"6,0-18,0Å"2,0=0
9 1
. (Z4/2.3)
V =28,25 kN
1
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Reakcję pionową V wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na
9
kratownicę płaską względem punktu 1. Wynosi ona
²Ä… M =-V Å"4Å"6,0ƒÄ…30,0Å"6,0ƒÄ…17,0Å"3Å"6,0-18,0Å"2,0=0
1 9
. (Z4/2.4)
V =18,75 kN
9
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na
kratownicę płaską na oś pionową Y. Wynosi ona
²Ä… Y =V ƒÄ…V -30,0-17,0=28,25ƒÄ…18,75-30,0-17,0=0
. (Z4/2.5)
1 9
Pionowe reakcje V oraz V zostały więc wyznaczone poprawnie. Rysunek Z4/2.4 przedstawia prawidłowe
1 9
wartości i zwroty reakcji podporowych.
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
2,0
7
6
5
8
1
6
5
1
14
7
1
WM Z4/2. WYZNACZANIE SIA
NORMALNYCH W KRATOWNICACH PA
ASKICH 3
ZADANIE 2
17,0 kN
6
4
8
2 10 18,0 kN
10 11 12
9 13
18,0 kN
1
9
3 5 7
1 2 3 4
30,0 kN
28,25 kN
18,75 kN
[m]
6,0 6,0 6,0 6,0
Rys. Z4/2.4. Kratownica płaska w równowadze
Z4/2.4. Wyznaczenie sił normalnych metodą Rittera
Aby wyznaczyć siły normalne w prętach numer 2, 6 i 15 należy wykonać przekrój A-A przedstawiony
na rysunku Z4/2.5.
17,0 kN
A
6
4
8
2 10 18,0 kN
10 11 12
9 13
18,0 kN
1
9
3 5 7
1 2 3 4
A
30,0 kN
28,25 kN
18,75 kN
[m]
6,0 6,0 6,0 6,0
Rys. Z4/2.5. Przekrój A-A
6
N6
4
2
N15
10
9
N2
18,0 kN
1
1 2
3
30,0 kN
[m]
28,25 kN
6,0 6,0
Rys. Z4/2.6. Siły działające na lewą część kratownicy płaskiej w przekroju A-A
Do obliczeń sił normalnych w prętach numer 2, 6 i 15 będziemy rozpatrywali równowagę lewej części
kratownicy płaskiej. Siły działające na tę część kratownicy płaskiej przedstawia rysunek Z4/2.6.
Punktem Rittera dla pręta numer 2 jest węzeł numer 6. Siłę normalną w tym pręcie wyznaczymy
z równania sumy momentów wszystkich sił działających na lewą część kratownicy płaskiej względem tego
punktu. Równanie to ma postać
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
2,0
3,0
2,0
3,0
2,0
7
6
5
8
1
6
5
1
14
7
1
7
6
5
8
1
6
5
1
14
7
1
6
5
14
5
1
WM Z4/2. WYZNACZANIE SIA
NORMALNYCH W KRATOWNICACH PA
ASKICH 4
ZADANIE 2
²Ä… M =-N Å"3,0ƒÄ…28,25Å"2Å"6,0-30,0Å"6,0-18,0Å"3,0=0
. (Z4/2.6)
6 2
Siła normalna w pręcie numer 2 wynosi więc
N =35,0 kN
. (Z4/2.7)
2
Pręt ten jest więc rozciągany.
N6
Ä…
6
0,08305Å"N6
2 4
0,9965Å"N6
N15
10
9
N2
18,0 kN
1
1 2
3
30,0 kN
[m]
28,25 kN
6,0 6,0
Rys. Z4/2.7. Siły działające na lewą część kratownicy płaskiej w przekroju A-A
Punktem Rittera dla pręta numer 6 jest węzeł numer 3. Przedstawia go rysunek Z4/2.7. Długość
słupka numer 10 wynosi 2,5 metra, ponieważ jego koniec w węz
le numer 4 znajduje się w środku odcinka
łączącego węzły numer 2 i 6. Ze względu na to, że pręt numer 6 jest prętem pochyłym najwygodniej będzie
nam rozłożyć siłę normalną w tym pręcie na dwie siły składowe. Funkcje kąta nachylenia tego pręta
wynoszÄ…
3,0-2,5
sin ·Ä… = =0,08305
śą źą
, (Z4/2.8)
0,52ƒÄ…6,02
ćą
6,0
cos ·Ä… = =0,9965
śą źą
. (Z4/2.9)
0,52ƒÄ…6,02
ćą
Pozioma siła składowa siły normalnej w pręcie numer 6 wynosi
N =N Å"cosśą·Ä…źą=0,9965Å"N6 . (Z4/2.10)
6X 6
Pionowa siła składowa siły normalnej w pręcie numer 6 wynosi
N =N Å"sinśą·Ä…źą=0,08305Å"N . (Z4/2.11)
6Y 6 6
Zwroty sił składowych siły normalnej w pręcie numer 6 przedstawia rysunek Z4/2.7. Obie siły składowe są
przyłożone w węz
le numer 4.
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
2,5
2,0
6
5
1
4
5
1
WM Z4/2. WYZNACZANIE SIA
NORMALNYCH W KRATOWNICACH PA
ASKICH 5
ZADANIE 2
Siłę normalną w pręcie numer 6 wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił
działających na lewą część kratownicy płaskiej względem węzła 3. Równanie to ma postać
²Ä… M =0,9965Å"N Å"2,5ƒÄ…28,25Å"6,0=0
. (Z4/2.12)
3 6
Siła normalna w pręcie numer 6 wynosi więc
N =-68,04 kN
. (Z4/2.13)
6
Pręt ten jest więc ściskany.
4
6
2
2'
K 3
1
5
x 6,0 6,0
[m]
Rys. Z4/2.8. Położenie punktu Rittera dla pręta numer 15
Rysunek Z4/2.8 przedstawia położenie punktu Rittera dla pręta numer 15, który znajduje się w miej-
scu przecięcia się kierunków prętów numer 2 i 6. Korzystając z twierdzenia Talesa otrzymamy
62' 21
= (Z4/2.14)
22' 1K
czyli otrzymamy
3,0-2,0 2,0
= . (Z4/2.15)
2Å"6,0 x
Ostatecznie odległość punktu K od węzła numer 1 wynosi
x=24,0 m . (Z4/2.16)
Rysunek Z4/2.9 przedstawia wszystkie siły działające na odciętą lewą część kratownicy płaskiej.
Funkcje kąta nachylenia pręta numer 15 do poziomu wynoszą
3,0
sin ¸Ä… = =0,4472
śą źą
, (Z4/2.17)
3,02ƒÄ…6,02
ćą
6,0
cos ¸Ä… = =0,8944
śą źą
. (Z4/2.18)
3,02ƒÄ…6,02
ćą
Dr inż. Janusz Dębiński
2,0
2,0
3,0
WM Z4/2. WYZNACZANIE SIA
NORMALNYCH W KRATOWNICACH PA
ASKICH 6
ZADANIE 2
6
N6
2
4
N15
10
9
N2
18,0 kN ²
1
1 3 2
5
30,0 kN
[m]
28,25 kN
6,0 6,0
Rys. Z4/2.9. Siły działające na lewą część kratownicy płaskiej
N6
2 4
10
N15
0,4472Å"N15
9
N2
18,0 kN ²
K
1
1 3 2
0,8944Å"N15
30,0 kN
[m]
28,25 kN
24,0 6,0
Rys. Z4/2.10. Siły działające na lewą część kratownicy płaskiej
Pozioma siła składowa siły normalnej w pręcie numer 15 wynosi
N =N Å"cosśą¸Ä…źą=0,8944Å"N15 . (Z4/2.19)
15X 15
Pionowa siła składowa siły normalnej w pręcie numer 15 wynosi
N =N Å"cos śą¸Ä…źą=0,4472Å"N15 . (Z4/2.20)
15Y 15
Zwroty sił składowych siły normalnej w pręcie numer 15 przedstawia rysunek Z4/2.9. Obie siły składowe
przyłożone są w węz
le numer 3.
Siłę normalną w pręcie numer 15 wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działa-
jących na lewą część kratownicy płaskiej względem punktu K. Równanie to ma postać
²Ä… M =-0,4472Å"N15Å"śą24,0ƒÄ…6,0źąƒÄ…30,0Å"śą24,0ƒÄ…6,0źą-28,25Å"24,0=0 . (Z4/2.21)
K
Siła normalna w pręcie numer 15 wynosi więc
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
2,5
2,0
2,0
6
5
1
4
5
1
5
6
14
5
1
WM Z4/2. WYZNACZANIE SIA
NORMALNYCH W KRATOWNICACH PA
ASKICH 7
ZADANIE 2
N =16,55 kN
. (Z4/2.22)
15
Pręt ten jest więc rozciągany.
Dr inż. Janusz Dębiński