Katedra Fizyki SGGW
Nazwisko .............................................................. Data Nr na liście
...................................... .....................................
Imię ........................................................................... Wydział
...................................................
Dzień tyg. ...............................................
Godzina
..................................................
Ćwiczenie 10
Wyznaczanie modułu Younga metodą zginania pręta
Pomiary rozmiarów pręta
Długość Szerokość Średnia Grubość Średnia
C
Rodzaj
pręta
ai , [mm] hi , [mm]
[m-1]
l, [m] a, [mm] h [mm]
Drewno
Metal
Pomiary strzałki ugięcia
Tablicowa
Wskazania
Strzałka Średnia,
Moduł
Masa wartość
Rodzaj mikromierza, [mm],
ugięcia, Yi Qi Yi k = Q Y Younga, E
ciężarka podobnych
pręta przy obciążeniu
materiałów
[kg] rosnÄ…cym malejÄ…cym [m] [N/m] [N/m] [Pa]
0
çÅ‚çÅ‚ çÅ‚çÅ‚
0,05
0,10
0,15
Drewno 0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0
çÅ‚çÅ‚ çÅ‚çÅ‚
0,10
0,20
0,30
Metal 0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
Katedra Fizyki SGGW Ex10
 1 
Ćwiczenie 10. Wyznaczanie modułu Younga metodą zginania pręta
Wprowadzenie
Jeżeli na unieruchomione ciało sprężyste podziałamy siłą, to powstaną w tym ciele naprężenia,
wywoÅ‚ujÄ…ce jego odksztaÅ‚cenie. Naprężenie à w prÄ™cie o przekroju poprzecznym A, na który dziaÅ‚a
r
siła F (prostopadła bądz
styczna do A) równe jest stosunkowi siły do pola przekroju pręta:
à = F A (1)
Naprężeniu stawiają opór siły międzycząsteczkowe wewnątrz materiału. Rozróżnia się zwykle trzy
rodzaje naprężeń: rozciągające (wydłużają ciało), ściskające (skracają ciało) i ścinające (deformują
postać ciała). W ostatnim przypadku siła działa stycznie do powierzchni przekroju.
Zmiana długości pręta spowodowana rozciąganiem lub ściskaniem jest proporcjonalna do jego
r
długości. Jeśli, na przykład, pręt o długości l, rozciągany siłą F , zwiększa swoją długość o "l,
rys. 1, to miarÄ… odksztaÅ‚cenia µ jest wzglÄ™dna zmiana dÅ‚ugoÅ›ci:
µ = "l l . (2)
r
Gdy po usunięciu siły F ciało wraca do swych wymiarów, to odkształcenie
nazywamy sprężystym. Przy maÅ‚ych odksztaÅ‚ceniach, µ jest proporcjonalne do Ã:
1 l
µ = Å"Ã , (3)
A
E
gdzie E jest modułem sprężystości (nazywanym modułem Younga) danego
materiału. Liniowa zależność pomiędzy naprężeniem a odkształceniem znana jest
jako prawo Hooke a. Po podstawieniu do (3) wzorów definiujÄ…cych µ i Ã,
"l
otrzymamy:
1 l
F
Rys.1
"l = Å" F . (4)
E A
A zatem, prawo Hooke a stwierdza, że podczas rozciągania lub ściskania zmiana długości jest
proporcjonalna do działającej siły.
Moduł Younga wyraża się, tak jak naprężenie czy ciśnienie, w paskalach: 1 Pa = 1 N/m2.
Najprostszy sposób wyznaczenia modułu Younga polega na pomiarze przyrostu długości "l pręta
o długości l i polu przekroju A, umocowanego jednym końcem i rozciąganego siłą F. Jednak
w przypadku grubszych prętów trudno jest uzyskać ich mierzalne wydłużenia, z uwagi na
konieczność użycia bardzo dużych sił. Z tego względu wykorzystujemy odkształcenia złożone, do
których należy zginanie pręta umocowanego z jednej strony lub podpartego na obu końcach.
Ugięcie pręta
Zginanie belki można sprowadzić do jednoczesnego jej rozciągania i ściskania. Wzdłuż wygiętej
belki występuje warstwa, zwana powierzchnią neutralną, której długość przy wygięciu nie ulega
zmianie. Powyżej tej powierzchni siły deformujące mają kierunek rozciągający warstwy górne,
poniżej  kierunek przeciwny i powodują ściskanie warstw dolnych. Siły te występują parami
r
i tworzą moment zginający M względem linii neutralnej.
Można wyprowadzić następującą zależność pomiędzy momentem
zginającym i modułem sprężystości materiału belki
powierzchnia
neutralna
EI
M = . (5)
w wygiętej belce
R
We wzorze tym R jest promieniem krzywizny ugiętej belki natomiast I oznacza moment
bezwładności przekroju. Jeżeli przez z wyrazimy odległość elementu powierzchni przekroju dS od
linii neutralnej, to I zdefiniowany jest wzorem:
Katedra Fizyki SGGW Ex10
 2 
z
I = z2dS .
+"
S
dz
h
Obliczenie momentu bezwładności przekroju prostokątnego, linia
0
neutralna
którego szerokość oznaczona jest literą a, a grubość h daje wynik:
a Å" h3
a
I = . (6)
Przekrój poprzeczny pręta
12
Rozpatrzymy ugięcie belki o długości l podpartej na obu końcach i obciążonej po środku siłą Q.
Każda z podpór działa na belkę siłą reakcji równą Q 2 , a środkowa część belki pozostaje pozioma.
Ugięcie belki rozpatrzymy względem układu współrzędnych, którego początek umiejscowimy
w środku belki. Moment siły reakcji działającej na koniec belki, liczony względem punktu leżącego
w odległości x od środka belki, wynosi (przy niewielkich ugięciach):
Q l
y
M = Å"ëÅ‚ - xöÅ‚ .
ìÅ‚ ÷Å‚
Q/2
Q/2
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
ys l/2
Promień krzywizny R ugiętej belki określony jest l/2
równaniem, którego przybliżona postać, w naszym
przypadku, jest następująca: x
x
2
1 d y
= .
Q
R dx2
Ostatnie dwa wzory podstawiamy do zależności (5):
2
d y Q l
ëÅ‚ öÅ‚
= - x .
ìÅ‚ ÷Å‚
dx2 2EI 2
íÅ‚ Å‚Å‚
Otrzymujemy równanie różniczkowe drugiego rzędu, którego rozwiązanie y = f x określa linię
( )
ugięcia belki. Rozwiązanie powyższego równania otrzymamy przez dwukrotne całkowanie,
z uwzględnieniem warunków brzegowych. Pierwsze całkowanie daje:
dy P l 1
ëÅ‚
= x - x2 öÅ‚ + C1 .
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
dx 2EI 2 2
Stałą całkowania C1 dostajemy z warunku, że dla x = 0 pochodna dy dx równa jest zero (oś x jest
w tym punkcie styczna do pręta). Wynika stąd, że C1 = 0. Po drugim całkowaniu mamy:
P l 1 1 1
ëÅ‚
y =Å" x2 - Å" x3öÅ‚ + C2 .
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
2EI 2 2 2 3
Y
Y
Ponieważ dla x = 0 również y = 0 , to i stała
całkowania C2 = 0. Rozwiązanie ma, zatem, postać:
Y - strzałka ugięcia
Q
P 1 1
ëÅ‚l Å" x2 x3öÅ‚ .
y = -
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
4EI 2 3
Wartość współrzędnej y w miejscu podparcia nazywamy strzałką ugięcia Y. Podstawiając x = l 2 ,
i y = ymax = Y , dostaniemy:
Q
Y = l3 .
48EI
Dla przekroju prostokÄ…tnego otrzymamy (po podstawieniu wzoru na I):
Ql3
Y = . (7)
4Eah3
Katedra Fizyki SGGW Ex10
 3 
Ze wzoru na strzałkę ugięcia wynika, że ugięcie belki jest odwrotnie proporcjonalne do momentu
bezwładności przekroju i jeżeli belka ma przekrój prostokątny, to strzałka jest odwrotnie
proporcjonalna do grubości belki h podniesionej aż do trzeciej potęgi.
Powyższe wnioski sugerują, że aby konstruować mocne, lekkie elementy, większość materiału
powinno lokalizować się możliwie daleko od powierzchni neutralnej. Np. dwuteownik jest w stanie
lepiej opierać się momentom sił zginających działających w kierunku
prostopadłym do jego długości aniżeli belka o kwadratowym przekroju
poprzecznym wykonana z tej samej ilości materiału. Podobnie rurka jest bardziej
wytrzymała na zginanie niż lity pręt o tej samej długości i ciężarze. Metalowe
nogi krzeseł i stołów są zwykle rurkami.
Pomiar strzałki ugięcia Y dla danego obciążenia Q pozwala wyznaczyć moduł Younga materiału,
z którego pręt wykonano. Przekształcając wzór (7) na Y otrzymujemy:
l3 Q
E = Å" . (8)
4ah3 Y
Wykonanie zadania
Å»
1. Wyznaczanie stosunku Q Y
6V
" Badany pręt kładziemy na specjalnych podporach
umieszczonych na podstawie stojÄ…cej na stole. StrzemiÄ™ T
nakładamy na środek pręta i zawieszamy na nim szalkę. Do
pomiaru strzałki ugięcia stosujemy śrubę mikrometryczną
T
umocowanÄ… w specjalnym statywie. Mikromierz ustawiamy
nad strzemieniem tak, aby koniec śruby nie dotykał do
strzemienia. Do zacisków, które znajdują się na strzemieniu i
na statywie śruby mikrometrycznej, podłączamy szeregowo zasilacz 6V i odpowiednią
żaróweczkę. Przez obracanie śruby mikromierza doprowadzamy ją do zetknięcia ze strzemieniem.
Gdy żarówka rozbłyśnie, odczytujemy wskazanie mikromierza y0 .
" Obciążamy szalkę Q1  ugięcie pręta przerywa obwód i żarówka gaśnie. Ponownie
( )
obracamy śrubę, aż do momentu zaświecenia żarówki i odczytujemy wskazanie mikromierza y1 .
" Różnica Y1 = y1 - y0 daje pierwszą strzałkę ugięcia Y1.
" Pomiary strzałek ugięcia Yi = yi - y0 przeprowadzamy dla kilku różnych obciążeń Qi .
Najpierw wyznaczamy strzałki ugięcia przy obciążeniach rosnących, a następnie malejących.
Z dwóch uzyskanych wyników dla danej wartości obciążenia obliczamy wartość średnią, którą
przyjmujemy jako właściwą wartość strzałki ugięcia.
" Dla każdego obciążenia obliczamy iloraz Qi Yi i następnie jego średnią wartość Q Y . Jeśli
wprowadzimy oznaczenie dla pojedynczego pomiaru: ki a" Qi Yi oraz dla wartości średniej
k a" Q Y , to możemy ją wyrazić następująco:
n
"k
i
i=1
k = , (9)
n
n  liczba różnych obciążeń pręta.
2. Pomiar rozmiarów pręta
Jako długość l przyjmujemy odległość pomiędzy krawędziami podpór, na których spoczywa pręt 
mierzymy ją linijką. Następnie dodatkową śrubą mikrometryczną (lub suwmiarką) mierzymy
Katedra Fizyki SGGW Ex10
 4 
krawędzie przekroju poprzecznego pręta ai i hi  w wielu różnych miejscach pręta, po czym
wyliczamy wartości średnie a i h. Otrzymane wartości pozwalają wyznaczyć stałą pręta C:
3
l
C = . (10)
4ah3
3. Obliczanie modułu Younga
Zgodnie z wzorem (8) iloczyn stałej pręta C i wartości k (średniego stosunku Q do Y) równy jest
modułowi Younga dla danego pręta o przekroju prostokątnym:
E = C Å" k . (11)
Rachunek błędów
Błąd pomiaru "k, obliczamy jako błąd średni kwadratowy wartości średniej:
n
2
"("k )
i
i=1
"k = ; "ki = k - ki , i = 1, 2, ..., n.
n n -1
( )
Pozostałe błędy złożonych wielkości fizycznych określamy metodą pochodnej logarytmicznej.
Otrzymamy kolejno:
"C " l " h " a
ëÅ‚ öÅ‚
= 3 + + .
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
C l h a
Przyjmujemy "l H" 5mm . Za "a i "h podstawiamy: przy pomiarze suwmiarką 0,1 mm, śrubą
mikrometrycznÄ… 0,01 mm.
"k "C
ëÅ‚öÅ‚.
"E = E +
ìÅ‚÷Å‚
k C
íÅ‚Å‚Å‚
Obliczamy także błąd względny procentowy modułu Younga:
"E
Bp = Å"100%.
E